上海工程大高等學(xué)(下)期中復(fù)習(xí)解答

1、prbj a 1.1. 已知已知求求(1) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (1, 3,2),a (2, 1,1)b (0, 2,1)c (2) pr().cj ab 解解prba bj ab 1 2( 3) ( 1)2 177 664116 （2）()13235211ijkabijk ()1 03 ( 2)5 11pr()0415cabcj abc . 2 2 求求點(diǎn)點(diǎn)p(3,1,-1)p(3,1,-1)卻卻到到平平面面3x+y+z-20=03x+y+z-20=0的的距距離離。解解23 31120111111311d 1113.l123yzx直直線線：與與2210l320 xyxz

2、：的的的位置關(guān)系是（的位置關(guān)系是（ c ）a. 平行但不重合；平行但不重合；b. 相交；相交；c. 重合；重合；d. 異面直線異面直線.111l123yzx：的的方方向向向向量量解解1( 1,2,3)s 2210l320 xyxz ：的的方方向向向向量量2(2,1,0)3 0 1 =s （ ， ， ）（1 1，-2,-3)-2,-3)1212/ /ssss與與 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)成成比比例例，12/ /ll所所以以12l1 -1 -1)l又又上上點(diǎn)點(diǎn)（ ， 在在上上，所所以以兩兩直直線線重重合合。32104.l,21030 xyzxyz 設(shè)設(shè)直直線線 ：:4220,xyz 平平面面lc )則則直

3、直線線 （.b.a平平行行于于 ；在在 上上；c.d.垂垂直直于于 ；與與 斜斜交交。解解l(1,3,2) (2, 1, 10)( 28,14, 7)s 直直線線 的的方方向向向向量量(4, 2,1)n 平平面面 的的法法向向量量sn與與 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)成成比比例例，兩兩向向量量平平行行，所以直線與平面垂直。所以直線與平面垂直。105.l10 xyzxyz 求求直直線線 ：:+0 x yz 在在平平面面上上的的投投影影直直線線方方程程。解解直線直線l的平面束方程的平面束方程 110 xyzxyz 11110 xyz 過過l與已知平面垂直的平面：與已知平面垂直的平面：法向量法向量 1,1, 1

4、n 已知平面法向量已知平面法向量 01,1,1n 00n n 1110, 1, 2220yz所所求求直直線線方方程程10+0yzx yz 116.l111xyz 求求直直線線 ：:210 xyz 在在平平面面上上的的投投影影直直線線方方程程。直線直線l的平面束方程的平面束方程: 110 xyyz 110 xyz過過l與已知平面垂直的平面：與已知平面垂直的平面：法向量法向量 1,1,n 已知平面法向量已知平面法向量00n n 1120, 2, 3230 xyz所所求求直直線線方方程程3230210 xyzxyz 解解10l10 xyyz 直直線線 ： 01, 1,2n 7.寫寫出出下下列列曲曲線

5、線繞繞指指定定軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所生生成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程25zoxzxx 面面上上的的拋拋物物線線繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)。8. 說說明明下下列列曲曲面面是是怎怎樣樣形形成成的的2221.949xyz解解22xyz繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn), ,將將原原曲曲線線方方程程中中x x不不變變，z z改改寫寫成成 225yzxx繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)。解解2221194yxz曲曲面面方方程程 （）221194yxy曲曲面面可可以以看看成成 xoy xoy平平面面上上曲曲線線繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成。9. 填填空空：041limln(1)();xyxyxy 0000(11)(11)(11)limlim

6、sinsin11xxyyxyxyxyxyxyxyln(1)(0,4xyxyxy 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)）解解0004441limln(1)=limlim2xxxyyyxyxyyxyxy2222211cos()()(0,12xyxyxy 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)）解解解解22222222000222111()()2limlimlim011cos()()()2xxxyyyxyxyxyxyxyxyxyxy 0011limsin211xyxyxyxy 10. 填填空空：21)arctan()2cos ,_;zxyxydz則則12),(ln )()xxxzydzyy dxxydy 則則13)sin(ln )cos(ln )(cos(

