5-2-2數(shù)的整除之四大判斷法綜合運用（二）教師版

1、5-2-2.數(shù)的整除之四大判斷法綜合運用（二）1. 了解整除的性質；2. 運用整除的性質解題;3. 整除性質的綜合運用.一、常見數(shù)字的整除判定方法1. 一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除；一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除；一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除；2. 一個位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除；3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除.4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13

2、整除，那么這個數(shù)能被7、11 或13整除.5. 如果一個數(shù)能被99整除，這個數(shù)從后兩位開始兩位一截所得的所有數(shù)（如果有偶數(shù)位則拆出的數(shù)都有兩個數(shù)字，如果是奇數(shù)位則拆出的數(shù)中若干個有兩個數(shù)字還有一個是一位數(shù)）的和是99的倍數(shù)，這個數(shù)一定 是99的倍數(shù)。【備注】（以上規(guī)律僅在十進制數(shù)中成立二、整除性質性質1如果數(shù)°和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除.即如果c | b,那么 c | （a土b）性質2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除.即如果b丨a,c i b,那么 c i a.用同樣的方法，我們還可以得出：性質3 如果數(shù)°能被數(shù)b與數(shù)c的

3、積整除，那么°也能被b或c整除.即如果be i af那么 z? i d, c i a.性質4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質，那么a定能被b與c的乘積整除.即如果b i af eld,且（b, c）=l,那么be i a.例如：如果 3 i 12, 4 i 12,且（3, 4）=1,那么（3x4） i 12性質5 如果數(shù)a能被數(shù)h整除，那么am也能被bin整除.如果b i a,那么bm i am （加為非0整數(shù)）;性質6 如果數(shù)d能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么處也能被加整除.如果bla,且d lc,那 么 bd i gc;模塊一、11系列【例1以多位數(shù)

4、142857為例，說明被11整除的另一規(guī)律就是看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能 否被h整除.【考點】整除之11系列【難度】2星 【題型】解答【解析】略【答案】142857 = 1x100000 + 4x10000 + 2x1000 + 8x100 + 5x10 + 7x1= 1x(100001-1) + 4x(1 + 9999) + 2x(1001-1) + 8x(1+99) + 5x(11-1) + 7x1= (1x100001+4x9999 + 2x1001+8x99 + 5x11) + (4-1+8-2 + 7-5)因為根據(jù)整除性質1和鋪墊知，等式右邊第一個括號內的數(shù)能被11整除，

5、再根據(jù)整除性質1,要判 斷142857能否被11整除，只需判斷4 1 + 8 2 + 7 5 = (4 + 8 + 7) (1 + 2 + 5)能否被11整除，因此結 論得到說明.【例2試說明一個4位數(shù)，原序數(shù)與反序數(shù)的和一定是11的倍數(shù)(如：1236為原序數(shù)，那么它對應的反 序數(shù)為6321,它們的和7557是11的倍數(shù).【考點】整除之11系列【難度】2星 【題型】解答【解析】略【答案】設原序數(shù)為臥3,則反序數(shù)為莎瓦，則abd + ddxi = (1000a + 100b + 10c + )+ (loood + 100c + 10b + a)= 1001a + 110b + 110c+1001

6、d= ll(9s + 10b + 10c + 91d),因為等式的右邊能被11整除，所以abd + 莎視能被11整除【例3】一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構成一個新的4位數(shù)已知這兩個4位數(shù)的和是以下5個數(shù) 的一個：9865；9866；9867；9868；9869這兩個4位數(shù)的和到底是多少？【考點】整除之11系列【難度】2星 【題型】解答【解析】設這個4位數(shù)是贏則新的4位數(shù)是蕊.兩個數(shù)的和為+= 1001 + 1100/? +hoc + lw,是11的倍數(shù).在所給的5個數(shù)中只有9867是11的倍數(shù)，故正確的答案為9867.【答案】9867模塊二、7、11、13系列【例4】以多位數(shù)142857

7、314275為例，說明被7、h、13整除的規(guī)律.【考點】整除之7、11、13系列 【難度】3星 【題型】解答【解析】略【答案】142857314275 = 142x1000000000 + 857x1000000 + 314x1000 + 275= 142x(1000000001-1)4- 857 x (999999 + 1) + 314x (1001 -1) + 275= 142x100000000 l-142 + 857x 999999 + 857 + 314x1001 314 + 275= (14 2 100000000 1x857 £ 9 9 9<9 9 外1 41-0

8、 0080因為根據(jù)整除性質1和鋪墊知，等式右邊第一個括號內的數(shù)能被7、11、13整除，再根據(jù)整除性質1, 要判斷142857314275能否被7、11、13整除，只需判斷857-142 + 275-314能否被7、11、13整除， 因此結論得到說明.【例5】已知道六位數(shù)200279是13的倍數(shù)，求中的數(shù)字是幾?【考點】整除之7、11、13系列 【難度】2星 【題型】填空【解析】根據(jù)一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么這個數(shù)能被7、 11或13整除的特點知道：279-200=70, 石是13的倍數(shù)，是8的時候是13倍數(shù)，所以知道 方格中填lo【答案】1 【例

