高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.3二倍角的三角函數(shù)1課件2北師大版必修

1、3.33.3二倍角的三角函數(shù)二倍角的三角函數(shù)( (一一) )【知識提煉知識提煉】二倍角公式及其變形二倍角公式及其變形sinsincoscos+cos+cossinsin2sin2sincoscoscoscoscoscos-sin-sinsinsin2cos2cos2 2-1-11-2sin1-2sin2 2tantan1tantan【即時小測即時小測】1.1.思考下列問題思考下列問題: :(1)(1)公式公式t t22成立的條件是什么成立的條件是什么? ?提示提示: :k k+ ,+ ,k k , ,k kz z. .(2)(2)二倍角公式應用過程中二倍角公式應用過程中,“,“角角”和三角函數(shù)

2、式的和三角函數(shù)式的“次數(shù)次數(shù)”是如何變是如何變化的化的? ?提示提示: :兩種變化形式兩種變化形式: :一是一是“角角”變二倍變二倍, ,“次數(shù)次數(shù)”降低為一次降低為一次; ;二是二是“角角”變?yōu)樵瓉淼囊话胱優(yōu)樵瓉淼囊话? ,“次數(shù)次數(shù)”升高為二次升高為二次. .242.2.計算計算1-2sin1-2sin2 222.522.5的結(jié)果等于的結(jié)果等于( () ) 【解析解析】選選b.1-2sinb.1-2sin2 222.522.5=cos45=cos45= .= .1233a. b. c. d.2232223.sin153.sin15sin75sin75的值為的值為( () ) 【解析解析】選

3、選b.sin15b.sin15sin75sin75=sin15=sin15cos15cos15= = 2sin152sin15cos15cos15= sin30= sin30= .= .1133a. b. c. d.24241212144.2cos4.2cos2 27575-1=_.-1=_.【解析解析】2cos2cos2 27575-1=cos150-1=cos150=-cos30=-cos30=- .=- .答案答案: :- -32325.5.若若tantan=2,=2,則則tan2=_.tan2=_.【解析解析】tan2tan2= = 答案答案: : 222tan2 24.1tan123

4、 43【知識探究知識探究】知識點知識點 正弦、余弦、正切的二倍角公式正弦、余弦、正切的二倍角公式觀察如圖所示內(nèi)容觀察如圖所示內(nèi)容, ,回答下列問題回答下列問題: :問題問題1:1:二倍角的含義是什么二倍角的含義是什么? ?其有哪些變形其有哪些變形? ?問題問題2:2:二倍角公式及其變形各有什么特點二倍角公式及其變形各有什么特點? ?它們?nèi)绾问褂盟鼈內(nèi)绾问褂? ?【總結(jié)提升總結(jié)提升】1.1.對二倍角中對二倍角中“倍倍”的說明的說明(1)“(1)“倍倍”具有廣泛的含義具有廣泛的含義. .例如例如,2,2是是的二倍角的二倍角, ,同樣地同樣地,4,4是是22的二倍角的二倍角,2,2n n是是2 2n

5、-1n-1的二倍角的二倍角,是是 的二倍角的二倍角,3,3是是 的二的二倍角等倍角等. .(2)(2)在具體應用中可先對角進行觀察在具體應用中可先對角進行觀察, ,尋求待求的角與已知角之間的尋求待求的角與已知角之間的差異差異, ,再決定用哪種再決定用哪種“倍倍”的關(guān)系的關(guān)系. .2322.2.二倍角公式的應用二倍角公式的應用(1)(1)直接應用公式進行升冪、配方、開方、求值化簡證明等運算直接應用公式進行升冪、配方、開方、求值化簡證明等運算. .(2)(2)變形應用公式主要體現(xiàn)在化異角為同角、化異次為同次、逆用公變形應用公式主要體現(xiàn)在化異角為同角、化異次為同次、逆用公式等方面式等方面, ,其中二

