歐拉示性數(shù)與閉曲面的分類(2)課件

1、歐拉示性數(shù)與閉曲面的分類一 平面上的幾何變換與不變性平面上幾何圖形的分類 平移變換平移變換:把直線變成直線，保持線段的長度和夾角不變 旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換:把直線變成直線，保持線段的長度和夾角不變 反射變換反射變換:把直線變成直線，保持線段的長度和夾角不變 一 平面上的幾何變換與不變性平面上幾何圖形的分類 位似變換位似變換:把點變成點，直線變成直線，保持夾角不變,不能保持線段的長度，但對應(yīng)線段長度之比保持不變 相似變換相似變換:把點變成點，直線變成直線，保持夾角不變,不能保持線段的長度，但對應(yīng)線段長度之比保持不變 伸縮變換伸縮變換:把點變成點，直線變成直線，不能保持線段之比與夾角不變,但沿伸縮方向

2、對應(yīng)線段之比保持不變。一 平面上的幾何變換與不變性平面上幾何圖形的分類分別按全等和相似給下列圖形分類 二多面體的分類與歐拉公式的發(fā)現(xiàn) 觀察下圖中的凸多面體，試用頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F分類。 (d)(b)(a)(c)二多面體的分類與歐拉公式的發(fā)現(xiàn) 多面體頂點數(shù)V棱數(shù)E面數(shù)FF+VV-E+Fa695112b585102c8126142d8126142二多面體的分類與歐拉公式的發(fā)現(xiàn) 多面體無法像平面圖形一樣用頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分類。數(shù)學(xué)家歐拉通過對大量圖形的分析，發(fā)現(xiàn)了一個重要的事實，即：無論凸多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F怎樣變化，當(dāng)F+V相等時，它們的棱數(shù)E一定相等。進而他歸納出： 三 歐拉

3、公式的證明 證法一證法一 第一步：去掉一個面再經(jīng)過連續(xù)變形變成平面上的一組“多邊形”。第二步：把平面網(wǎng)絡(luò)圖中所有的小多邊形都通過連對角線的方法分成若干個三角形（這些對角線不允許在多邊形內(nèi)相交）。第三步：上述網(wǎng)絡(luò)圖中，去掉一條最外面的邊，又得到一個新的網(wǎng)絡(luò)圖。當(dāng)發(fā)現(xiàn)有的三角形有兩條邊都是網(wǎng)絡(luò)圖的外邊時，我們?nèi)サ暨@兩條邊和這個頂點，得到一個新的網(wǎng)絡(luò)圖。第四步：反復(fù)實施第二步、第三步，最后得到一個三角形 。三 歐拉公式的證明 證法二證法二 用證法一中的方法，先得到平面網(wǎng)絡(luò)圖。在網(wǎng)絡(luò)圖中，去掉任意多邊形的一條邊，得到一個新的網(wǎng)絡(luò)圖。重復(fù)以上步驟，直到變成一個沒有任何面的網(wǎng)絡(luò)圖。對上述網(wǎng)絡(luò)圖，從最邊上頂

4、點開始，去它和它相鄰的邊。重復(fù)以上步驟，最后，網(wǎng)絡(luò)圖只剩一個頂點。四 拓?fù)渥儞Q與球面上的歐拉公式 具有以下兩種特點的變換叫做拓?fù)渥儞Q拓?fù)渥儞Q （1）原象與象上的點是一一對應(yīng)的； （2）從原象到象的變換是一種“橡皮膜變形”；反之，從象返回到原象的變換也是“橡皮膜變形”，均稱為“連續(xù)”變形。 四 拓?fù)渥儞Q與球面上的歐拉公式 設(shè)是球面S上的任意一個三角剖分，則 V-E+F=2。 即球面上的歐拉公式為： V-E+F=2 。虧格(g)示性數(shù)()關(guān)系圖例022=2-2*0100=2-2*12-20=2-2*2g2-2g2-2g五歐拉示性數(shù)與閉曲面的分類歐拉示性數(shù)與閉曲面的分類 六六 歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué)歐拉公

5、式與拓?fù)鋵W(xué) 歐拉推動了一門新的幾何學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)的誕生。在論文哥尼斯堡的七座橋的開頭部分，他描述了這種新的幾何：“討論長短大小的幾何學(xué)分支，一直被人們熱心地研究著，但是還有一個至今幾乎完全沒有探索過的分支；萊布尼茲最先提起過它，稱之位置的幾何學(xué)。這個幾何學(xué)分支只討論與位置有關(guān)的關(guān)系，研究位置的性質(zhì)，它不去考慮長短大小，也不牽涉到量的計算，但是至今未有過令人滿意的定義，來刻劃這門位置幾何學(xué)的課題和方法” 拓?fù)鋵W(xué)就是研究“位置的幾何學(xué)”的數(shù)學(xué)分支，有人把它形容為“橡皮泥的幾何學(xué)”，也就是對一塊“橡皮泥”可以任意揉搓，不允許撕裂，也不允許粘連，在這種情況下，研究“橡皮泥”有那些性質(zhì)保持不變?，F(xiàn)在，拓?fù)?/p>

6、學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一門成熟的數(shù)學(xué)分支，成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科。六六 歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué)歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué) (1)一筆畫問題一筆畫問題 一個圖，如果存在一條道路，從某個頂點出發(fā)，不重復(fù)地經(jīng)過每一條邊，我們把這樣的圖稱作可以一筆畫的圖。這條道路稱作歐拉路。如果上面這條道路的起點和終點相同則稱這條道路為歐拉回路。 一筆畫定理：一個圖可以一筆畫的充分必要條件是：它是連通的并且奇頂點個數(shù)是0或2。六六 歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué)歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué) (2)四色問題四色問題 “四色定理”猜想：把平面劃分成任意互不重疊的區(qū)域，總能用數(shù)字1，2，3，4來分別標(biāo)示每個區(qū)域，使得任意兩個相鄰的區(qū)域都有不同的數(shù)字。 對四色問題，各區(qū)域的實際形狀、大小、邊界的長短都不重要。重要的是各區(qū)域的相互位置，也就是地圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。所以四色問題是一個拓?fù)鋯栴}。 六六 歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué)歐拉公式與拓?fù)鋵W(xué) (3)扭結(jié)扭結(jié) 把一