9、6三位數(shù)的百位、十位和個位的數(shù)字分別是5, a和，將它連續(xù)重復寫2008次成為：5ab5ab 5ab.2009個 5" 如果此數(shù)能被91整除，那么這個三位數(shù)議是多少？【考點】整除之7、11、13系列【難度】3星 【題型】填空【解析】因為91 = 7x13 ,所以也是7和13的倍數(shù)，因為能被7和13整除的特點是末三位和2009個猛前面數(shù)字的差是7和13的倍數(shù)，由此可知-5ab = 5ab5ab（xx）也是7和13的200&個猛2007個亦倍數(shù)，即也是7和13的倍數(shù)，依次類推可知末三位和前面數(shù)字的差2007個孟2007個麗即為：5ab5ab sab-5ab = 5ab5ab 5a

10、/?（xx）也是 7 和 13 的倍數(shù)，即5ab5ab 5ab也是 7 和2006個茲2005個亦2005個猛13的倍數(shù)，由此可知猛也是7和13的倍數(shù)，百位是5能被7和13即91整除的數(shù)是：91x6 = 546, 所以ab = 46 .【答案】546【例7】已知四十一位數(shù)55 5口99 9 （其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內的數(shù)字是多 少？【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星【題型】填空【解析】我們知道贏贏這樣的六位數(shù)一定能被7、11、13整除。原41位數(shù)中從高位數(shù)起共有20個5,從 低位數(shù)起共有20個9,那么我們可以分別從低位和高位選出555555,和999999,

11、從算式的結構上 將就是 進行加 法 的 分拆， 即：555555x10.00（35 個 0）+555555x10.00（29 個 0）+.+55口99+999999乂 10.00（12個0）+.+999999.這個算式的和就是原來的41位數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn) 每一組含有555555或999999因數(shù)的部分都已經是7的倍數(shù)，唯獨剩余55口99待定，那么只要令55口99 是7的倍數(shù)即可，即只要口44是7的倍數(shù)即可，應為6?！敬鸢浮? 【鞏固】應當在如下的問號“？”的位置上填上哪一個數(shù)碼，才能使得所得的整數(shù)66 6?55 5可被7整除？50個650個5【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星【題型

12、】填空【解析】由于111111 = 111x1001可被7整除，因此如果將所得的數(shù)的頭和尾各去掉48個數(shù)碼，并不改變其對 7的整除性，于是還剩下“66?55 從中減去63035,并除以10,即得“3?2 "可被7整除.此時不難 驗證，具有此種形式的三位數(shù)中，只有322和392可被7整除.所以？處應填2或9.【答案】2或9【例8乞贏亦宓碩亦是77的倍數(shù)，則亦最大為【考點】整除之7、11、13系列【難度】4星【題型】填空【關犍詞】學而思杯，4年級，第9題【解析】sabsabsabsab8ab = sab x 10010010010011001001001001既不是7的倍數(shù)，也不是11的

13、倍數(shù) 所以而是7和11的倍數(shù)77x10 = 770 , 770 + 77 = 847 , 847 + 77 = 924 所以ab = 47【答案】47【考點】【解析】9個整除之7、11、13系列 13|77 770444 44,9個【難度】4星 【題型】填空 13|7777 0444 ,13177777700000004-7770444v 131777777, /. 13|7777770000000, a 13| 7770444 , :. 13| 7770 一 444 444-13 = 432 , .-.1317770 -2,設7770 =77707770 4-13 = 5979 , .0 =

14、 13-(9-2) = 6【答案】6【例10稱一個兩頭（首位與末尾）都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”。一個四位數(shù)的“兩頭蛇數(shù)”去掉兩頭，得到一 個兩位數(shù)，它恰好是這個“兩頭蛇數(shù)”的約數(shù)。這個“兩頭蛇數(shù)” 是o （寫出所有可能）【考點】整除之7、11、13系列 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第9題，10分【解析】去掉頭尾后的兩位數(shù)必為1001的約數(shù)。1001的兩位數(shù)的約數(shù)有11, 13 , 77 , 91 ,所有可能的數(shù)為1111 , 1131 , 1771 , 1911 o【答案】所有可能的數(shù)為1111 , 1131 , 1771 , 1911模塊三、特殊的數(shù)字系列【例11

15、】學生問數(shù)學老師的年齡老師說：“由三個相同數(shù)字組成的三位數(shù)除以這三個數(shù)字的和，所得結果就 是我的年齡。”老師今年歲?！究键c】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第10題，12分【解析】方法一：操作找規(guī)律，當這個三位數(shù)為111時，1 1 1一（1+ 1+ 1）= 3,當這個三位數(shù)為222時， 2224- （24- 2+ 2> 3,所以老師今年37歲。方法二，設而不求設這個三位數(shù)為巫時，根據(jù)題意列出式子整理得到：lllxa一（a + d + a） = 37?！敬鸢浮?7 【例12】已知兩個三位數(shù)贏與荷的和贏+石能被37整除，試說明：六位數(shù)矗麗也能被3

