極限存在定理和兩個重要極限課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 極限存在定理和兩個重要極限極限存在定理和兩個重要極限 極限存在定理極限存在定理 兩個重要極限兩個重要極限 小結(jié)小結(jié) 思考思考一、極限存在定理一、極限存在定理1.夾逼定理夾逼定理定理定理 1 1 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及nz滿足下列條件滿足下列條件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim. . 證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNn

2、n時時恒恒有有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限定定理理 2 2 如如果果當(dāng)當(dāng))(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那那末末)(lim)(0 xfxxx 存存在在, , 且且等等于于A. . 注意注意: :,.nnnnyzyz利用夾逼定理求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出與并且與的極限是容易求的定理定理1和和定理定理2稱為稱為夾逼定理夾逼定理

3、.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列定定理理 3 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限. 幾何解釋幾何解釋:AM例例2 2.)(333的的極極限限存存在在式式重重根根證證明明數(shù)數(shù)列列nxn 證證,

4、1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnxAC二、兩個重要極限二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的

5、高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x,20時時當(dāng)當(dāng) xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 1

6、1nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,1lim (1).xxex由此推導(dǎo)出10lim(1)xxxe例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11

7、(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 三、小結(jié)三、小結(jié)1.兩個定理兩個定理2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼定理夾逼定理; 單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e錯誤錯誤._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sin

8、lim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列,.222,22, 2 的極限存在，并求的極限存在，并求出該極限出該極限 . .一、一、1 1、 ； 2 2、