第三章 熱輻射的基本定律

1、熱輻射的基本定律華中科技大學(xué)電信系郭偉Email： 3.1相關(guān)定義 在一定溫度下，任何物體總在發(fā)射輻射能，也總是在吸收由周圍其他物體發(fā)射來的輻射能。但達(dá)到輻射平衡時(shí)，物體輻射的能量和吸收的能量相等。一般而言，投射到固體（或液體）物質(zhì)表面上的輻射一部分被吸收，而其余部分被反射。常把物體吸收的輻射能量與投射到物體上的輻射能之比稱為該物體的吸收系數(shù)，相應(yīng)地物體反射的輻射能量與投射到物體上的輻射能之比稱為該物體的反射系數(shù)。3.1相關(guān)定義 在所有頻率上吸收所有的入射的輻射而無反射的理想的完全不透明的材料定義為絕對(duì)黑體（簡(jiǎn)稱黑體）。顯然，黑體的吸收系數(shù)為1，反射系數(shù)為0.黑體除了是一完全的吸收體外，也是一

2、個(gè)完全的發(fā)射體，這是因?yàn)槿绻麤]有能量的發(fā)射，物質(zhì)所吸收的能量將使它的溫度升高。黑體輻射的概念對(duì)于了解實(shí)際物質(zhì)的熱發(fā)射是十分重要的，因?yàn)楹隗w的輻射譜代表了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，相對(duì)于這個(gè)輻射標(biāo)準(zhǔn)，可以表述某種物質(zhì)的輻射。3.2黑體n黑體的物理模型n從外界進(jìn)入小孔的大部分輻射通量，不管腔壁的材料和表面性質(zhì)如何，都將被腔體所捕獲；n在腔體內(nèi)發(fā)射多次反射，直到所有的能量被腔壁吸收；n任何進(jìn)入腔體的通量再?gòu)男】滓莩龅膸茁嗜绱酥。灾驴梢哉J(rèn)為腔體內(nèi)壁是全黑的。3.2.1黑體發(fā)射n黑體發(fā)射與吸收過程相反；n由腔壁任意小面積所發(fā)射的通量將反復(fù)受到反射，且每發(fā)射一次，通量將由于吸收而衰減，但又被重新發(fā)射所增強(qiáng)，直至發(fā)射和

3、吸收相對(duì)于腔壁溫度而達(dá)到平衡狀態(tài)。對(duì)于小孔黑體的情況，由于腔壁具有一定的溫度，它也會(huì)發(fā)出熱輻射。又因空腔和外界絕熱，密閉，因此熱輻射場(chǎng)存在于空腔的內(nèi)部。假定空腔已達(dá)到輻射平衡，腔壁和腔內(nèi)輻射場(chǎng)的溫度均為T。這時(shí)，由于電磁波和腔壁原子之間的相互作用，體系建立起熱力學(xué)平衡。記在頻率間隔 內(nèi)黑體輻射的能量密度為 ，試驗(yàn)證明，滿足： c fffffdf3.2.2黑體輻射基本定律3.2.2黑體輻射基本定律（i）基爾霍夫定律： 只是頻率f和溫度T的函數(shù)， 與輻射空腔的性質(zhì)無關(guān)。又由于電磁波以光速c傳播，波長(zhǎng) 和頻率f存在系 ,因此，也可認(rèn)為，在波長(zhǎng)間隔為 內(nèi)輻射場(chǎng)的能量密度只是溫度T和波長(zhǎng) 的函數(shù)。（ii

4、）維恩位移率：試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)波長(zhǎng) 很小和很大時(shí)， 都很小，曲線有極大值存在，在不同溫度下， 曲線的極值點(diǎn) 的數(shù)值不同， 和相應(yīng)的溫度T之間滿足 f( , )fff T/cfdmm0.2897mTbcm KmT3.2.2基本定律（iii）斯特潘-波爾茲曼定律：將 對(duì)頻率從0到 作積分，可得出輻射場(chǎng)中單位體積的能量，即場(chǎng)能密度u。根據(jù)基爾霍夫定律， 只是f和T的函數(shù)，對(duì)f從0到 作定積分后，u僅是溫度T的函數(shù)。試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，u和溫度T的4次方成正比，滿足 ，此式稱為斯特潘-波爾茲曼定律。fdf4uaT3.3熱輻射的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論熱輻射的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論在建立熱輻射統(tǒng)計(jì)理論之前，先給予一個(gè)定理：從動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)來看

