連續(xù)函數及其性質PowerPoint 演示文稿

1、.48-148-1.48-248-2.48-348-3.48-448-4.48-548-5.48-648-6.48-748-7.48-8例2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數數 xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數故函數 xxf.48-948-9.48-1048-10.48-11例例2.6.7.),(sin內內連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數數證證明明 xy證),( x任任取取xxxysin)sin( )

2、2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當當對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數函數即即 xxy.48-1200limsinsin;xxxx00lim coscos;xxxx48-12.48-1348-13.48-1448-14.48-151.跳躍間斷點.的跳躍間斷點為函數則稱點但存在,右極限都處左,在點如果 )(),0()0()(0000 xfxxfxfxxf 例4.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數討論函數 xxxxxxf解, 0)

3、00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數的跳躍間斷點為函數的跳躍間斷點 xoxy.48-162.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數數義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例2.6.7.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數討論函數 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 .48-17),1(f 解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx.0為函數的可去間斷點 x注

4、意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義數的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.48-18如上例中如上例中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf特點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數數在在點點 xoxy112.48-19例6.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數數 xxxxxxfoxy解, 0)00( f,)00( f.1為函數的第二類間斷點為函數的第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間3.無

5、窮間斷點：無窮間斷點：如果如果 在點在點 處左、右極限處左、右極限)(xf0 x至少有一個為無窮大，則稱點至少有一個為無窮大，則稱點 為函數為函數 的的無無0 x窮間斷點窮間斷點.)(xf.48-204 4、振蕩間斷點：如果、振蕩間斷點：如果 在點在點 處處無極限且函數值在某兩個最值間變動無極限且函數值在某兩個最值間變動無限多次，則稱無限多次，則稱 為函數為函數 的振的振蕩間斷點蕩間斷點. .)(xf0 x0 x)(xf.48-21xy1sin ,0處處沒沒有有定定義義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩

6、蕩間間.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數討論函數 xxxf例例2.6.8.48-22o1x2x3xyx xfy 在定義域在定義域 R內每一點處都間斷內每一點處都間斷, 但其絕對值處但其絕對值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型: , 1, 1)(是無理數時是無理數時當當是有理數時是有理數時當當xxxf函數函數.48-23例例2.6.9.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數數取取何何值值時時當當 xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff

7、 要要使使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數函數 xxf, 1 a.48-24例例2.6.10函數函數 在點在點 是否間斷是否間斷? ?屬于那種類型屬于那種類型? ?能否補充或改變函數在該能否補充或改變函數在該點定義使之連續(xù)點定義使之連續(xù)? ?解 函數函數 在點在點 沒有定義沒有定義, ,所以所以 是函數的間斷點是函數的間斷點. .對于對于 , .xxysin kx , 2, 1, 0( k)xxysin kx , 2, 1, 0( k)kx 0 k0 x.48-25因為因為 ,所以所以 是第一類間斷點是第一類間斷點 .令令 ,即可使函數在即可使函數在 處連續(xù)處連續(xù).

8、對于對于 ,因為因為 ,所以所以 是第二類是第二類間斷點且為無窮間斷點間斷點且為無窮間斷點 . 1sinlim0 xxx0 x1)0( f0 x0 k xxxsinlim0)0( kkx .48-2648-26.48-2748-27.48-2820,1,lim1,1,1.nnxxxx48-28.48-291,11,( )1,1,0,11.xxf xxxx 或48-29.48-3048-30.48-3148-31.48-32定理定理2.6.4).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點點函函數數若若證證,)(連連續(xù)續(xù)在在點點auu

9、f .)()(, 0, 0成成立立恒恒有有時時使使當當 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時時使使當當對對于于 xx.48-33.)(成成立立恒恒有有 auax將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時時使使當當 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx .48-34意義意義1.極限符號可以與函數符號互換極限符號可以與函數符號互換;.)(. 2的的理理論論依依據據變變量量代代換換xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx

10、eln 解解.48-35例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .48-36.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復合函數則復合函數連續(xù)連續(xù)在點在點而函數而函數且且連續(xù)連續(xù)在點在點設函數設函數xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理2.6.5例如例如,), 0()0,(1內內連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內內連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內內連連續(xù)續(xù)在在 xy.48-3748-37

11、.48-38三角函數及反三角函數在它們的定義域內是三角函數及反三角函數在它們的定義域內是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數數函函數數;),(內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數數函函數數;), 0(內單調且連續(xù)內單調且連續(xù)在在.48-39定理定理5 5 基本初等函數在定義域內是連續(xù)的基本初等函數在定義域內是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內內連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內連續(xù)均在其定義域內連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數在其一切初等函數在其定義區(qū)間定義區(qū)間內都是連內都是連續(xù)的續(xù)的. .定

12、義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間. .48-401. 初等函數僅在其定義區(qū)間內連續(xù)初等函數僅在其定義區(qū)間內連續(xù), 在在其定義域內不一定連續(xù)其定義域內不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點的鄰域內沒有定義這些孤立點的鄰域內沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點的鄰域內沒有定義點的鄰域內沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數在區(qū)間函數在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數求極限的方法初等函數求極限的方法代入法代入法.48-41例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.

13、11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx.48-42小結連續(xù)函數的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數的和差積商的連續(xù)性.復合函數的連續(xù)性復合函數的連續(xù)性.初等函數的連續(xù)性初等函數的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個定理兩個定理; 兩點意義兩點意義.反函數的連續(xù)性反函數的連續(xù)性.48-43思考題思考題 設設xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復復合合函函數數)(xgf與與)(xfg的的連

14、連續(xù)續(xù)性性.48-44思考題解答思考題解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xfg0 x是它的可去間斷點是它的可去間斷點 0, 10, 00, 1)(xxxxf.48-45等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設設證 lim)lim( limlimlim.lim .48-4648-46.48-47例例2.6.16.cos12tanlim20 xxx 求求解.22tan,21cos1,02xxxxx 時

15、時當當22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數和中各無窮小不能分別替換對于代數和中各無窮小不能分別替換. .注意注意.48-48例例2.6.17.2sinsintanlim30 xxxx 求求解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 錯 .48-490()0型48-49.48-50()型(0)型48-50.51小結小結1.函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數在一

16、點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數區(qū)間上的連續(xù)函數;第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點(見下圖見下圖).52可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x.53思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？.54思考題解

17、答思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續(xù)續(xù).55但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù).48-5648-56.48-5748-57.48-5848-58.48-5948-59.48-6048-60.48-6148-61.48-62( )f bbxoya)(xfy

18、( )f a48-62.48-6348-63.48-6448-64.48-6548-65.48-6648-66.48-6748-67.48-68例例2.6.262.6.26.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設函數設函數證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即.48-69小結四個定理四個定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2