導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(單調(diào)性、極值、最值)

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值） 藍(lán)園高級(jí)中學(xué) 數(shù)學(xué)組 陳秋彬考綱要求1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；理解極大值、極小值的概念；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值。3. 會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)在定區(qū)間上的最大值、最小值。命題規(guī)律從進(jìn)幾年的高考試題來看，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值是導(dǎo)數(shù)的基本問題，每年必考，分值較大，需要考生重點(diǎn)練習(xí)、熟練應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用占據(jù)著非常重要的地位，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等；還包括將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容

2、和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、函數(shù)、解析幾何等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起，設(shè)計(jì)綜合試題。隨著導(dǎo)數(shù)作為考試內(nèi)容的考查力度逐年增大，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時(shí)的必不可少的工具。導(dǎo)數(shù)一般考法比較簡(jiǎn)單，就是討論單調(diào)區(qū)間求最值。但也有的省市考得較難，與不等式結(jié)合，放在最后一題的位置，往往需要我們理解其幾何意義，才能找到方向?？键c(diǎn)解讀考點(diǎn)1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 1. 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞間.2. 判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟： 因?yàn)?，所以 . 當(dāng)，即 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ，單調(diào)

3、減區(qū)間為 .3. 一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)函數(shù)的圖像就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些.考點(diǎn)2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1. (1)如果函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,那么點(diǎn)叫做的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值；(2)如果函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，那么點(diǎn)推薦精選叫做的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值.(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.2. (1)求函數(shù)的極值的方法(充分條件)： 解方程.當(dāng)時(shí)： 如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值； 如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那

4、么是極小值. (2)必要條件:函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的必要條件是函數(shù)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值0?？键c(diǎn)3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)1.一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值. 2.求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟： 求函數(shù)在內(nèi)的極值；將函數(shù)的各極值與斷點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.考點(diǎn)突破考點(diǎn)1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)典例求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1).；(2).；解題思路 在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)以前，先求出函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于零和小于零解出單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間。解題過程 (1).函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，得或函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1

5、，0）和；令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和（0，1）(2).函數(shù)定義域?yàn)橥扑]精選令，得函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1）；令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）(3).函數(shù)定義域?yàn)榱?，得或函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；令，得且，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和易錯(cuò)點(diǎn)撥 為了提高解題的準(zhǔn)確性，在利用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導(dǎo)判斷符號(hào)，以避免不該出現(xiàn)的失誤學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是將兩個(gè)以上各自獨(dú)立單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集的形式，如將例(1) 中，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成 和 的錯(cuò)誤結(jié)果這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用變

6、式1 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 。點(diǎn)撥 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)解出即可，注意答案的填寫。答案 和；和變式2 函數(shù)在區(qū)間上是（ ） A增函數(shù)，且 B減函數(shù)，且 C增函數(shù)，且 D減函數(shù)，且點(diǎn)撥 關(guān)鍵理解符合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)定義域的考慮，注意對(duì)數(shù)的性質(zhì)。答案 C考點(diǎn)2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)推薦精選典例 已知函數(shù),其中 ，當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?解題思路 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令轉(zhuǎn)變?yōu)楹瑓?shù)的一元二次方程問題，通過討論方程是否有跟，層層深入解決問題。解題過程 由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以,即,此時(shí)方程的根為,所以 當(dāng)時(shí),x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)

7、00f (x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)時(shí), x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x 1, x2處分別取得極大值和極小值. 綜上,當(dāng)滿足時(shí), 取得極值. 易錯(cuò)點(diǎn)撥 對(duì)含參數(shù)方程或不等式的討論容易出錯(cuò)，可借助函數(shù)圖象。變式1 已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示.求：（）的值；（）的值.點(diǎn)撥 理解極值的意義和本質(zhì)，借助導(dǎo)函數(shù)的圖象來研究原函數(shù)的性質(zhì)。答案 變式2 （2012陜西理7）設(shè)函數(shù)，則（ ）（A） 為的極大值點(diǎn) （B）為的極小值點(diǎn)（C） 為的極

8、大值點(diǎn) （D）為的極小值點(diǎn) 推薦精選點(diǎn)撥求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，進(jìn)而判斷極大值和極小值。 答案 D考點(diǎn)3 函數(shù)的最大、最小值與導(dǎo)數(shù)典例1已知在時(shí)有極大值6，在時(shí)有極小值，求的值；并求在區(qū)間3，3上的最大值和最小值.解題思路 先通過極值的意義求出的值，然后對(duì)函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.解題過程，令得或.當(dāng)或時(shí), 在和上為增函數(shù),在上為減函數(shù), 在處有極大值, 在處有極小值.極大值為, 而, 在上的最大值為7.若對(duì)于任意都有成立, 得的范圍 .易錯(cuò)點(diǎn)撥 區(qū)別極值和最值，容易混淆，計(jì)算易出錯(cuò)。變式 已知函數(shù)在與x=1時(shí)都取得極值。（1）求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)時(shí)，不等式恒成立，求c的取值范圍。【方法提煉】利用