5、，一個(gè)連續(xù)振動(dòng)的體系相當(dāng)于一組諧振子，從連續(xù)振動(dòng)體系發(fā)出的波等價(jià)于一組諧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)發(fā)出的簡(jiǎn)諧波的疊加。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論就是建立在這一定理上經(jīng)過一系列推導(dǎo)，應(yīng)用波爾茲曼統(tǒng)計(jì)和能量均分定理推導(dǎo)出了瑞利-金斯公式238fdfkTdffc3.3.1瑞利-金斯公式 公式中， 。在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論推導(dǎo)中應(yīng)用了能量均分定理,即能量E中每個(gè)平方項(xiàng)的平均值等于（1/2）kT，諧振子的平均能量為 。分析瑞利-金斯公式可得到三點(diǎn)結(jié)論： （i）瑞利-金斯公式雖然具有維恩位移律的形式，但卻不存在真正的維恩位移。瑞利-金斯公式給出的維恩位移 ，亦即b=0，這顯然與維恩位移律的試驗(yàn)結(jié)果b=0.2897cm.k不一致。 2k 0

6、mTfkT（ii）出現(xiàn)紫外災(zāi)難：瑞利-金斯公式只在低頻部分與黑體輻射的試驗(yàn)結(jié)果相符，在高頻部分，在從約相當(dāng)于紫外線的頻率開始，理論結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果有顯著的分歧，理論公式在 時(shí) ，但試驗(yàn)結(jié)果在 時(shí) 。（iii）瑞利-金斯公式不滿足斯特潘-波爾茲曼定律。由瑞利-金斯公式，電磁場(chǎng)的場(chǎng)能密度是發(fā)散的，這當(dāng)然是個(gè)在物理上無法接受的結(jié)果。 f ff 0f23008fkTudfdffc3.3.1瑞利-金斯公式n在解決空腔輻射問題的統(tǒng)計(jì)法有兩種不同的方法，但兩種方法給出了完全相同的答案。從歷史上看，第一種方法是普朗克提出的方法，考慮空腔內(nèi)電磁波的簡(jiǎn)正模（與振動(dòng)弦的諧波相似的問題），普朗克改進(jìn)了經(jīng)典能量均分定理給

7、出的每一個(gè)簡(jiǎn)正模的平均能量的表達(dá)式。第二種方法是把輻射當(dāng)作一種由輻射量子組成的氣體，即當(dāng)作遵守BE統(tǒng)計(jì)法的光之來處理。3.3.2 Planck定律3.3.2 Planck定律nPlanck定律描述了黑體輻射的頻率分布，建立了單頻譜亮度與頻率和溫度之間的關(guān)系。1e2hc)T(B1ec2hf)T(BKT)hc/(52hf/(KT)23f123-34KJ101.3806 KBoltzmannsJ106.626hPlanck常數(shù)：常數(shù)：dBdBdcdfcfdfBdB2f3.2功率功率-溫度對(duì)應(yīng)關(guān)系溫度對(duì)應(yīng)關(guān)系n考慮一種情況：一個(gè)無損微波天線置于保持在恒定溫度T的黑體閉室內(nèi)的情況。如圖所示：圖1 （a）

8、圖中放在溫度為T的黑體外殼內(nèi)的天線給出的功率等于（b）圖中裝在同樣溫度的黑體外殼中的電阻給出的功率（假設(shè)每個(gè)都與帶寬為的匹配接收機(jī)相連）天線所接收的黑體閉室發(fā)射的功率為：2412( , )2ffbbrnfkTddfPAF 若檢測(cè)功率限于一窄帶 內(nèi)，則 在 （ ）近似為常數(shù)，則有ffBf1f24( , )rbbnAkTfdPF （3.1）（3.2）由天線輻射圖立體角 的定義：p4( , )npdF 通過 與有效面積p2prA此時(shí)，式（3.2）變?yōu)閎bkTfP在微波遙感中，該結(jié)果具有十分重要的意義。功率和溫度間的直接線性關(guān)系導(dǎo)致了可交換使用這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)。（3.3） 奈奎斯特對(duì)溫度為T的電阻導(dǎo)出了類似

9、的一個(gè)結(jié)果（如圖1.1（b），他證明了電阻端的資用噪聲功率 是：nPnkTfP從帶寬為 的理想接收機(jī)的觀點(diǎn)出發(fā)，連接到接收機(jī)輸入端的天線等效于一個(gè)電阻 ，稱作天線輻射電阻。雖然兩種情況下接收機(jī)都與“電阻”連接，但在圖1.1（b）的實(shí)際電阻的情況，它的輸出端的資用噪聲功率取決于電阻的物理溫度，而在天線的情況，它的輸出功率取決于黑體外殼的溫度，黑體外殼的壁離天線可以是任意的距離。此外，天線結(jié)構(gòu)的物理溫度與它的輸出功率無關(guān)（只要天線是無損的）。frR（3.4）3.4非黑體輻射非黑體輻射f 黑體是理想化了的物體，在溫度T的熱力學(xué)平衡下，黑體輻射的能量不低于同一溫度T的任何其他物體輻射的能量，且黑體是完

