第一積分中值定理的推廣及應(yīng)用

1、單位代碼: 學(xué) 號(hào):類號(hào)：0712.2 密級(jí)：一般本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）巨 第一積分中值定理的推廣及應(yīng)用業(yè):學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：職 稱：講師答辯日期：二零一四年五月二十五日積分第一中值定理的推廣與應(yīng)用摘要：本文主要分三個(gè)部分，第一部分，對(duì)積分第一中值定理,將結(jié)論閉區(qū)間 增強(qiáng)到開(kāi)區(qū)間.對(duì)于推廣的積分第一中值定理，一方面，我們將結(jié)論閉區(qū)間增強(qiáng)到開(kāi)區(qū)間另一方面，我們對(duì)函數(shù)/(x)，gu)做了相關(guān)方面的改進(jìn)，并給出了相關(guān)定理，同時(shí)舉例說(shuō)明、應(yīng)用.第二部分，我們主要敘述了積分第一中值 定理的逆問(wèn)題.第三部分，我們對(duì)積分中值定理和微分中值定理的關(guān)系進(jìn)行了研究. 無(wú)論對(duì)積分中值定理的哪方面研究，都對(duì)積分第一

2、中值定理的補(bǔ)充和進(jìn)一步完善有 重耍的理論意義，只有不斷的改進(jìn)，才能使它更完美、適用.關(guān)鍵詞：積分第一中值定理;拉格朗日微分中值定理;連續(xù);可導(dǎo)extension and application of the first intergral meanvalue theoremabstract: this paper mainly divided into three parts, the first part, the first integral mean value theorem, the closed interval increases to open interval. for th

3、e first integral mean value theorem，promotion on the one hand，we will enhance the conclusion closed interval to the interval; on the other hand，the function, improved related，and the theorems are given，at the same time，application examples. the second part, we mainly discusses the inverse problem of

4、 the first mean value theorem of integral. the third part， our relationship to the integral mean value theorem and differential mean value theorem is studied. both the study of mean value theorem for integrals which，added to the first integral mean value theorem and further improve has important the

5、oretical significance， only continuous improvement，to make it more perfect，apply.key words: the first integral mean value theorem; lagrange mean value theorem; continuous; derivative;1引言在數(shù)學(xué)分析中，積分中值定理和微分中值定理一樣,也有著非常廣泛的應(yīng)用，無(wú) 論是各類資料，還是各類參考書(shū)，都有較為豐富的描述，尤其在應(yīng)用積分第一中值定 理處理一些問(wèn)題時(shí)，更為常見(jiàn).我們知道，微積分的許多命題和不等式的證明都以它 為依

6、據(jù),在證明有關(guān)中值問(wèn)題時(shí)具有極其重要的作用.學(xué)好積分中值定理,能為進(jìn)一 步學(xué)好積分理論打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).從引入積分第一中值定理入手,并對(duì)其加以推廣， 旨在擴(kuò)大中值定理應(yīng)用范圍，增強(qiáng)其的實(shí)用價(jià)值，使中值定理發(fā)揮更大的作用.本文先給出華東師大|1給出的積分第一中值定理和推廣的積分第一中值定理定理，通過(guò)查看荊江雁12的積分中值定理的推廣和周燕w的積分中值定理的推廣與 應(yīng)用，將華東師大中的積分第一中值定理結(jié)論巾的閉區(qū)間增強(qiáng)到開(kāi)區(qū)間，外并給出了和關(guān)的證明和例題.乂通過(guò)查看卜小雄141的第一積分中值定理的改進(jìn)及應(yīng)用，張安梅，袁志強(qiáng)51的積分中值定理的改進(jìn)，王軍濤，馬寶林m的積分中值定理再討論，王凡彬7)的用

