單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)(研)

1、第第1 1章章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)Mechanical and Structural VibrationMechanical and Structural Vibration機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng) 振動(dòng)系統(tǒng)一般可分為振動(dòng)系統(tǒng)一般可分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。 具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性的系統(tǒng)，稱為具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性的系統(tǒng)，稱為連續(xù)彈性連續(xù)彈性體系統(tǒng)體系統(tǒng)。彈性體是具有無限多自由度的系統(tǒng)，它的振。彈性體是具有無限多自由度的

2、系統(tǒng)，它的振動(dòng)規(guī)律要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運(yùn)動(dòng)方動(dòng)規(guī)律要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描述，其運(yùn)動(dòng)方程是偏微分方程。程是偏微分方程。 在一般情況下，要對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行簡化，用適當(dāng)?shù)脑谝话闱闆r下，要對連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行簡化，用適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則將分布參數(shù)準(zhǔn)則將分布參數(shù)“凝縮凝縮”成有限個(gè)離散的參數(shù)，這樣成有限個(gè)離散的參數(shù)，這樣便得到離散系統(tǒng)。所建立的振動(dòng)方程是常微分方程。便得到離散系統(tǒng)。所建立的振動(dòng)方程是常微分方程。由于所具有的自由度數(shù)目上的區(qū)別，離散系統(tǒng)又稱為由于所具有的自由度數(shù)目上的區(qū)別，離散系統(tǒng)又稱為多自由度系統(tǒng)。多自由度系統(tǒng)。 機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)Mechanical and Structu

3、ral Vibration機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration)sin(0eqeqtFkm 0 kyym 機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration 線性振動(dòng)：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。線性振動(dòng)：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。 線性振動(dòng)的一個(gè)重要特性是線性疊加原理成立。線性振動(dòng)的一個(gè)重要特性是線性疊加原理成立。 非線性振動(dòng)：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。非線性振動(dòng)：相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。 非線性振動(dòng)的疊加原理不成立。非線性振動(dòng)的疊加原理不成立。 機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)Mechan

4、ical and Structural Vibration機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration目錄Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)的的典型的單自由度系統(tǒng)典型的單自由度系統(tǒng): :彈簧彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng) 梁上固定一臺電動(dòng)機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直梁上固定一臺電動(dòng)機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直方向振動(dòng)時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不方向振動(dòng)時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不計(jì)梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無重彈簧，計(jì)梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無重彈簧，

5、系統(tǒng)簡化成彈簧系統(tǒng)簡化成彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng) Mechanical and Structural Vibration1.1.1 自由振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程)(ddst22xkmgtxm當(dāng)物塊偏離平衡位置為當(dāng)物塊偏離平衡位置為x距離時(shí)，物塊的距離時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為運(yùn)動(dòng)微分方程為 0dd222xptxn其中mkpn 取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當(dāng)物塊順彈簧變形方向鉛直向下為正。當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，由平衡條件，得到在靜平衡位置時(shí)，由平衡條件，得到stkmg 無阻尼自由振動(dòng)微分方程無阻尼自由振動(dòng)微分方程 彈簧的靜變形彈簧的靜

6、變形固有圓頻率固有圓頻率Mechanical and Structural Vibration其通解其通解為：為：tpCtpCxnnsincos2101xC tppvtpxxnnnsincos00npvC02其中其中C1和和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t=0時(shí)，時(shí)， 可解可解00vvxx，1.1.1 自由振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程Mechanical and Structural Vibration)sin( tpAxn)(arctg)(002020vxppvxAnn兩種形式描述的物兩種形式描述的物塊振動(dòng)，稱為無阻塊振動(dòng)，稱為無阻尼自由振動(dòng)，簡