10、全的吸收體，實(shí)際物體稱為灰體，它的發(fā)射少于黑體的發(fā)射，且未必吸收所有入射到它上面的能量。由瑞利-瓊斯公式，在微波范圍內(nèi)，對(duì)于窄帶 ，黑體在溫度T的亮度是：22bbfkTffBB 討論半無限材料，若它的物理溫度為T，可能隨方向而變的亮度是 ，定義黑體等效輻射測(cè)量溫度：假設(shè) 取類似與（3.5）的形式( , )B ( , )B （3.5）22( , )( , )BkBfT （3.6）這種溫度通常稱作亮溫度( , )B 材料的亮溫度 與同一溫度時(shí)的黑體的亮度之比定義為發(fā)射率( , )B ( , )( , )( , )BbbBTTBe 因?yàn)?， ，因而任意一種材料的亮溫度 總是小于或等于它的物理溫度T。

11、( , )bbBB 0( , )1e ( , )BT 3.4.1 視在溫度 現(xiàn)在來討論圖2所示天線。從任何一個(gè)特定方向入射到天線的輻射可能包括有地物本身的輻射，大氣本身發(fā)射的向上輻射，以及被地物反射到天線方向的向下發(fā)射的大氣輻射。此外，當(dāng)?shù)匚锇l(fā)射的輻射和地物自身發(fā)射的輻射穿過介于地物和天線之間的大氣傳播時(shí)，它們將被衰減。（3.7） 為確定天線輸出端功率與天線所觀測(cè)的“景物”的輻射之間的關(guān)系，把問題分兩部討論。首先確定天線輸出功率與視在輻射測(cè)量溫度分布 的關(guān)系，其次再確定 與輻射源的關(guān)系。 是一黑體等效溫度分布，代表著入射到天線能量的亮度分布 ；采用前面定義材料亮溫度 的方式 ( , )APT

12、( , )APT ( , )APT ( , )iB ( , )BT 22( , )( , )iAPkfBT APT來定義 ：（3.8）注：當(dāng)所討論的問題涉及表面或體積的自身輻射時(shí)，我們采用 “亮溫度”這個(gè)術(shù)語(yǔ)，而當(dāng)所討論的問題涉及入射到天線的能量 時(shí)，采用“視在溫度”這個(gè)術(shù)語(yǔ)。 通常借助于測(cè)量接收機(jī)輸出電壓對(duì)置于接收機(jī)輸入端（在天線的位置）匹配電阻的物理溫度的函數(shù)來建立微波輻射計(jì)接收機(jī)傳遞函數(shù)。這個(gè)方法基于電阻所提供的噪聲功率正比與它的物理溫度，對(duì)應(yīng)于天線提供給接收機(jī)的功率P可以定義一個(gè)等效溫度 ，使在這個(gè)溫度時(shí)電阻提供的噪聲功率為P。因此3.4.2 天線溫度對(duì)于用視在溫度 來定義亮度分布的非

13、黑體，接收功率為：2412( , )( , )2rAPnkPfdATF （3.9）,ApT nAkfPPT（3.10）將（1.9）式引入此式，得24( , )( , )rAAPnAdTTF （3.11） 稱作天線輻射測(cè)量溫度，又由天線輻射圖立體角公式：AT24( , )PnrdFA 為：AT44( , )( , )( , )APnAndTFTdF （3.13）（3.12）3.4.3 各種輻射測(cè)量溫度的關(guān)系提要 圖3是圖2的等效框圖。對(duì)于一無損天線，由天線溫度 所代表的天線的天線輸出功率等于對(duì)天線方向圖加權(quán)的視在溫度分布 的積分。對(duì)于每一個(gè)方向 ， 由兩個(gè)輻射源組成，這兩個(gè)輻射源的輻射都從 方向

14、入射到天線。第一個(gè)源是大氣的自發(fā)射 ，第二個(gè)源是在地物表面發(fā)出的，它包含兩個(gè)成份： ，表示地物的自身發(fā)射， ，它是在 方向上被地物散射的能量的輻射測(cè)量溫度。 的主要的源是向下發(fā)射的大氣輻射（用 表示）。 當(dāng)能量穿過地物表面和天線之間的大氣時(shí)， 這個(gè)組合項(xiàng)按大氣損耗因子 而衰減。AT( , )APT ( , ) ( , )APT ( , ) VPTBTSCT( , ) SCTDNTBSCTTaL根據(jù)式（3.13）， 等于視在溫度分布按天線加權(quán)函數(shù) 在 立體角積分，并按加權(quán)函數(shù)的積分歸一化（其積分就是輻射方向圖立體角 ）。AT( , )nF 4P圖 2 天線溫度 ，視在溫度 以及亮度溫度 之間的關(guān)