7、柯四中值定理證明積分中值定理，加州理工學(xué)院81出版的 mathematical 一方面，我們將結(jié)論閉區(qū)間增強(qiáng)到幵區(qū)間;另一方面我們對(duì)函數(shù)/(%),以x)做了和關(guān)方面的改進(jìn).還通過(guò)查看唐艷181的積分中值定理的逆問(wèn)題及漸進(jìn)性，王晗玥191的積分中值定理的改進(jìn)田園|1()|的微分中值定理與積分中值定理關(guān)系的探討，對(duì)積分第一屮值定理的逆問(wèn)題和積分屮值定理與微分屮值定理的 關(guān)系也做了相關(guān)方面的研宂.本文對(duì)積分第一中值定理，無(wú)論是對(duì)在取值范圍做了變動(dòng)，還是對(duì)函數(shù)做了有 些方面的變動(dòng)，得到的定理都對(duì)我們以后在做相關(guān)方面的題有很大幫助.2積分第一中值定理的推廣2.1預(yù)備知識(shí)|1(稅分第一中值定理)若/在上連

8、續(xù)，則至少存在一點(diǎn)e 6z,/?，使得 b f(x)dx =a)j a(推廣的積分第一中值定理)若/與g都在a,b上連續(xù)，且以%)在«,/? ±不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)使得c f(x)g(x)djc =g(x)dxj aj a1.2積分第一中值定理的推廣1.2.1積分第一中值定理的改進(jìn)1231對(duì)于積分第一中值定理，是否可以將結(jié)論閉區(qū)間增強(qiáng)到開(kāi)區(qū)間我們下面給出證明，并給出相關(guān)例題。定理1若在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)f e h，/?)，使得成立。i主:定理1在很多實(shí)際應(yīng)用中都用到，而且與微分中位定理的敘述相一致，在這里我們給 出證明。證明：利用微分中值定理來(lái)證明。令f(x) = &

9、#163;/也，因/(x)在上連續(xù)，所以f在h，/?上連續(xù)，在h，/?) 內(nèi)可導(dǎo)，且廠'(；0 = /00,對(duì)fu)在上應(yīng)用拉格朗日微分中值定理可得：至少存在一點(diǎn)使得f(b)-f(a) = f'g)(b-a)，£ /(x)dx-j f(x)dx = f(f)(b-ei)a<<bf艮 pf(x)dx = /()0 - a)a <b.例1假設(shè)在./(x)上連續(xù)，非負(fù)，嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，證明ran£ fdx > -£ f(x)dx.證明：由定理1可以得到j(luò)j f(x)cbc = af() >ajd)0< <a.(1

10、-1)c f(x)dx = (b-)<(/?-ci)f(ci)a <2<b.(1-2)jo由式(1-1)、式(1-2)可以得到j(luò)o fmcbc > /fmdx兩邊乘以二得 b卜紐:”:嫩因力0丘1，所以1-三1，又由于yu)為上的上連續(xù)，非負(fù)函數(shù) bb所以f(x)dx > 0.所以ci例 2 求證：lim f1dr = o."4+00 j() x證明：如果取vro，f e0j-r,則有即37v，當(dāng)zi；v 時(shí)，有1 + 2對(duì)等式右邊的第一個(gè)積分用中值定理，對(duì)第二個(gè)積分的被積函數(shù)用不等式0<s1則有1 + x0<£什<22-r所

11、以lim f' = 0.>4-00 jo 1 +x例3設(shè)以x)在上不恒為0,且其導(dǎo)函數(shù)g在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，并有g(shù)= g(z?) = o .試證明：存在點(diǎn)f e 6z，/?，使得(b-ag(x)dx.證明：由g=0及g在上不恒為0,可知g在上不恒為常數(shù)，g在不恒為0.因而，如果則命題顯然成立.下面考慮£ g(x)dx>0的情形.由g=0和lagrange屮值公式；口1知.3乂 e a,b,使得la8(x)dx = g(y)(b-a) = g(y)-g(a)(b-a) = ge)(y-a)(b-a)-其中feb，可得1.2.2推廣的積分第一中值定理的改進(jìn)4_7對(duì)于推廣的積