7、稱尼自由振動(dòng)，簡稱自由振動(dòng)。自由振動(dòng)。 無阻尼的自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的無阻尼的自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng) 初相位角 振 幅1.1.1 自由振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程Mechanical and Structural Vibration1.1.2 振幅、初相位和頻率振幅、初相位和頻率系統(tǒng)振動(dòng)的周期系統(tǒng)振動(dòng)的周期kmpTn22 系統(tǒng)振動(dòng)的頻率系統(tǒng)振動(dòng)的頻率mkpTfn221 系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為fpn2 圓頻率圓頻率pn 是物塊在自由振動(dòng)中每是物塊在自由振動(dòng)中每2 秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。f、 pn只與振動(dòng)系統(tǒng)的彈簧常量只與振動(dòng)系統(tǒng)的彈簧常

8、量k和物塊的質(zhì)量和物塊的質(zhì)量 m 有關(guān)，有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)。因此，通常將頻率而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)。因此，通常將頻率f 稱為稱為固有頻率，圓頻率固有頻率，圓頻率pn稱為固有圓頻率。稱為固有圓頻率。 Mechanical and Structural Vibration用彈簧靜變形量用彈簧靜變形量 st表示固有圓頻率的計(jì)算公式表示固有圓頻率的計(jì)算公式 物塊靜平衡位置時(shí)物塊靜平衡位置時(shí)stkmg mkpn 固有圓頻率固有圓頻率stgpn stmgk 1.1.2 振幅、初相位和頻率振幅、初相位和頻率Mechanical and Structural Vibration1.1.3 等效剛度系

9、數(shù)等效剛度系數(shù)0ddeq22eqqktqm0dd22kxtxm加加的的力力或或力力矩矩。需需要要在在這這一一坐坐標(biāo)標(biāo)方方向向施施位位移移，廣廣義義坐坐標(biāo)標(biāo)方方向向產(chǎn)產(chǎn)生生單單位位等等效效剛剛度度：使使系系統(tǒng)統(tǒng)在在eqk向向施施加加的的力力或或力力矩矩。度度，需需要要在在這這一一坐坐標(biāo)標(biāo)方方加加速速廣廣義義坐坐標(biāo)標(biāo)方方向向產(chǎn)產(chǎn)生生單單位位等等效效質(zhì)質(zhì)量量：使使系系統(tǒng)統(tǒng)在在eqmMechanical and Structural Vibration例例 在圖中，已知物塊的質(zhì)量為在圖中，已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動(dòng)

10、系統(tǒng)的固有頻率。，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。 解：（解：（1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：二彈簧變形相等二彈簧變形相等。 振動(dòng)過程中，物塊始終作平行移動(dòng)。處振動(dòng)過程中，物塊始終作平行移動(dòng)。處于平衡位置時(shí)，兩根彈簧的靜變形都是于平衡位置時(shí)，兩根彈簧的靜變形都是 st，而彈性力分別是，而彈性力分別是 st11kF st22kF 系統(tǒng)平衡方程是系統(tǒng)平衡方程是0 xFst2121)(kkFFmg1.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)Mechanical and Structural Vibration如果用一根彈簧剛度系數(shù)為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的

11、彈簧來代替原來的兩根彈簧，的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則 stkmg 21kkkst2121)(kkFFmgk稱為稱為并聯(lián)彈簧的等效并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。剛度系數(shù)。并聯(lián)后的等效彈簧剛并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術(shù)和。剛度系數(shù)的算術(shù)和。系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的固有頻率mkkmkf2121211.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)Mechanical and Structural Vibration（2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：二

12、二彈簧受力相等彈簧受力相等。 當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，它的靜位移st等于每根彈簧的靜變形之和，即 st = 1st + 2st 由于每根彈簧所受的拉力都等于由于每根彈簧所受的拉力都等于重力重力mg，故它們的靜變形分別為，故它們的靜變形分別為1st1kmg2st2kmg如果用一根彈簧剛度系數(shù)為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于的靜變形等于kmgst1.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)Mechanical and Structural Vibration如果用一根彈簧剛度系數(shù)為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k 的彈簧來代替原來的的

13、彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于kmgst21111kkkkk kkk1212k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)1st1kmg2st2kmg串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和)(21212121kkmkkmkf1.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)Mechanical and Structural Vibration例例 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計(jì)，兩彈的質(zhì)量不計(jì)，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為簧的彈簧剛度