15、系示意圖ATAPTBT圖3 天線溫度 ，視在溫度 以及亮度溫度 之間的關(guān)系方框圖ATAPTBT3.5 天線效率天線效率3.5.1 波束效率 微波輻射計(jì)是一個(gè)被動(dòng)式儀表，因此，設(shè)計(jì)者必須借助天線輻射方向圖 的形狀以獲得分辨力。理想地，人們要設(shè)計(jì)一個(gè)具有窄的筆形波束而沒有旁瓣的天線。然而，實(shí)際上出了通過天線主瓣接收的熱輻射外，天線還通過輻射方向圖的其余部分接受其他的輻射。為了估計(jì)這些不希望的貢獻(xiàn)的重要性，把式（3.13）分子中的積分分成兩部分，一部分代表主瓣的貢獻(xiàn)，另一部分代表從主瓣以外各方向所接收到的貢獻(xiàn)：APAP444( , )( , )( , )( , )TT( , )( , )nnAnnd

16、dFFTddFF 主瓣主瓣( , )nF （3.14）把式（3.14）中第二項(xiàng)稱作旁瓣貢獻(xiàn)。把量 定義為主瓣貢獻(xiàn)的有效視在溫度：( , )( , )( , )APnMLndTFTdF 主瓣主瓣（3.15）MLT 式中分子和分母中的積分是在天線輻射方向圖 的主瓣所張的立體角上進(jìn)行的。主波束效率 定義為：( , )nF M4( , )( , )nMndFdF 主瓣（3.16）類似的，式（3.14）中的第二項(xiàng)等于乘積 ，其中 是天線雜散因子MLmTm44( , )1( , )nmMndFdF 主瓣（3.17） 定義為旁瓣貢獻(xiàn)的有效視在溫度，其表示式為：SLT44( , )( , )( , )APnS

17、LndTFTdF 主瓣主瓣（3.18）利用這些新的定義，式（3.14）稱為：(1)AMLSLMMTTT（3.19） 圖4 主瓣和旁瓣對(duì)天線溫度 的貢獻(xiàn)AT3.5.2 輻射效率 上一節(jié)討論的天線溫度 代表了無損接收天線輸出端功率。但是，實(shí)際上天線不是無損器件，天線接受或發(fā)射部分能量以熱損耗的形式被天線材料吸收了。在天線端口的接收功率與入射功率之比定義為天線輻射效率 。為了說明天線歐姆損耗對(duì)接收功率的影響，當(dāng)從接收機(jī)看時(shí)，定義 為有損天線的天線溫度。根據(jù)功率-溫度對(duì)應(yīng)原理， 是 和 的乘積，但是一個(gè)有損器件也是一個(gè)輻射器。無源器件所發(fā)射的噪聲功率由噪聲溫度 表征， 為ATATATATlNT001(

18、1)(1)NlTTTL式中L是器件的損耗因子（功率傳輸系數(shù)的倒數(shù)）， 是它的物理溫度。對(duì)于輻射效率為 的天線，它的噪聲溫度由上述方程給出，其中 。因此，（接收的輻射）=（通過天線傳遞的輻射）+（天線自發(fā)射的輻射），或0Tl1lLl（3.20）0(1)AAllTTT把式（3.19）帶入到式（3.20）得：0(1)(1)MLSLlMlMlATTTT（3.21）3.5.3 輻射計(jì)信號(hào)檢測(cè)對(duì)于輻射計(jì) 是信號(hào)，它包含著被觀察的景物的發(fā)射特性的信息。明確的說，輻射測(cè)量遙感的目的是確立輻射計(jì)輸出電壓 與 的關(guān)系， 系指由天線主瓣所勾畫出的分辨單元的視在溫度。AToutVMLTMLT由匹配負(fù)載產(chǎn)生的噪聲功率與

19、它的物理溫度成線性關(guān)系，電壓 可以標(biāo)定成溫度讀數(shù)。因此，可把 看作是測(cè)量量， 是從這個(gè)測(cè)量中被估算的量。對(duì) 解式（3.21）得到outVATMLTMLT0111()()()lMMLSLAlMMlMTTTT （3.22）上述方程呈線性方程的形式，其中1/ 是比例因子，后兩項(xiàng)代表偏置項(xiàng)。如果 、 、 和 是已知量，那么很容易地從 求得 。采用熱敏電阻可很容易地監(jiān)測(cè)天線結(jié)構(gòu)的物理溫度 。這三個(gè)參數(shù)確定了式（3.22）中前兩項(xiàng)的系數(shù)和最后一項(xiàng)的整個(gè)數(shù)值。因?yàn)槌朔e（ ）的倒數(shù)是 的系數(shù)，所以這個(gè)乘積的測(cè)量誤差將不僅構(gòu)成 的絕對(duì)誤差lMlMSLT0TATMLT0TlMATMLT（由于最后一項(xiàng)），而且引起相