12、分第一中值定理，一方而，我們將結(jié)論閉區(qū)間增強(qiáng)到開(kāi)區(qū)間另一方面，我們對(duì)函數(shù)/(x),以x)做了相關(guān)方面的改進(jìn)。下面我們給出 了相關(guān)定理和證明。定理2若/(%)與g(x)都在上連續(xù)，且g(x)在上不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)(a，b)，使得)1：定理1明顯是定理2當(dāng)時(shí)的特殊情況.如果先敘述定理2,則定理1就可以作為定理2的推廣，然而從人們一貫的做法，有先易后難的順序，所以先敘述定理1,再敘述 定理2，比較自然.證明：設(shè)在g(x)滿足g(x) 20，則 當(dāng)g(x)0時(shí)，上述等式成立.當(dāng)不恒g(x)等于0時(shí)，則至少存在一點(diǎn)'e ，/?，使得g(xq)0，由連續(xù)性知j*>0.乂由于/(x)在a,

13、b上連續(xù)，從而必存在最大值m和最小值ni，這時(shí)有mg(x) < f(x)g(x)< mg(x),從而(卜3)mcg(x)dx< ff(x)g(x)dx < m cg(x)dxj aj aj a下面我們分三種情況來(lái)討論.i.若式(1-3)中左邊等號(hào)成立，即mgx)dx = f(x)g(x)dx.(1-4)由已知w得，(/-在/上連續(xù)，kg(x)f(x)-m>0,則在fz，/? 上有 g(x)/x)-m = 0.因?yàn)椴缓鉭(x)等于0,所以必存在一點(diǎn)x,，使得/(x1)-m = 0，也就是/(x,) = /；!, 則在，/7)上至少存在一點(diǎn)使得=再根據(jù)式(i-4)可得

14、 £ f(x)gx)dx = /()£ gmdx.ii. 若式(1-3)右邊等號(hào)成立，同理也可證得結(jié)論成立.iii. 若式(1-3)嚴(yán)格不等式成立，即mj g(x)ezr < j f(x)g(x)ebc< m j gx)dx.因?yàn)?#163;§0)也0，從而有m< f(x)g(x)dx由連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)性定理知在h，上至少存在一點(diǎn)f使得，bm)f(x)g(x)dx、bgclx或j: f(x)g(x)dx =所以可證得定理2成立.丄例 4 證明 lim jj(sin x)ndx = 7t.證明：顯然，對(duì)vne2v，在上連續(xù)(盡管不單調(diào))；由改進(jìn)的積分

15、第一中值定理知，必至少存在一點(diǎn)f，使得(sin x'dx = (sin丄令 /(%) = l,g(x) = (sinx)m.又由于0 < sin jc < 1，則'h丁知0<sin£<l,故有l(wèi)im (sin =1,/i因此，我們?nèi)菀撰@得lim (sin xn dx = lim 71 (sin=丌人二丌.,ooj0 vn->co v7定理3若/(x)與g(x)都在閉區(qū)間(7,/?上連續(xù)，且/(x)與g(x)都在閉區(qū)間 無(wú)零點(diǎn)，則在幵區(qū)間內(nèi)至少存在t使得£ f(x)g(x)dx =f(& )j(x)dx;£ f(

16、x)g(x)dx =«?(矣): /w 也.證明：因?yàn)?(x)與g(x)在6z，/?上連續(xù)且無(wú)零點(diǎn)，由介質(zhì)性定理和/(x)、g(x)在上不變號(hào)，再由推廣的積分第一中值定理知：在h，/7)至少存在t矣使得f(x)gx)dx =f( )j(%)tzx;j:/(砌也=只(矣): / (義w例5證明：若函數(shù)/u)在閉區(qū)間6z,/7上連續(xù)，£/也= £>/也=0,則 至少存在兩點(diǎn)v1，x2e (6z»，使得/(%,) = /(x2).證明：(反證法)假設(shè)存在任意兩點(diǎn)4，七 (6z，/?)，都有/(%,)#/(x2)，根據(jù)已 知和假設(shè)，可知在區(qū)間內(nèi)必存在唯一的

17、一點(diǎn);v使得/(x,) = 0 .否則，可推出j/ f(x)dx0,這與己知條件f/(%)也=0矛盾.f xfx)dx = f ' x/(x)tzx+ fj aj ajx|從而由已知條件= 0知xf(x)dx = 0.因?yàn)閤與/(x)在及%,/?上連續(xù)，且由假設(shè)知f (x)在aaj及&，/?上均不改變符號(hào)，利用定理2則知分別存在$ e(x/7),使得£' x/(%)6zx + £ xf(x)dx = ' f(x)dx + 2 f(,x)dx = 0,$ £ f(x)dx = -2£ f(x)dx.$ j:1 /(x)dr

