復(fù)變函數(shù)緒論稿

1、1 2009, Henan Polytechnic University1 函數(shù)論是數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)十分重要的領(lǐng)域函數(shù)論是數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)十分重要的領(lǐng)域. .其中包括兩大分支：一是實(shí)變函數(shù)論（研究以實(shí)數(shù)作其中包括兩大分支：一是實(shí)變函數(shù)論（研究以實(shí)數(shù)作為自變量的函數(shù)，高等數(shù)學(xué)研究的就是這一類函數(shù)）；為自變量的函數(shù)，高等數(shù)學(xué)研究的就是這一類函數(shù)）；另一是復(fù)變函數(shù)論（研究以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)）另一是復(fù)變函數(shù)論（研究以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)）, ,我們這門課就是介紹一下復(fù)變函數(shù)論我們這門課就是介紹一下復(fù)變函數(shù)論. .2 2009, Henan Polytechnic University2復(fù)變函數(shù)的產(chǎn)生和

2、發(fā)展簡(jiǎn)史：復(fù)變函數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展簡(jiǎn)史： 1545 1545 年，年， 意大利數(shù)學(xué)家怪杰卡意大利數(shù)學(xué)家怪杰卡丹諾在大術(shù)丹諾在大術(shù)（Ars MagnaArs Magna）中，介）中，介紹紹了解三次方程的方法了解三次方程的方法，首先研究了，首先研究了虛數(shù)，并進(jìn)行了一些計(jì)算虛數(shù)，并進(jìn)行了一些計(jì)算. . 1572 1572 年，年， 意大利數(shù)學(xué)家邦貝利意大利數(shù)學(xué)家邦貝利在代數(shù)（在代數(shù)（L LAlgebraAlgebra）一書中探）一書中探究了這類新數(shù)的運(yùn)算法則，并進(jìn)行了究了這類新數(shù)的運(yùn)算法則，并進(jìn)行了實(shí)際意義上的運(yùn)算實(shí)際意義上的運(yùn)算. . 解方程解方程 卡丹諾公式卡丹諾公式： 232333223223nn

3、mnnmx3.xmxn3 2009, Henan Polytechnic University3 1637 1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾正年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾正式開始使用式開始使用“實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)”、“虛數(shù)虛數(shù)”這這兩個(gè)名詞兩個(gè)名詞. . 同一時(shí)期，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨和法同一時(shí)期，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨和法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗等研究了虛數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗等研究了虛數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)之間的關(guān)系，除了解方程外，還三角函數(shù)之間的關(guān)系，除了解方程外，還把它用于微積分等方面進(jìn)行應(yīng)用研究，得把它用于微積分等方面進(jìn)行應(yīng)用研究，得到很多有價(jià)值的結(jié)果到很多有價(jià)值的結(jié)果.4 2009, Henan Polytech

4、nic University4 1777 1777年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉系統(tǒng)地建立年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)理論了復(fù)數(shù)理論. 在幾何方面：在幾何方面：17971797年，挪威年，挪威數(shù)學(xué)家維塞爾最先數(shù)學(xué)家維塞爾最先提出提出復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的的幾何解釋幾何解釋. .實(shí)軸實(shí)軸虛軸虛軸Oa + bir= r (cos + i sin )5 2009, Henan Polytechnic University5 1831 1831年年, ,德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在哥庭根學(xué)報(bào)上詳細(xì)說明了復(fù)哥庭根學(xué)報(bào)上詳細(xì)說明了復(fù)數(shù)數(shù) a+bi表示成平面上的一個(gè)點(diǎn)表示成平面上的一個(gè)點(diǎn)( (a，b) )，從而明確了復(fù)平