6、倍角的余弦公式最靈活其中二倍角的余弦公式最靈活. .如如: :1+cos2=2cos1+cos2=2cos2 2;coscos2 2= ;= ;1-cos2=2sin1-cos2=2sin2 2;sinsin2 2= ,= ,不僅僅是逆用不僅僅是逆用, ,更重要的是體現(xiàn)了冪指數(shù)的變化更重要的是體現(xiàn)了冪指數(shù)的變化, ,其中是從一次冪其中是從一次冪向二次冪轉(zhuǎn)換向二次冪轉(zhuǎn)換, ,因此把它們稱為升冪公式因此把它們稱為升冪公式, ,則是從二次冪向一次冪則是從二次冪向一次冪轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換, ,因此把它們稱為降冪公式因此把它們稱為降冪公式. .1cos221 cos 22【題型探究題型探究】類型一類型一 求二倍角

7、的函數(shù)值求二倍角的函數(shù)值【典例典例】1.1.若若sinsin= ,= ,則則cos2=_.cos2=_.2.2.已知已知 的值是的值是_._.1312sin,cos2633 ()則()【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中的條件和所求式中的角有什么聯(lián)系中的條件和所求式中的角有什么聯(lián)系? ?提示提示: :兩角為二倍角關(guān)系兩角為二倍角關(guān)系. .2.2.典例典例2 2中中 是哪個角的二倍是哪個角的二倍? ?這個角與這個角與 有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?提示提示: : 223 622.33362 是的二倍，() ()【解析解析】1.1.由由sinsin= ,= ,得得cos2cos2=1-2sin

8、=1-2sin2 2= = 答案答案: :2.2.因為因為 所以所以 答案答案: :- -13271.99791cossinsin,32363 ()()()22217cos22cos121.3339 ()()()79【方法技巧方法技巧】用二倍角公式求解給值求值問題的常用策略用二倍角公式求解給值求值問題的常用策略(1)(1)當已知和待求式含有三角函數(shù)的平方式時當已知和待求式含有三角函數(shù)的平方式時, ,需先降冪需先降冪, ,再求解再求解. .(2)(2)先探尋到已知和待求式中角的倍、單角關(guān)系先探尋到已知和待求式中角的倍、單角關(guān)系, ,再正用或逆用二倍角再正用或逆用二倍角公式求解公式求解. .(3)

9、(3)當式子中涉及的角較多時當式子中涉及的角較多時, ,要探尋其間的關(guān)系要探尋其間的關(guān)系, ,化異角為同角化異角為同角. .【變式訓練變式訓練】已知已知 求求sin2,cos2,tan2sin2,cos2,tan2的的值值. .【解題指南解題指南】由由sin2sin2=2sin=2sincoscos,cos2,cos2=cos=cos2 2-sin-sin2 2知應先知應先求出求出sinsin,cos,cos的值的值. .13tan,232 ()，【解析解析】因為因為 所以所以sinsin=- =- coscos, ,代入代入sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,得得 cosco

10、s2 2+cos+cos2 2=1.=1.因為因為 所以所以sin2=2sincos= sin2=2sincos= cos2=coscos2=cos2 2-sin-sin2 2= = tan2= tan2= 13tan,232 ()，131933 1010,2 ,cos,sin.21010 () 所以103 1032.10105 ()914.10105sin 23.cos 24 類型二類型二 化簡與證明三角函數(shù)式化簡與證明三角函數(shù)式【典例典例】1.1.化簡化簡: =_.: =_.2.2.證明證明: : 222cos12tansin44()()2sin 2sintan .2cos 22sinco

11、s【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中中 有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?提示提示: : 2.2.典例典例2 2中左、右兩邊的差別是什么中左、右兩邊的差別是什么? ?如何消除差別如何消除差別? ?提示提示: :左邊為弦函數(shù)的高次的分式左邊為弦函數(shù)的高次的分式, ,右邊為切函數(shù)右邊為切函數(shù), ,將左邊正向運用二將左邊正向運用二倍角公式進行約分化簡即可證明倍角公式進行約分化簡即可證明. .44與424 ()【解析解析】1.1.原式原式= = 答案答案: :1 1222cos12sin4cos4cos4()()()222cos12cos1cos 21.cos 2cos 22sincos44()()

