復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算(教學(xué)設(shè)計(jì))

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算（教學(xué)設(shè)計(jì)）（1）§復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及幾何意義教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式加法、減法運(yùn)算，理解并掌握復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義過程與方法目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生參透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生分析問題、解決問題以及運(yùn)算的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，勇于創(chuàng)新的精神，并且通過探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生互助合作的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成良好的思維品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神。教學(xué)重點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式析加法、減法的運(yùn)算法則。教學(xué)難點(diǎn)： 復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義。教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)回顧：1、復(fù)

2、數(shù)集C 和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù) z a bi一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z( a,b)這是因?yàn)椋恳粋€(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng) .這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法2、 . 若 a(x1, y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，則 ab(x1x2 , y1y2 ) ，ab( x1x2 , y1y2 )兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差3、 若 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，則 ABx2x1, y2y1一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向

3、量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)即AB = OBOA =( x 2, y2 )(x1,y1)= (x 2x1, y2y1 )二、師生互動(dòng)、新課講解：1、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算（ 1）復(fù)數(shù) z1 與 z2 的和的定義：z1+z2=( a+bi )+( c+di)=(a+c)+(b+d)i .（ 2）復(fù)數(shù) z1 與 z2 的差的定義： z1-z2 =(a+bi )-(c+di)=( a-c)+(b-d)i .（ 3）復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律 : z1+z2=z2+z1.證明：設(shè)z1=a1+b1i， z2=a2+b2i(a1， b1， a2， b2 R). z1 +z2=(a1+b1i)+( a

4、2+b2i )=(a1+a2)+( b1 +b2)i. z2+z1=(a2+b2 i)+(a1+b1i)=( a2+a1)+( b2+b1)i. 又 a1+a2=a2+a1， b1+b2=b2+b1. z1 +z2=z2+z1.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律.（ 4）復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律 : ( z1+z2)+z3 =z1+(z2+z3)證明：設(shè)z1=a1+b1i.z2=a2 +b2i ， z3=a3+b3i(a1， a2， a3，b1， b2， b3 R). (z1+z2)+z3=( a1+b1i)+( a2+b2 i) +(a3+b3i)= (a1+a2)+( b1+b2)i +( a3+

5、b3 )i= (a1+a2)+a3+ (b1+b2)+b3 i=( a1 +a2+a3)+(b1+b2+b3) i.z1 +(z2+z3)=( a1+b1i)+ (a2+b2 i)+(a3+b3i)=( a1 +b1i)+ (a2+a3)+( b2+b3)i= a1+(a2+a3)+ b1+(b2+b3 ) i學(xué)習(xí)必備歡迎下載=( a1+a2+a3)+( b1+b2+b3)i (a1+a2)+a3=a1+(a2+a3) ，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). (z1+z2)+z3=z1+(z2 +z3).即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律講解范例：例 1（課本 P57 例 1）計(jì)算： (5-6

6、i)+(-2-i)-(3+4i)解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (5-2-3)+(-6-1-4) i= 11 i例 2 計(jì)算： (1 2i)+( 2+3i)+(3 4i)+( 4+5i )+ +(2002+2003i )+(2003 2004i)解法一：原式=(1 2+3 4+ 2002+2003)+( 2+3 4+5+ +2003 2004i)=(2003 1001)+(1001 2004)i=10021003i.解法二： (1 2i )+( 2+3i)= 1+i ，(3 4i)+( 4+5i)= 1+ i，(2001 2002i)+( 2002+2003)i = 1+i.相

7、加得 (共有 1001 個(gè)式子 )：原式 =1001( 1+i)+(2003 2004i)=(2003 1001)+(1001 2004)i =1002 1003i2. 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)的加 (減 )法 (a+bi)± (c+di)=( a± c)+( b± d)i .與多項(xiàng)式加 (減) 法是類似的 .就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加(減 ).（ 1）復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) Z (a, b)一一對(duì)應(yīng)平面向量 OZ（ 2）復(fù)數(shù) z a bi一一對(duì)應(yīng)平面向量 OZ（ 3）復(fù)數(shù)加法的幾何意義：設(shè)復(fù)數(shù) z1=a+bi， z2=c+di，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)

8、的向量為OZ1、OZ2 ，即 OZ1 、 OZ2 的坐標(biāo)形式為 OZ1=( a，b)， OZ 2 =(c， d) 以 OZ1 、 OZ2 為鄰邊作平行四邊形 OZ1ZZ2，則對(duì)角線 OZ 對(duì)應(yīng)的向量是 OZ ，OZ=OZ1 + OZ2 =(a， b)+(c， d)=(a+c， b+d) ( a+c)+( b+d)i（ 4）復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=( a c)+( b d)i ，所以 z z1=z2， z2+z1=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以O(shè)Z 為一條對(duì)角線，OZ1 為一條邊畫平行四邊形， 那么這個(gè)平行四邊形的另一邊OZ2 所表示的向量 OZ2 就與復(fù)數(shù) z z1 的差