5、面從而明確了復(fù)平面 的概念的概念, ,他又將表示平面點(diǎn)的直角坐標(biāo)與他又將表示平面點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)加以綜合極坐標(biāo)加以綜合, ,統(tǒng)一于表示同一統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的二種表示形式復(fù)數(shù)的二種表示形式復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的代代 數(shù)形式及三角形式數(shù)形式及三角形式之中之中. .此外，高此外，高斯還給出了斯還給出了”復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)”這個(gè)名稱這個(gè)名稱, ,由由于高斯的卓越貢獻(xiàn)于高斯的卓越貢獻(xiàn), ,后人常稱復(fù)數(shù)后人常稱復(fù)數(shù)平面為高斯平面平面為高斯平面. .實(shí)軸實(shí)軸虛軸虛軸Oa + bir= r (cos + i sin )6 2009, Henan Polytechnic University6復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的引入的引入：

6、1748 1748 年，年，歐拉發(fā)現(xiàn)歐拉發(fā)現(xiàn)了了復(fù)復(fù)指指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù)和三角函和三角函數(shù)數(shù)的的關(guān)關(guān)系系，并寫并寫出以下公式：出以下公式： 1777 1777年，在他的著作年，在他的著作微分公式微分公式中，首次使中，首次使用用i 來來表示表示虛數(shù)虛數(shù). . 他他創(chuàng)立創(chuàng)立了了復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論，并并把它把它們們應(yīng)應(yīng)用到水力用到水力學(xué)學(xué)、地圖制圖學(xué)地圖制圖學(xué)上上. . cossinixexix7 2009, Henan Polytechnic University7歐拉和達(dá)朗貝爾是復(fù)變函數(shù)論的先驅(qū)歐拉和達(dá)朗貝爾是復(fù)變函數(shù)論的先驅(qū). 1777 1777年年3 3月，歐拉向彼得堡科學(xué)院提交了一月，歐拉向

7、彼得堡科學(xué)院提交了一篇論文，論文中考慮了復(fù)變函數(shù)的積分：篇論文，論文中考慮了復(fù)變函數(shù)的積分：( ),( )( , )( , )f z dzf zu x yiv x y 其其中中滿滿足足方方程程,uvuvxyyx 其實(shí)比歐拉更早，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗其實(shí)比歐拉更早，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在貝爾在17521752年關(guān)于流體力學(xué)論文中年關(guān)于流體力學(xué)論文中已經(jīng)得到這兩個(gè)方程，故有的教科已經(jīng)得到這兩個(gè)方程，故有的教科書稱這兩個(gè)方程為書稱這兩個(gè)方程為達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾- -歐拉歐拉方程方程. .到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方到了十九世紀(jì)，上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究

8、，所以這兩個(gè)方作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè)方程也被叫做程也被叫做“柯西柯西- -黎曼方程黎曼方程”。 8 2009, Henan Polytechnic University8 十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)的理論經(jīng)過法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)的理論經(jīng)過法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼和維爾斯特拉斯的巨大努力，已經(jīng)形德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼和維爾斯特拉斯的巨大努力，已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論，并且深刻地滲入到數(shù)學(xué)學(xué)科的成了非常系統(tǒng)的理論，并且深刻地滲入到數(shù)學(xué)學(xué)科的許多分支許多分支. .例如，著名的例如，著名的代數(shù)學(xué)基本定理代數(shù)學(xué)基本定理：101100 (0)nnnnazaza z aa （其中系數(shù)都是復(fù)數(shù)），在

9、復(fù)數(shù)域內(nèi)恒有（其中系數(shù)都是復(fù)數(shù)），在復(fù)數(shù)域內(nèi)恒有n個(gè)解個(gè)解. . 一元一元n次方程次方程柯西，黎曼，維爾斯特拉斯是復(fù)變函數(shù)論的奠基者柯西，黎曼，維爾斯特拉斯是復(fù)變函數(shù)論的奠基者.9 2009, Henan Polytechnic University9 現(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)理論及方法在數(shù)學(xué)及工程技術(shù)中現(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)理論及方法在數(shù)學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用有著廣泛的應(yīng)用. .比如，在復(fù)變函數(shù)理論最先得到成比如，在復(fù)變函數(shù)理論最先得到成功應(yīng)用的功應(yīng)用的流體力學(xué)、電磁學(xué)、平面彈性力學(xué)流體力學(xué)、電磁學(xué)、平面彈性力學(xué)這三個(gè)領(lǐng)這三個(gè)領(lǐng)域中，復(fù)變函數(shù)方法已經(jīng)發(fā)展成為解決有關(guān)問題的幾域中，復(fù)變函數(shù)方法已經(jīng)發(fā)展成為