12、2.2.左邊左邊= = = =tantan= =右邊右邊. .2222sin cossinsin (2cos1)2cossin2sincoscos (2cos1) （）【延伸探究延伸探究】( (變換條件變換條件) )若將典例若將典例1 1的式子改為的式子改為“ ”“ ”, ,結(jié)果如何結(jié)果如何? ?【解析解析】原式原式= = 答案答案: : cos 10 (13tan 10 )cos 701cos 403sin 10cos 10 1cos 103sin 10cos 10sin 202cos 202sin 402 ()2 2132cos 10sin 102 2sin 40222 2.sin 402

13、sin 402()【方法技巧方法技巧】1.1.化簡三角函數(shù)式的策略化簡三角函數(shù)式的策略一般地一般地, ,三角函數(shù)式的化簡要從減少角的種類三角函數(shù)式的化簡要從減少角的種類, ,減少函數(shù)的種類減少函數(shù)的種類, ,改變改變函數(shù)式的運算結(jié)構(gòu)入手函數(shù)式的運算結(jié)構(gòu)入手, ,通過切化弦、弦化切、異角化同角、高次降通過切化弦、弦化切、異角化同角、高次降冪、分解因式、逆用公式等手段冪、分解因式、逆用公式等手段, ,使函數(shù)式的結(jié)構(gòu)化為最簡形式使函數(shù)式的結(jié)構(gòu)化為最簡形式. .2.2.證明三角恒等式的原則與步驟證明三角恒等式的原則與步驟(1)(1)觀察恒等式的兩端的結(jié)構(gòu)形式觀察恒等式的兩端的結(jié)構(gòu)形式, ,處理原則是從

14、復雜到簡單處理原則是從復雜到簡單, ,高次降高次降低低, ,復角化單角復角化單角, ,如果兩端都比較復雜如果兩端都比較復雜, ,就將兩端都化簡就將兩端都化簡, ,即采用即采用“兩頭兩頭湊湊”的思想的思想. .(2)(2)證明恒等式的一般步驟是證明恒等式的一般步驟是: :先觀察先觀察, ,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異等方面的差異, ,然后本著然后本著“復角化單角復角化單角”“”“異名化同名異名化同名”、變換式子、變換式子結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)“變量集中變量集中”等原則等原則, ,設法消除差異設法消除差異, ,達到證明的目的達到證明的目的. .【變式訓練變式訓練】化簡下列各式

15、化簡下列各式: : 21cossincossin;1212121212cos.28（ ）()()【解析解析】(1)(1)原式原式= = (2)(2)方法一方法一: :原式原式= = 方法二方法二: :原式原式= = 223cossincos.12126221122cos1cos.28244 ()21cos111122242.2222244 易錯案例易錯案例 由條件求值由條件求值【典例典例】(2015(2015榆林高一檢測榆林高一檢測) )已知已知 則則sinsin=_.=_.312sin(2),sin,513 ,0 ,22 ()，()或或【失誤案例失誤案例】【錯解分析錯解分析】分析上面的解析過

16、程分析上面的解析過程, ,你知道錯在哪里嗎你知道錯在哪里嗎? ?提示提示: :錯誤的根本原因是利用二倍角公式及其變形求值過程中忽視了錯誤的根本原因是利用二倍角公式及其變形求值過程中忽視了角的范圍致誤角的范圍致誤, ,實際上本題由實際上本題由sin(2sin(2- -)= 0,)= 0,可進一步縮小角可進一步縮小角2 2- -的范圍的范圍. .35【自我矯正自我矯正】因為因為 所以所以22,0- ,22,0- ,所以所以2- .2-0,sin(2-)= 0,得得22- ,22- ,所以所以cos(2-)= .cos(2-)= .因為因為- 0,- 0, ,0,22 2523552452125sincos.1313 由，得所以所以cos2=cos(2-)+cos2=cos(2-)+=cos(2-)=cos(2-)cos-sin(2-)cos-sin(2-)sinsin 由由cos 2=1-2sincos 2=1-2sin2 2,得得sinsin2