7、ln )zxydzxy dxxydyy則則2224) zxyz則則解解2141()zyxxxy 21sin1()zxyyxy 22(4 )(sin )1()1()yxdzx dxy dyxyxy1)222222222xyzdzdxdydzxyzxyzxyz000011.( , )p,)( , )pzf x yxyf x y 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) ( (可可微微，是是z=z=在在處處b兩兩個(gè)個(gè)一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在的的（）a.b.必必要要條條件件；充充分分條條件件；c.d.充充要要條條件件；既既非非充充分分條條件件也也非非必必要要條條件件。000012.( , )p,)( , )pzf x y

8、xyf x y 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) ( (偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，是是z=z=在在處處d連連續(xù)續(xù)的的（）a.b.必必要要條條件件；充充分分條條件件；c.d.充充要要條條件件；既既非非充充分分條條件件也也非非必必要要條條件件。222231413.3 2 18xyzxyz 求求曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)（ ， ， ）處處的的切切線線和和法法平平面面方方程程。解解22223148xyzxxyz 將將每每一一個(gè)個(gè)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)：22220(1)1230(2)yzxyzxxyzyzxx 0p 3 2 1將將 （ ， ， ）代代入入（1 1）和和（2 2）：0000pppp6420(3)1430(4)y

9、zxxyzxx 00pp=5=4zyxx ， 1, 4,5s 所所求求切切線線的的方方向向向向量量所所求求切切線線的的方方程程321145xyz 所所求求法法平平面面方方程程 342 +51 =0 xyz214.( , )sin1 0(1,1)xyf x yx yeyl 求求在在點(diǎn)點(diǎn)（ ， ）處處沿沿的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，并并指指出出函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿什什么么方方向向函函數(shù)數(shù)值值增增加加最最快快？沿沿什什么么方方向向函函數(shù)數(shù)值值減減少少最最快快？解解2sinxyfxyyyex 2sincosxyxyfxxyeyey (1,0)0fx (1,0)1fey 011(,)22l 11cos,

10、cos22(1,0)1110(1)(1)222feel (1,0)(0,1)gradfe(1,0)(0,1)grad fe函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿梯梯度度方方向向，即即，函函數(shù)數(shù)值值增增加加最最快快(1,0)(0, 1)grad fe 沿沿，函函 數(shù)數(shù) 值值 減減 少少 最最 快快15.1 0(1, 1,1)zxyel 求求u u在在點(diǎn)點(diǎn)p p（1,1,， ）處處沿沿的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，并并指指出出函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿什什么么方方向向函函數(shù)數(shù)值值增增加加最最快快？沿沿什什么么方方向向函函數(shù)數(shù)值值減減少少最最快快？解解uyx uxy (1,1,0)1ux (1,1,0)1uy 0111(,

11、)333l 111cos, cos,cos333 (1,0)111311 ( 1)13333fl zuez (1,1,0)1uz (1,1,0)(1,1,1)gradu (1,1,0)(1,1,1)gradu 函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)沿沿梯梯度度方方向向，即即，函函數(shù)數(shù)值值增增加加最最快快; ;(1,1,0)( 1, 1, 1)gradu 沿沿，函函 數(shù)數(shù) 值值 減減 少少 最最 快快 . .16.求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的極極值值221( , )(2 );yf x yeyxx）22( , )(2).xyf x yexy 2 2）解解1)2( , )(22)0yxfx yex22222( , )2(

12、2 )(2421)0yyyyfx yeyxxeexxy112xy 駐駐點(diǎn)點(diǎn)：2( , )2yxxfx ye 22( , )2(2422)yyyfx yexxy2( , )(44)yxyfx yex1)2在在駐駐點(diǎn)點(diǎn)(-1,(-1,處處：1a=( 1, )22xxfe1( 1, )02xybf1( 1, )22yycfe240acbe11)1,222ef 所所以以駐駐點(diǎn)點(diǎn)(-1,(-1,是是極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)，極極小小值值a=20e 解解2)2222( , )(2)2(22)0 xyxyxyxfx yexyxeexxy1100 xy 駐駐點(diǎn)點(diǎn)：22( , )(2).xyf x yexy 2 2）2