10、解決有關(guān)問題的幾種經(jīng)典方法之一種經(jīng)典方法之一. . 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，許多分支也都應(yīng)用它的理論，他已在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，許多分支也都應(yīng)用它的理論，他已經(jīng)深入到經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，等學(xué)科，對(duì)他們的發(fā)展有很大的影響對(duì)他們的發(fā)展有很大的影響. .復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用 10 2009, Henan Polytechnic University10何為積分變換？何為積分變換？).()(),(Fdttftkba記記為為 所謂積分變換，實(shí)際上就是通過積分，把一個(gè)所謂積分變換，實(shí)際上就是通過積分，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種變換函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一

11、種變換. .：變變量量，具具體體形形式式可可寫寫為為這這類類積積分分一一般般要要含含有有參參原原像像函函數(shù)數(shù)；是是要要變變換換的的函函數(shù)數(shù)，這這里里 )(tf像像函函數(shù)數(shù)；是是變變換換后后的的函函數(shù)數(shù)， )(F.),(積積分分變變換換核核是是一一個(gè)個(gè)二二元元函函數(shù)數(shù)， tk11 2009, Henan Polytechnic University11積分變換的產(chǎn)生積分變換的產(chǎn)生 數(shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運(yùn)算先把復(fù)雜問題變?yōu)閿?shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運(yùn)算先把復(fù)雜問題變?yōu)?比較簡(jiǎn)單的問題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得比較簡(jiǎn)單的問題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得 到原問題的解到原問題的解. .原原 問問 題題原問題的

12、解原問題的解直接求解困難直接求解困難變換變換較簡(jiǎn)單問題較簡(jiǎn)單問題變換后問題的解變換后問題的解求求 解解逆變換逆變換12 2009, Henan Polytechnic University12 如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對(duì)數(shù)將數(shù)的積、如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對(duì)數(shù)將數(shù)的積、商運(yùn)算化為較簡(jiǎn)單的和、差運(yùn)算；商運(yùn)算化為較簡(jiǎn)單的和、差運(yùn)算； 再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的坐標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的坐標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的思路都屬于這種情況思路都屬于這種情況. . 基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換基于這種思想，便產(chǎn)生了

13、積分變換. .其主要體現(xiàn)在：其主要體現(xiàn)在： 數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上：求解方程的重要工具（微積分向代求解方程的重要工具（微積分向代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化）；數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化）； 能實(shí)現(xiàn)卷積與普通乘積之間的能實(shí)現(xiàn)卷積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化互相轉(zhuǎn)化. . 工程上：工程上：是頻譜分析、信號(hào)分析、線性系統(tǒng)是頻譜分析、信號(hào)分析、線性系統(tǒng)分析的重要工具分析的重要工具. .13 2009, Henan Polytechnic University13 積分變換無論在數(shù)學(xué)理論或其應(yīng)用中都是一種非積分變換無論在數(shù)學(xué)理論或其應(yīng)用中都是一種非常有用的工具常有用的工具. .我們只研究我們只研究最重要的兩種積分變換傅里最重要的兩種積分變換傅里葉

14、變換和拉普拉斯變換葉變換和拉普拉斯變換. .其實(shí)由于不同應(yīng)用的需要，還其實(shí)由于不同應(yīng)用的需要，還有其他一些積分變換，其中應(yīng)用較為廣泛的有梅林變有其他一些積分變換，其中應(yīng)用較為廣泛的有梅林變換和漢克爾變換，它們都可通過傅里葉變換或拉普拉換和漢克爾變換，它們都可通過傅里葉變換或拉普拉斯變換轉(zhuǎn)化而來斯變換轉(zhuǎn)化而來. .14 2009, Henan Polytechnic University14 由高數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)知，一個(gè)周期函數(shù)可以展開成為由高數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)知，一個(gè)周期函數(shù)可以展開成為傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)（正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的無窮項(xiàng)線性組合），（正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的無窮項(xiàng)線性組合），而一個(gè)非周期函數(shù)可