20、對(duì)誤差，因?yàn)榈谝豁?xiàng)中的誤差是相乘的。所以，為了得到 的一個(gè)好的估值，精確測(cè)量 是絕對(duì)有必要的。MLTlM 式（3.22）的中間項(xiàng)取決于主波束效率 和旁瓣視在度 。后者是主瓣以外的天線波束圖形狀和“景物”發(fā)射特性的函數(shù)，其值可能在很范圍內(nèi)變化。對(duì)于指向地球的機(jī)載或宇宙飛行器系統(tǒng)，它的“景物”是不斷變化的（海洋上空除外），因而式中第二項(xiàng)的貢獻(xiàn)明顯地與時(shí)間不是無關(guān)的。圖5給出了主波束效率 的幾個(gè)不同值時(shí)第二項(xiàng)數(shù)值對(duì) 的函數(shù)圖。為了把這一項(xiàng)的數(shù)值壓低，將把天線設(shè)計(jì)得具有盡可能高的 值。MSLTMSLTM 結(jié)論，輻射計(jì)測(cè)量的精度和準(zhǔn)確度明顯地取決于輻射效率 和主波束效率 的大小，以及這些參量的已知的精度

21、。lM圖 5 對(duì)于主波束效率 的幾個(gè)不同的值，旁瓣因子對(duì)入 射旁瓣亮溫度 的函數(shù)MSLT3.6 輻射傳遞理論輻射傳遞理論 現(xiàn)在討論圖7 所示的場(chǎng)景。用兩個(gè)過程：消光和發(fā)射，來描述輻射和物質(zhì)的相互作用，若輻射通過媒質(zhì)時(shí)它的強(qiáng)度受到衰減，稱之為消光，若媒質(zhì)使輻射的能量增加，稱之為發(fā)射。通常，這個(gè)相互作用是由同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)過程構(gòu)成的。3.6.1 消光圖6 穿過無限小圓柱的輻射傳遞 研究一個(gè)小圓柱體，它的橫截面為dA，厚度為dr，材料的密度為 。亮度 垂直投射到這個(gè)圓柱體的下底面，如圖6所示，由于在厚度dr范圍內(nèi)傳播、消光引起的亮度損失為 ( )B r()edBBdr消光（3.23）式中，B=亮度，

22、=媒質(zhì)的消光系數(shù)21Wmsre1Npm圖7 在輻射計(jì)測(cè)量遙感中幾個(gè)最感興趣的配置方式：（a）向上看的輻射計(jì)（b）光滑表面邊界（c）粗糙表面邊界（d）兩層地物。 也稱為功率衰減系數(shù)。入射輻射的能量損失可能是被材料吸收、散射、或者二者皆有。所謂吸收損耗，指的是能量轉(zhuǎn)化為其他的能量形式，例如熱；所謂散射損失，指的是能量傳播到除入射輻射方向之外的其他方向。吸收和散射過程是線性過程。因此消光系數(shù)可表示為吸收系數(shù) 和散射系數(shù) 之和easeas（3.24）有時(shí)用媒質(zhì)的物理性質(zhì)，譬如密度 ，來表示消光系數(shù) （以及 和 ）是方便的。在這種情況下，eas()eemamsm（3.25）式中， =材料的密度， =質(zhì)量

23、消光系數(shù)， =質(zhì)量吸收系數(shù)， =質(zhì)量散射系數(shù)，emamsm1kgm12Np kgm12Np kgm12Np kgm3.6.2 發(fā)射 小圓柱體在垂直r+dr處的上底面的方向發(fā)射的亮度的微分量（代表能量）為()()asasdBdrJJ發(fā)射（3.26）式中 和 是源函數(shù)，分別說明 方向的熱發(fā)射和散射。因在局地在熱平衡條件下，熱發(fā)射必定等于熱吸收，故 稱作吸收源函數(shù)。為了導(dǎo)出和求解一般形式的傳遞方程。為此，引入單散射反照率。aJsJraJ（3.27）并從式（3.25）得1aea（3.28）利用式（3.27）和式（3.28），把式（3.26）寫成這樣的形式()()(1)aseeasaseedBdraad

24、rJJJJ發(fā)射（3.29）最后把式（3.29）方括號(hào)中的量稱為有效總源函數(shù)J：(1)asJaaJJ（3.30）()edBJdr發(fā)射利用式（3.30）（3.31）se3.6.3 微分方程 垂直與圓柱體的上底面方向離開圓柱體的亮度B（r+dr）和垂直入射到圓柱體的下底面的亮度B（r）之間的差等于發(fā)射超過消光的量()( )()()dBB rdrB rdBdB發(fā)射消光（3.32）將式（3.23）和式（3.26）代入上式得()edBdr JB令（3.33）eddr（3.34） 稱作光學(xué)厚度增量。將式（3.34）代入式（3.33）并整理，得到微分方程ddBBJd（3.35）此式稱為傳遞方程。B和J是在點(diǎn)