18、+ £ f(x)dx = -_ f(x)dx + f(x)dx9£v/(x)6?x + £ f(x)dx = £ f(x)dx = 0.0 : - & j: /(%)也 + * j: f(x)clx ,矣£ /(%)辦=6 f dx則有$=矣，這與tz<6 <x, <矣</，矛盾，所以至少存在m點(diǎn)xy (tz，/，)，使 得/(七)=/(%2).定理4設(shè)函數(shù)/(x)和g(x)在上可積，并且滿足以下條件: m < /(%) < m , g(x) > 0, vxe a,b,則有 mf g(x)dx&

19、lt; fz f(x)g(x)cbc<m g(x)dx.j aj aj a將另1j，如果/u)在上連續(xù)，g(x)在上可積，且g(x)20，vxe a,b,那么存在ce a,/?，使得 fx)g(x)dx = f(c)g(x)dx.證明：由定理的條件可得：mgx) < fx)g(x) < m(x), vxe a,b, /(%)g(x)的乘積也在可積，利用可積的單調(diào)性就可得到：mbgx)dx<c f(x)g(x)dx<m cg(x)dx.j aj aja如果函數(shù)/(x)在上連續(xù)，那么在上式可取m = min /(x), m = max f(x).xeaybxea.b考

20、察連續(xù)函數(shù):(x) = /(x)j(x),此時(shí)，上式可以寫(xiě)成:min c f(x)g(x)dx< min(px).kea,b j axea.b根據(jù)介值定理知,/?，使得：腳)=f(x)g(x)dxfj afmg(x)cbc = f(c)g(x)dx例 6 證明不等式：0< f2sin+1xzv< f2sinj，有 sinx>o,sinw+1 >071又 3x。= ，使 sin%0 >0,所以有2 sin,?+l xdx > 0.顯然，sinx，sin"x在連續(xù)，非負(fù)，于是由定理4知，3cel 21 2j而£2sin"+1

21、xdx- 12sin"xsinxdx£使 j。2 sin/,+l xdx = sin" xsin azzx = sin cj。2 sin"dzr < j。2 sin” xdx (0 < sin x < 1) 所以不等式成立.定理5設(shè)/(x)與g(x)都在閉區(qū)間上連續(xù)，且其0，則至少存在當(dāng)時(shí)，即得h f(x)gx)dx = /()j(x)6zr.j aj a證明：設(shè) f(x) = £ f(t)g(t)dt, g(x) = fg(t)dt。由于設(shè) /u)與 go)在a,b ± 連續(xù)，則fuxgu)在tz，m上連續(xù)，可微，

22、且g(z?) = j g (x)dx 0, g(a) = 0,即g(tz)# g(b).由柯丙中值定理，至少存在一點(diǎn)f g (6z，/?)，使得f(b)- f，()g(b)-g(a)g'g(x)dx<?()當(dāng)以0*0時(shí)，即得c f(x)g(x)dx =g(x)dx.j aj a1.2. 3重積分情形下的結(jié)果此定理是對(duì)定理5的延仲，是定理5在重積分情形下的結(jié)果。下面給出定理， 并給出證明。定理6設(shè)函數(shù)/(x)，g(x)在a?維長(zhǎng)方體/(，/(，么卜乂/上連續(xù)， x = (w.”xm)，dx = dxdx2.dxn，,則存在一點(diǎn) f = ($，.，fje £)°

23、, 使得£/(義)idf(x)s(x)dx = f)i)g(x)dx.證明:由定理5得/(x)g(x)ag(x)aao ,%2, ,xn_，么)，g (%丨，又2，%'卜j，么)dx'dx2 dxft_w.c心 ,x2 9 * * * 9) dxidx2 dxf卜'l, jl l 5 (義i 義2 義-2 u« )卻也2 )1-2。/以石，cm«2, 乂)，a'，k) 當(dāng)g(o0時(shí)，即得 fx)gx)dx = /()£ g(x)dx.在d為一般有界閉區(qū)域時(shí)，問(wèn)題要復(fù)雜一些，這里就不再說(shuō)明.2積分第一中值定理的逆問(wèn)題fsl提