13、222( , )(2)4(42)0 xyxyxyyfx yexyyeexyy 2242xy 22( , )(22)(22)xyxyxxfx yexxyex22(422)xyexxy 22( , )(42)(44 )xyxyyyfx yexyyey 22(824)xyexyy 2222( , )(22)4(224 )xyxyxyxyfx yexxyyeexxyy )在在駐駐點(diǎn)點(diǎn)(0,0(0,0 處處：a=(0,0)2xxf (0,0)0 xybf(0,0)4yycf 280acb 2)4,-28fe 所所以以駐駐點(diǎn)點(diǎn)(-4,-2(-4,-2 是是極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)，極極大大值值)駐駐點(diǎn)點(diǎn)(0,0(

14、0,0 是是非非極極值值點(diǎn)點(diǎn))駐駐點(diǎn)點(diǎn)(-4,-2(-4,-2 ：2a=( 4, 2)6xxfe 2( 4, 2)8xybfe 2( 4, 2)12yycfe 2480acbe 2a=60e 17.(,)0,y zfzx yzx 方方程程確確定定 是是的的函函數(shù)數(shù)，其其中中( , )0,vfu v zzxyzxy求求證證：證證明明 , ,(,)y zf x y zfzx xzfzxf 2222, ,(,)(,)xy zzzy zfx y zffzxxxzx 1111, ,(,)(,)yy zy zfx y zffzxzzzx 12122211, ,(,) ()(,)()(,)(,)zy zyy

15、 zyy zy zfx y zffffzxzzxxzzxxzx yzfzyf xyzxfyfzzxyzxyf2222218.1( ln(sin()3)_;xyxxyd 填填空空：（ ） 21019.,yydyfx y dx交交換換二二次次積積分分的的次次序序。22222( ln(sin()3)xyxxyd 22222222ln(sin()303 2xyxyxxydd2: 01,dyyxy解解xd將將 改改成成 型型區(qū)區(qū)域域：201,xxyx 221100,=,yxyxdyfx y dxdxfx y dy所所以以20. 計(jì)計(jì)算算二二重重積積分分：22()xydedxdy 22d4xyyxx其其中

16、中 由由與與和和 正正半半軸軸所所圍圍成成。解解 ：: 0, 024dr dxdydrdrd 22222()440018xyrrddedxdyerdrdderdre 21.( , , )f x y z dxdydz 將將三三重重積積分分化化為為三三次次積積分分，其其中中是是以以 0,0,01,0,00 2 00 0 3點(diǎn)點(diǎn)、 ， ， 、 ， ， 為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的四四面面體體。解解 ： 1,0,00 2 00 0 3過過、 ， ， 、 ， ， 的的平平面面方方程程：123yzx3332zyx四四面面體體在在xoyxoy平平面面上上的的投投影影：d: 01, 022xyxyx 3:,0332xyx

17、 ydzyx 12 23332000( , , ), ,xyxf x y z dxdydzdxdyfx y z dz 2222.,ixyd 計(jì)計(jì)算算其其中中為為由由平平面面曲曲線線220yzx z繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得曲曲面面與與z=2z=2所所圍圍成成。解解 ： 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程222zxy22d:4xyxoyxy 在在平平面面上上投投影影 22:,22xyxyx ydz 用柱坐標(biāo)表示：用柱坐標(biāo)表示：2: 02 ,02,22rrz 22222223002rixydr rdrd dzdr drdz 2230162223rrdr 2223.xoyxyax計(jì)計(jì)算算以以平平面面上

18、上的的圓圓周周圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域?yàn)闉榈椎祝?2zxy而而以以曲曲面面為為頂頂?shù)牡那旐斨w體體體積積。解解 ：vdv 222d: ()24xyaaxoyxy 在在平平面面上上投投影影 22:, 0 xyx ydzxy 用柱坐標(biāo)表示：用柱坐標(biāo)表示：2:,0cos, 022razr24coscos34222000222cos4araavdvdrdrdzdr drd 442021313cos4242232ad 12132124ll1121120 xzxyzy 求求兩兩直直線線：與與：公公垂垂線線的的方方程程及及它它們們的的距距離離。解解 ：11:23xtlyzt 222:1xtlytzt 1111p1 23ltt設(shè)設(shè)上上任任一一點(diǎn)點(diǎn) （， ，），22222p2lttt 上上任任一一點(diǎn)點(diǎn) （2 2， +1+1， ）， 22212122122313dp pttttt 222121221212,2313( ,)l t ttttttt tr121212(23)2(3)0lttttt 1221224(23)212(3)0ltt