25、定義的并且傳播方向?yàn)?方向( , , )Q r r3.6.4 形式解 現(xiàn)在來討論由消光系數(shù) 和源函數(shù)J所表征的半無限媒質(zhì)（圖 8 中的+z區(qū)域）的一般情況。在邊界z=0處 方向的亮度給定為 感興趣的是媒質(zhì)內(nèi)部點(diǎn)r處 方向上的亮度B（r）。er(0)Br圖8 傳遞方程的幾何示意圖引入沿行程 到 的光學(xué)厚度 1r2r2112()erdrrrr（3.36）現(xiàn)在討論沿著圖 8 所示的路徑在任意點(diǎn) 的傳遞方程。用 乘式（3.34）兩邊得到r(0, )re(0,)(0,)(0,)(0,)( )( ) ( )( )dBdrrrrrBBJrrrddeeee（3.37）式中 是在邊界r=0和 點(diǎn)之間媒質(zhì)的光學(xué)厚

26、度。(0,)rr對(duì)上式進(jìn)行簡(jiǎn)化整理后得到傳遞方程的形式解(0, )( , )0( )(0)( ) ( )rrrreB rBJdeerrr上述解說明在任意點(diǎn)r沿 方向傳播的亮度由兩項(xiàng)確定。第一項(xiàng)是在邊界處（ 方向傳播的）亮度B(0)按照因子 衰減后的值，這個(gè)衰減是由于0到r之間的材料引起的消光所致。第二項(xiàng)代表沿著傳播路徑的材料所引起的發(fā)射和散射。這個(gè)積分是每個(gè)長(zhǎng)度為 的無限小厚度的貢獻(xiàn)之和；根據(jù)式（3.31）在點(diǎn) 處一層的貢獻(xiàn)為微分發(fā)射亮度 ，由于點(diǎn) 和觀察點(diǎn)r之間的媒質(zhì)引起的消光在數(shù)值上依照因子 而衰減。（3.38）rr(0, )redrr( ) ( )eJdrrrr( , )rre3.7 吸

27、收和散射媒質(zhì)的視在溫度吸收和散射媒質(zhì)的視在溫度 式（1.38）給出的一般解是用亮度B表示的。在微波范圍，可以采用普朗克定律的瑞利-瓊斯近似形式以視在溫度 來定義B(r)22( )( )APkB rrfTAPT（3.39）3.7.1 源函數(shù) 基爾霍夫定律指出在局部熱力學(xué)平衡條件下熱發(fā)射必定等于熱吸收，由此得出這樣的結(jié)論：吸收源函數(shù)是各向同性的并且是由普朗克定律給出的。再次假定瑞利-瓊斯近似式是適用的，那么22( )( )akrT rfJ（3.40）式中T(r)是在r處的媒質(zhì)的熱力學(xué)（物理）溫度。雖然基爾霍夫定律是在嚴(yán)格的熱力學(xué)平衡條件下確立的，但是人們發(fā)現(xiàn)，如果媒質(zhì)內(nèi)部空間溫度梯度不太大，仍然與

28、該定律相當(dāng)精確地吻合。 散射源函數(shù) 是用所有方向入射的輻射來說明 方向的散射輻射。如果指定入射輻射方向用單位矢量 表示，那么 可以表示為( )srJrir( )srJ41( )( ; ) ( )4iiisrrBdJrr（3.41）式中 是從 方向入射的輻射亮度， 稱作相函數(shù)，它說明了從 方向散射到 方向的那一份能量。類似于吸收函數(shù)，可以用散射的輻射測(cè)量溫度 定義散射源函數(shù) ，表示如下( )iBrir( ; )irrirrSCT( )srJ22( )( )SCskrrfJT（3.42）將式（3.39）代入式（3.41），并令后者等于式（3.42），得41( )( ; )( )4SCiAPiirr

29、dTr Tr（3.43）將式（3.40）和式（3.42）代入式（3.30），得到總源函數(shù)22( )(1)( )( )(1) ( )( )SCaskJ rarara T rarfJJT（3.44）3.7.2 一般解 用上述表達(dá)式替換式（3.38）中的J(r)并用式（3.39）替換B(r)，化簡(jiǎn)得(0, )( , )0( )(0)( )(1) ( )( )rrrrAPAPeSCra TadeeTTrrTrr（3.45）式中 是邊界處的視在溫度。式中所有各項(xiàng)都是屬于 方向傳播的。(0)APTr一般情況，消光系數(shù) 由吸收部分 和散射部分 組成。在沒有吸收時(shí)，把這種過程看作純散射過程，而當(dāng)吸收是唯一的消