16、7整除.【考點】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星 【題型】解答【解析】略【答案】 贏荷= xl（xx） + =贏x999 + （贏+荷），因為999能被37整除，所以贏x999能被37整 除，而（贏+荷）也能被37整除，所以其和也能被37整除，即贏荷能被37整除.【例13】一個4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構成一個新的4位數(shù)再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端 構成一個更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個數(shù)的一個：9865； 9867；9462；9696；9869這兩個4位數(shù)的和到底是多少？【考點】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星 【題型】解答【解析】設這個4位數(shù)是臥則最新

17、的4位數(shù)是而.兩個數(shù)的和為亦石+ 麗 = 1010d + 10" + 1010c + 101,是101的倍數(shù).在所給的5個數(shù)中只有9696是101的倍數(shù)， 故正確的答案為9696.【答案】9696【例14】一個六位數(shù)各個數(shù)字都不相同，且這個數(shù)字能被17整除，則這個數(shù)最小是?【考點】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，4年級，第11題【解析】各個數(shù)字不同的六位數(shù)最小是123456, 123456-17 = 7262 27263x17 = 123471 , 123471 + 17 = 123488 , 123488 + 17 = 123505, 123505

18、+17=123522,123522 + 17 = 123539, 123539 + 17 = 123556, 123556 + 17 = 123573, 123573 + 17 = 123590 最小是123590【答案】123590【例15王老師在黑板上寫了這樣的乘法算式:12345679x( )=!，然后說道:“只要同學 們告訴我你們喜歡1,2,3,4,5,6,7,8,9中的哪個數(shù)，我在括號里填上適當?shù)某藬?shù)，右邊的積一定全由你 喜歡的數(shù)字組成?！毙∶鲹屩f：“我喜歡3。”王老師填上乘數(shù)“27”結果積就出現(xiàn)九個3； 12345679x(27) = 333333333小宇舉手說：“我喜歡7?！?/p>

19、只見王老師填上乘數(shù)“63”，積久出現(xiàn)九個7： 12345679x(63) = 77力77777 ,小麗說：“我喜歡8。"那么算式中應填上的乘數(shù)是【考點】整除之特殊的數(shù)字系列【難度】2星 【題型】填空【解析】實際上有12345679x9 = 111111111 ,因此12345679乘以5 5為123,4,5,6,7,8,9)得到的積就能出現(xiàn)9 個川，所以要想得到9個8應該乘以72【答案】72模塊四、綜合系列【例16有四個非零自然數(shù)a,b,c,d ,其中c = a + bf d" + c 如果。能被2整除，方能被3整除，c能 被5整除，d能被7整除，那么d最小是【考點】整除之

20、綜合系列【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，復賽，6題【解析】令a = 2k,b = 31,則d = 6l + 2k ,因為d能被7整除，最小14,此時c取不到5的倍數(shù)；若d = 28, 則/ = 4,r = 2,所以d最小是28【答案】28 【例17】若四位數(shù)能被15整除，則a代表的數(shù)字是多少？【考點】整除之綜合系列【難度】2星 【題型】解答【關鍵詞】希望杯，五年級，復賽，第4題，6分【解析】因為15是3和5的倍數(shù)，所以亦既能被3整除，也能被5整除能被5整除的數(shù)的個位數(shù)字是() 或5,能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù).當« = 00寸，9 + a + 8 +

21、a = 17,不是3的倍數(shù)； 當a = 5 0寸，9 + a + 8 + a = 17,是3的倍數(shù).所以，a代表的數(shù)字是5【答案】5【例18】在六位數(shù)3口2口1 的三個方框里分別填入數(shù)字，使得該數(shù)能被15整除，這樣的六位數(shù)中最小的 是【考點】整除之綜合系列【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第13題，5分【解析】15=5x3,最小數(shù)為302010【答案】302010【例19 06這7個數(shù)字能組成許多個沒有重復數(shù)字的7位數(shù)，其中有些是55的倍數(shù)，最大的一個是()。【考點】整除之綜合系列【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第8題【解析】如果組成的7位數(shù)是55

22、的倍數(shù)，55 = 11x5說明這個數(shù)既是5的倍數(shù)也是11的倍數(shù)。能被5整除個 位為5或者0,能被門整除說明這7位數(shù)的奇數(shù)位與偶數(shù)位的差是門的倍數(shù)，為0、門、22, 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21,拆成的兩組數(shù)的差分別為：516, 5 = 0 + 1+4二0 + 2 + 3 ,16 = 6 + 5 + 3 + 2 = 6 + 5 + 4 + 1,又因為組成的數(shù)要最大為：6431205或者6342105,所以答案為6431205 【答案】6431205 【例20兩個四位數(shù)a275和2753相乘，要使它們的乘積能被72整除，求4和b【考點】整除之綜合系列【難度】2星【題型】解答 【解析】考慮到72 = 8x9,而a275是奇數(shù)，所以275b必為8的倍數(shù)，因此可得8 = 2;四位數(shù)2752各位數(shù) 字之和為2 + 7 +