14、系數(shù)分別為k1和和k2,又又AC=a，AB=b，求物塊的自，求物塊的自由振動(dòng)頻率。由振動(dòng)頻率。 解解：將各彈簧的剛度系數(shù)按：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。量所在處。 先將剛度系數(shù)先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)換算至質(zhì)量量m所在處所在處C的等效剛度系的等效剛度系數(shù)數(shù)k 。C1.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)Mechanical and Structural Vibration先將剛度系數(shù)先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量換算至質(zhì)量m所在處所在處C的等效剛度系數(shù)的等效剛度系數(shù)k 。C設(shè)在設(shè)在C處作用一力處作用一力F，按靜力平衡的，按靜力平衡的關(guān)系，作用在關(guān)系，作

15、用在B處的力為處的力為bFa此力使此力使B B 彈簧彈簧 k2 產(chǎn)生產(chǎn)生 變形，變形，222bkFabac而此變形使而此變形使C點(diǎn)發(fā)生的變形為點(diǎn)發(fā)生的變形為 得到作用在得到作用在C處而與處而與k2彈簧等效的剛度系數(shù)彈簧等效的剛度系數(shù) 222abkFkc1.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)Mechanical and Structural VibrationC222abkFkc物塊的自由振動(dòng)頻率為物塊的自由振動(dòng)頻率為)(221221kbkamkkbmkpn 與彈簧k1串聯(lián)221222122212221kbkabkkabkkabkkk得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)1.1.3 等效剛度系數(shù)

16、等效剛度系數(shù)Mechanical and Structural Vibration例例 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m的物塊從的物塊從 h 的高的高處自由落下，與一根抗彎剛度為處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計(jì)梁長為的簡支梁作塑性碰撞，不計(jì)梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率。的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率。 st21gf 1.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)解解：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡化成彈簧來代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡化成彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。如果質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形知道系統(tǒng)的靜變形 則求出系

17、統(tǒng)的固有頻率則求出系統(tǒng)的固有頻率 stMechanical and Structural Vibration由材料力學(xué)可知，簡支梁受集由材料力學(xué)可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點(diǎn)靜撓度為中載荷作用，其中點(diǎn)靜撓度為EImgl483st求出系統(tǒng)的固有頻率為求出系統(tǒng)的固有頻率為34821mlEIf 中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為中央受集中載荷的簡支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為348lEIk 1.1.3 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)Mechanical and Structural Vibration1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中

18、常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡稱扭振。轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡稱扭振。 扭振系統(tǒng)稱為扭振系統(tǒng)稱為扭擺扭擺。OA 為一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為為一鉛直圓軸，圓盤對其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IO。在研究扭擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，假定在研究扭擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，假定OA的質(zhì)量略的質(zhì)量略去不計(jì)，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑去不計(jì)，圓盤的位置可由圓盤上任一根半徑線和該線的靜止位置之間的夾角線和該線的靜止位置之間的夾角 來決定，來決定，稱稱扭角扭角。圓軸的抗扭剛度系數(shù)為圓軸的抗扭剛度系數(shù)為kn，表示使，表示使圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。圓盤產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。Mechanical and Structural Vibration根

19、據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程nOktI22dd扭振的運(yùn)動(dòng)規(guī)律扭振的運(yùn)動(dòng)規(guī)律tpptpnnnsincos00對于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)來說，盡管前述直線振動(dòng)和對于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)來說，盡管前述直線振動(dòng)和當(dāng)前扭振的結(jié)構(gòu)形式和振動(dòng)形式均不一樣，但其振當(dāng)前扭振的結(jié)構(gòu)形式和振動(dòng)形式均不一樣，但其振動(dòng)規(guī)律、特征是完全相同的。動(dòng)規(guī)律、特征是完全相同的。 0dd222nptOnnIkp 固有圓頻率固有圓頻率1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration圖圖 (a)所示為扭振系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖所示為扭振