30、光過程時(shí)，稱之為純吸收過程。然而，微波與地物和大氣媒質(zhì)的相互作用eas很少遇到由純散射所描述的情況。當(dāng)散射和吸收二者都存在時(shí)，正如式（3.45）給出的， 的一般解需要計(jì)算包含散射輻射測(cè)量溫度 的積分，而 本身有是在 立體角內(nèi)由 對(duì)所有 方向進(jìn)行的積分所確定，因此，媒質(zhì)中每一點(diǎn)的解依賴于與其他各點(diǎn)的相互作用，這導(dǎo)致了公式非常復(fù)雜。如果單散射反率 ，問題的復(fù)雜性就大大降低了。( )APrT( )SCrT( )SCrT4()APiTrir1a3.7.3 無散射的媒質(zhì)中的輻射傳遞 無散射媒質(zhì)中， ，式 （3.45）簡(jiǎn)化為0s(0, )( , )0( )(0)( ) ( )rrrrAPAParTdeeT

31、Trrr（3.46）式中( , )rarrdrr（3.47）對(duì)于離底面為距離r的觀察地物的輻射計(jì)，式 (3.46)中的第一項(xiàng)表示地物的視在溫度 按照因子 衰減后的值，這個(gè)衰減因子說明了地物和輻射計(jì)之間大氣的吸收，第二項(xiàng)表示在輻射計(jì)方向上大氣本身的向上輻射。(0)APT(0, )re3.7.4 無散射假設(shè)的適用性 在晴朗天空條件下，地球大氣在微波范圍內(nèi)是沒有散射的。而當(dāng)云和（或）雨存在時(shí)，是否可以忽略小水滴的散射取決于小水滴的密度和相對(duì)波長(zhǎng)而言的小水滴的分布。通常，對(duì)于大多數(shù)的氣象條件，若頻率低于10GHz可不考慮散射效應(yīng)。 包含在媒質(zhì)內(nèi)部所引起的散射常常稱為體散射，它明顯區(qū)別于兩種不同媒質(zhì)分界

32、面引起的散射，如土壤媒質(zhì)和大氣之間的邊界。后者稱為面散射。聯(lián)系式（3.46）， 部分地是從地物到大氣的向上發(fā)射。(0)APTn通過邊界的投射系數(shù)把這種發(fā)射與分界面之下緊靠分界面的某點(diǎn)的向上發(fā)射聯(lián)系起來，投射系數(shù)取決于地物媒質(zhì)（相對(duì)于空氣）的介質(zhì)特性和表面的幾何形狀。n 至此，已經(jīng)簡(jiǎn)要介紹了地物與俯視輻射計(jì)之間通過大氣的輻射傳遞。為了計(jì)算地物的自發(fā)射輻射，需要對(duì)地物媒質(zhì)本身求解式（3.45）以便確定恰好在分界面下面某點(diǎn)的向上發(fā)射的輻射。如果媒質(zhì)的單反射反照率是非常小的，可以用式（3.46）；否則，還應(yīng)考慮體散射。 物質(zhì)媒質(zhì)內(nèi)的吸收取決于媒質(zhì)的平均電導(dǎo)率，而散射取決于媒質(zhì)的介質(zhì)特性的空間非均勻程度

33、和（或）各向異性的程度，這種非均勻性和各向異性的程度是以波長(zhǎng)單位量度的。 考慮干雪的例子。密度為 的雪團(tuán)由60%的空氣和40%的冰組成。冰的密度是 ?？諝獾南鄬?duì)電容率為1，冰的微波電容率為3.15，因此，這種媒質(zhì)的平均電容率是 雪中冰顆粒直徑的典型尺寸是0.1-5mm的量級(jí)。如果傳播波的波長(zhǎng)比冰顆粒的尺寸以及顆粒之間的平均距離大得多，那么媒質(zhì)在電磁上表現(xiàn)為均勻的，并且不發(fā)生明顯的散射。但是，如果波長(zhǎng)與冰顆粒的尺寸是同一數(shù)量級(jí)，那么這種空間非均勻性將引起體散射（因?yàn)楸w粒的電容率與背景的電容率之比是3.15：1.0）。因此，在1GHz時(shí)（在空氣中 ，在雪中 ）可以把雪看作純吸收性的，而在30GH

34、z時(shí)（在雪中 ）必須同時(shí)考慮吸收和散射。30.916gcm30.37gcm30cm30/ 1.8622cm7.3cm3.8 大氣和地物的視在溫度大氣和地物的視在溫度3.8.1 向上大氣輻射圖 9 平均分層大氣的向上及向下發(fā)射貢獻(xiàn)，（a）向上大氣視在溫度（地面發(fā)射除外）（b）向下大氣視在溫度 討論圖9所示的分層大氣，在距離地面高度H處的 點(diǎn)觀測(cè)，大氣視在溫度用 表示，代表地面和觀察點(diǎn)之間整個(gè)大氣路徑的最終的向上發(fā)射的輻射，并且該觀測(cè)點(diǎn)是處于相對(duì)于表面法線的 方向上。( , )Q r( ,)UPHT( ,)sec0( ,)sec( ) ( )HHzUPaHTdzeTzz（3.48）式中( ,)(