24、出問(wèn)題：定理的逆是否成立？即若/(x) , go)在h，/?上連續(xù)，且g(x)在上不變號(hào)， vg(6r,/?),是否存在兩點(diǎn)r，ve tz,/?，使得£ f(x)g(x)dx = /()£ g(x)dx,(r,5).問(wèn)題的答案是否定的，比如函數(shù)/u) = 3x2，g=1，取點(diǎn) <二0,對(duì)于任意的 r < 0 < 5,，有£ f(x)g(x)dx /()£ g(x)dxe (r,5).此處的f = 0為/(x) = 3x2的極值點(diǎn)，所以使定理的逆問(wèn)題不成立.定理7設(shè)/oo，go)是閉區(qū)間h，/?上的連續(xù)函數(shù)，/(x)在卜，/?)可導(dǎo)，滿足

25、 fx) 0 , vxg (“,/?)且(x)在a,b上不變號(hào)，則 vg (“，/?)，3r，5 使得: £ f(x)g(x)dx = /()£gx)dx ,(r,5).證明：設(shè)#(x)0, /(x)<0作輔助函數(shù)識(shí)w=/w- /()k(o.因?yàn)?巧)<0,根據(jù)極限保號(hào)性，3j>0,使得當(dāng) xe(f么<+5)時(shí)， -m)<0 x-f因此，時(shí)，/w/()，識(shí)0，識(shí)(義)單調(diào)遞增；而 xe(« + 5)時(shí)，/u) </(), (px) < 0 ,識(shí)(¥)單調(diào)遞減。乂因?yàn)樽R(shí)() = 0,所以 (p() < 0 ,

26、 xe(f-j，f + 5)o 取 maxp(f-5)，爐(+ 州幺 m<0，由介質(zhì)定理可矢口， 3re和 3<s，e (« + 5)，使得識(shí)(廠)=，?/ =識(shí)，即£ fx)gx)dx = /()£gdx(r,5).3積分中值定理與微分中值定理的關(guān)系pi(拉格朗日中值定理)設(shè)函數(shù)/u)閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)e (6z,/?)，使得b-a3.1拉格朗日中值定理可推出積分中值定理拉格朗閂中值定理可推出可以推出積分中值定理，這在定理1的證明中己經(jīng)給 出，這里不再說(shuō)明.3.2積分中值定理可推出拉格朗日中值定理證明：f(x).a,b上連續(xù)，

27、則/(x)在a,b上一定存在原函數(shù)，f'(x) = /(x),xe ayb；故滿足拉格朗曰中值定理的條件：閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 (df，/?)可導(dǎo)，則由積分屮值定理的結(jié)論牛頓萊布尼茨公式:fxlx= f(b)-f(af(b)-fa) = f(b-a) = f(b-ab-a得證.例7設(shè)/(%)在0，1上可微，且滿足丄/(i)-2pvu) = o.求證:在0，1內(nèi)至少存在一點(diǎn)£ ,使=£證明：由/(l)-2p*/(x)辦=0及積分中值定理知，存在r, e 使0 =，(1)-2側(cè)*去， /(!) = £,/(£-,).4* f(x) = xf(x),則存在使得1一£, f(£)= o,則可知fu)在e,上存在點(diǎn)h吏n幾£j主:單從一個(gè)例題雖然不能充分證明積分中伉定理和微分中伉定理的關(guān)系，但例7的岀現(xiàn) 從側(cè)面說(shuō)明，積分中值定理與微分中值定理的確存在著密不w分的關(guān)系.4結(jié)束語(yǔ)本文通過(guò)查找大量的資料，對(duì)積分第一中値定理和推廣的積分第一中值定理在 兒個(gè)方面做了相關(guān)研宄，給出了和關(guān)定理，并同時(shí)舉例說(shuō)明、應(yīng)用。無(wú)論是對(duì)£在 取值范圍做了變動(dòng)，還是對(duì)函數(shù)做了有些方面的變動(dòng)，還是對(duì)積分第一中值定理的 逆問(wèn)題，積分屮值定理和微分屮值