15、以看成某個(gè)而一個(gè)非周期函數(shù)可以看成某個(gè)周期函數(shù)其周期趨向于周期函數(shù)其周期趨向于無窮大無窮大轉(zhuǎn)化而來，利用這一思想得到了傅里葉變換和逆轉(zhuǎn)化而來，利用這一思想得到了傅里葉變換和逆變換變換.而拉普拉斯變換可理解為特殊的傅里葉變換，這而拉普拉斯變換可理解為特殊的傅里葉變換，這兩種變換最基本應(yīng)用就是兩種變換最基本應(yīng)用就是求解線性微分方程求解線性微分方程，將復(fù)雜，將復(fù)雜卷卷積積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單乘積乘積運(yùn)算運(yùn)算. 此外，傅里葉變換在此外，傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、信號(hào)處物理學(xué)、電子類學(xué)科、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、

16、結(jié)構(gòu)動(dòng)力結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處理學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值譜中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值譜顯示與頻率對(duì)應(yīng)的幅值大小，開創(chuàng)了顯示與頻率對(duì)應(yīng)的幅值大小，開創(chuàng)了信號(hào)頻譜分析的先信號(hào)頻譜分析的先河河）. . 15 2009, Henan Polytechnic University15 在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的.引入拉普拉斯變引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)是可采用傳遞函數(shù)（換的一個(gè)主要優(yōu)

17、點(diǎn)是可采用傳遞函數(shù)（輸出函數(shù)與輸輸出函數(shù)與輸入函數(shù)的拉普拉斯變換函數(shù)的商入函數(shù)的拉普拉斯變換函數(shù)的商）代替微分方程來描）代替微分方程來描述系統(tǒng)的特性述系統(tǒng)的特性.這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來確這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程（見奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)校正方法校正方法）提供了可能性）提供了可能性.16 2009, Henan Polytec

18、hnic University16 要想學(xué)好這門課，首先復(fù)習(xí)高數(shù)二元函數(shù)要想學(xué)好這門課，首先復(fù)習(xí)高數(shù)二元函數(shù)極限，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，積分，第二型曲線積分，冪極限，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，積分，第二型曲線積分，冪級(jí)數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)等內(nèi)容級(jí)數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)等內(nèi)容. .怎樣學(xué)好復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課怎樣學(xué)好復(fù)變函數(shù)與積分變換這門課17 2009, Henan Polytechnic University171.1.發(fā)揮主觀能動(dòng)性，克服意志無力；發(fā)揮主觀能動(dòng)性，克服意志無力；3.3.練！練！2.2.有的放矢有的放矢; ;其次在學(xué)習(xí)過程中，希望大家做到以下幾點(diǎn)：其次在學(xué)習(xí)過程中，希望大家做到以下幾點(diǎn)： 18 2009, H

19、enan Polytechnic University18 傅立葉傅立葉-法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，17681768年年3 3月月2121日生日生于歐塞爾，于歐塞爾，18301830年年5 5月月1616日卒于巴黎日卒于巴黎. .主要貢獻(xiàn)是在研究主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論.1807.1807年向巴黎科學(xué)院呈年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程（偏微交熱的傳播論文，推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程（偏微分方程）分方程） ，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而

20、數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù). .傅立葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅立傅立葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始葉分析等理論均由此創(chuàng)始. . 另外，傅立葉積分變換的基另外，傅立葉積分變換的基本思想首先由傅立葉提出，所以以其名字來命名以示紀(jì)本思想首先由傅立葉提出，所以以其名字來命名以示紀(jì)念念. .19 2009, Henan Polytechnic University19 拉普拉斯拉普拉斯-法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.1749.1749年年3 3月月2323日生于法國(guó)博蒙昂諾日，日生于法國(guó)博蒙昂諾日，18271827年年3 3月月5 5日卒于巴黎日卒于巴黎. .他是他