35、)HazHz dzz（3.49）3.8.2 向下大氣輻射 如圖9（B）所示，類似于前述的情況，可以證明(0, )sec0( )sec( ) ( )zDNaTdzeTzz（3.50）這里認(rèn)為大氣是無限的。物理意義：由高度為 和垂直厚度為 的某一層發(fā)射的能量正比于 ，這個(gè)能量在向下傳播到地表時(shí)由于介于其間的各層的吸收而衰減，衰減因子為 。zdzsec( ) ( )aTdzzzexp(0, )z 對(duì)于從z=0到z=H范圍內(nèi) 和 這種平面分層均勻大氣（或）云的特殊情況， 表示式稱為0( )T zT0( )aaz( ;)DNHTsec(0,)sec0000( ;)sec1aHHDNazHdeeTTzT（

36、3.51）式中 和 均為常數(shù)，容易證明， 是由同樣的表示式給出的。0T0a( ;)UPHT3.8.3 地物和大氣的向上輻射 對(duì)于分層大氣， 為( ;)APHT(0,)sec( ;)( ;0)( ;)HAPAPUPHHeTTT（3.52）通常把式（3.52）的第一項(xiàng)中的指數(shù)因子的倒數(shù)稱為損耗因子(0,)sec( ;)HaHeL（3.53）一般情況下( ;0)( )( )APBSCTTT（3.54）考慮 與坐標(biāo)中的方位角 的、極化的依從關(guān)系，把符號(hào)推廣，定義APT( , ; ; )APAPz pTT （3.55）式中 表示觀察點(diǎn)的方向，z表示地面之上觀察點(diǎn)的高度，p表示 的極化類型： ( , )

37、APT()vph水平極化 或 （鉛垂極化）圖10 地物之上高度為H處的視在溫度 由(1)恰在地物之上一點(diǎn)（z= ）的 收到大氣衰減后的地物視在溫度和(2)大氣向上自貢獻(xiàn)部分 所組成( ;)APHT0( ;0)APTUPT從地物之上某一高度H處觀測(cè)的地物極化視在溫度可表示為1( , ; )( , ; )( , ; )( ;)( ;)APBSCUPaH pppHTTTTHL （3.56）3.9 均勻溫度剖面分布的均勻地物媒質(zhì)均勻溫度剖面分布的均勻地物媒質(zhì) 如圖11，假設(shè)從地物的本構(gòu)參量和物理溫度兩方面來看地物都是均勻的，媒質(zhì)1（空氣）和媒質(zhì)2（地物）分界面之上某一點(diǎn)所觀察到的亮溫度 和散射溫度 的

38、表示式為：1( ; )BpT1( ; )SCpT1112(; )1(; )(; )0BAPpppTT（3.57）式中， 為媒質(zhì)1以 方向極化方式為p入射到媒質(zhì)2的反射率， 是剛好在表面（ ）下面某一點(diǎn)處（從 方向入射到邊界的）媒質(zhì)2的p極化（h或v）視在溫度。對(duì)于 ，11(; )p12(; )0APpT0z20z zgTT散射溫度為1111(; )(; )()SCDNppTT（3.58） 是向下發(fā)射的大氣視在溫度。1()DNT 以鏡面為邊界的均勻地物媒質(zhì)的p極化視在溫度為：111111111(; )1(; )(; )()(;)(;)APgDNUPaH pppHTTTTHL12122111212

39、2222cossin( ; )cossinh212121121212222cossin( ; )cossinv（3.59） 圖11 與散射（反射）輻射測(cè)量溫度 和地物亮溫度 有關(guān)的幾何示意圖SCTBT3.10非均勻溫度剖面分布的均勻地物媒質(zhì)非均勻溫度剖面分布的均勻地物媒質(zhì) 如果媒質(zhì)2中的 和 處處是常數(shù)，但T(z)不是常數(shù)，那么 仍由式 （3.58）給出，但 221( ; )SCpT1112(; )1(; )(; )0BAPpppTT2sec2220(; )(; )sec()00aAPAPazppTdeTT給定溫度剖面分布 ，可以用解析法或數(shù)值法算出上述積分。（3.60）()T3.11 非均勻介質(zhì)剖面分布的地物媒質(zhì)非均勻介質(zhì)剖面分布的地物媒質(zhì) 某種地物媒質(zhì)特征為( , , ),( , , )1,0( , , )( )