9、 (a c)+( b d)i 對(duì)應(yīng) 由于 OZ2 Z1Z ，所以，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差z z1 與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).例 3 已知復(fù)數(shù) z1=2+ i ，z2=1+2i 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、 B，求 AB 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) z， z 在平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？解： z=z2 z1=(1+2 i) (2+i)= 1+i， z 的實(shí)部 a= 1 0，虛部 b=1 0，復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi) .點(diǎn)評(píng)：任何向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，總是這個(gè)向量的終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差.即 AB所表示的復(fù)數(shù)是zB zA.，而BA 所表示的復(fù)數(shù)是zA zB，故切不可把被

10、減數(shù)與減數(shù)搞錯(cuò)盡管向量AB 的位置可以不同，只要它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量AB 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的，因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量，即它只與其方向和長(zhǎng)度有關(guān)，而與位置無關(guān)學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 4 復(fù)數(shù) z1=1+2 i， z2=2+i ，z3= 1 2i，它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) .分析一：利用AD BC ，求點(diǎn) D 的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù) .解法一：設(shè)復(fù)數(shù)z1、 z2、 z3 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 A、 B、C，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x，y R )，是：ADODOA=( x+yi) (1+2 i)=( x1)

11、+( y 2)i ;BCOCOB =( 1 2i)( 2+i)=1 3i . ADBC ，即 (x1)+( y2)i=13i，x1 1,x2,例 2 圖23,解得1.yy故點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2i .分析二：利用原點(diǎn)O 正好是正方形 ABCD 的中心來解 .解法二：因?yàn)辄c(diǎn)A 與點(diǎn) C 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以原點(diǎn)O 為正方形的中心，于是 ( 2+i)+(x+yi )=0 ， x=2 ， y= 1.故點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i .點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意畫圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過對(duì)圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用課堂練習(xí)：（課本 P58 練習(xí)： NO ： 1；2）三、課堂小結(jié)，鞏固反思：如果

12、兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，d R，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小復(fù)數(shù)的加法法則：(a+bi )+(c+di)=( a+c)+( b+d)i(a，b， c，d R). 復(fù)數(shù)的加法，可模仿多項(xiàng)式的加法法則計(jì)算，不必死記公式。復(fù)數(shù)加法的幾何意義： 如果復(fù)數(shù) z1 ，z2 分別對(duì)應(yīng)于向量、，那么，以 OP1、OP2 為兩邊作平行四邊形OP1SP2，OP1 OP2對(duì)角線 OS 表示的向量 OS 就是 z1 2 的和所對(duì)應(yīng)的

13、向量復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差1 與連接這兩個(gè)向+zz z量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).四、布置作業(yè)：A 組：1、（課本 P61 習(xí)題 3.2 A 組： NO： 1）2、（課本 P61 習(xí)題3.2 A 組： NO： 2）3、（課本 P61 習(xí)題3.2 A 組： NO： 3）4、已知復(fù)數(shù) z1=2+ i,z2=1+2 i,則復(fù)數(shù) z=z2 z1 在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)位于（B）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限5、在復(fù)平面上復(fù)數(shù)32i,4+5i,2+i 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B、C，則平行四邊形ABCD 的對(duì)角線 BD 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（ C）A.5 9iB. 5 3iC.7 1

14、1iD. 7+11i6、已知復(fù)平面上 AOB 的頂點(diǎn) A 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 1+2i,其重心 G 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i,則以 OA、OB 為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)為（ A ）學(xué)習(xí)必備歡迎下載A.32B.22C.2D.57、復(fù)平面上三點(diǎn)A、 B、 C 分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1，2i,5+2i,則由 A、B、 C 所構(gòu)成的三角形是（A. 直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形8、一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)的差（C）A. 不可能是純虛數(shù)B.可能是實(shí)數(shù)C.不可能是實(shí)數(shù)D.無法確定是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)A ）B 組：、計(jì)算 23i) ( 32i ) ( 32) ( 32)i =_.（答：22 i）1(2、計(jì)算：

15、(2x+3yi) (3x 2yi)+( y2xi ) 3xi=_( x、 yR ).（答： .(yx)+5( y x)i ）3、計(jì)算（ 1 2i) (2 3i)+(3 4i) (2002 2003i).解：原式 =(1 2+3 4+2001 2002） +( 2+3 4+ 2002+2003)i= 1001+1001i22OZ1、 OZ2（ O 為原點(diǎn)），若向量 Z1Z 2 對(duì)應(yīng)的4、已知復(fù)數(shù) z1=a 3+(a+5) i,z2=a 1+( a +2a 1)i(a R)分別對(duì)應(yīng)向量復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求a 的值 .解： Z1Z2 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2 z1，則z2 z1=a 1+( a2+2a 1)i a2 3+( a+5) i =(a a2+2)+( a