20、系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖(b)為兩為兩軸串聯(lián)的情況；圖軸串聯(lián)的情況；圖(c)則為進(jìn)一步簡化的等效系統(tǒng)。則為進(jìn)一步簡化的等效系統(tǒng)。2121nnnnnkkkkk并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)21nnnkkk串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)1.1.4 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration計(jì)算固有頻率的能量法的理論基礎(chǔ)是機(jī)械能守恒定律。計(jì)算固有頻率的能量法的理論基礎(chǔ)是機(jī)械能守恒定律。 無阻尼單自由振動(dòng)系統(tǒng)中，勢能與動(dòng)能之和保持不變。無阻尼單自由振動(dòng)系統(tǒng)中，

21、勢能與動(dòng)能之和保持不變。VT常量式中式中T是動(dòng)能，是動(dòng)能，V是勢能。如果取平衡是勢能。如果取平衡位置位置O為勢能的零點(diǎn)，系統(tǒng)在任一位置為勢能的零點(diǎn)，系統(tǒng)在任一位置2221dd21kxVtxmTMechanical and Structural Vibration當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)，x=0,速度為最大，勢能為零，速度為最大，勢能為零，動(dòng)能具有最大值動(dòng)能具有最大值Tmax；當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動(dòng)能為零，而當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動(dòng)能為零，而勢能具有最大值勢能具有最大值Vmax。由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 maxmaxVT用能量法計(jì)算固有頻率

22、的公式用能量法計(jì)算固有頻率的公式 Mechanical and Structural Vibration例例 船舶振動(dòng)記錄儀的原理圖如圖所示。重物船舶振動(dòng)記錄儀的原理圖如圖所示。重物P連同桿連同桿BD對于對于支點(diǎn)支點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IE ,求重物求重物P在鉛直方向的振動(dòng)頻率。已知在鉛直方向的振動(dòng)頻率。已知彈簧彈簧AC的彈簧剛度系數(shù)是的彈簧剛度系數(shù)是k。 解解： 這是單自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。這是單自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿系統(tǒng)的位置可由桿BD自水平的平自水平的平衡位置量起的衡位置量起的 角來決定。角來決定。221BI系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能設(shè)系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)方程設(shè)系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)

23、，則其運(yùn)動(dòng)方程)sin( tpn角速度為角速度為)cos(ddtpptnn222maxmax2121nBBpIIT系統(tǒng)的最大動(dòng)能為系統(tǒng)的最大動(dòng)能為Mechanical and Structural Vibration如取平衡位置為系統(tǒng)的勢能零點(diǎn)。設(shè)在平衡位置時(shí)，彈簧的伸如取平衡位置為系統(tǒng)的勢能零點(diǎn)。設(shè)在平衡位置時(shí)，彈簧的伸長量為長量為dst 。此時(shí)，彈性力。此時(shí)，彈性力Fst=kdst ,方向向上。方向向上。 0)(FBm0s PlbFt0s Plbkt該系統(tǒng)的勢能該系統(tǒng)的勢能)(21)(21st222st2stPlkbkbPlbkV2221kbV 222max2max2121kbkbV222

24、22121kbpInB BIkbp2n Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration利用能量法，將彈簧的分布質(zhì)量的動(dòng)能計(jì)入系統(tǒng)的總動(dòng)能，仍利用能量法，將彈簧的分布質(zhì)量的動(dòng)能計(jì)入系統(tǒng)的總動(dòng)能，仍按單自由度系統(tǒng)求固有頻率的近似方法，稱為按單自由度系統(tǒng)求固有頻率的近似方法，稱為瑞利法瑞利法。應(yīng)用瑞利法，首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動(dòng)位形。應(yīng)用瑞利法，首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動(dòng)位形。2eqsdd21txmT 等效質(zhì)量等效質(zhì)量 l對于圖示系統(tǒng)，假設(shè)彈簧上各點(diǎn)在振動(dòng)過程中任一瞬時(shí)的位對于圖示系統(tǒng)，假設(shè)彈簧上各點(diǎn)在振動(dòng)過程中任

25、一瞬時(shí)的位移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截面的靜變形一樣。面的靜變形一樣。根據(jù)胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。根據(jù)胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。依據(jù)此假設(shè)計(jì)算彈簧的動(dòng)能，并表示為集中質(zhì)量的動(dòng)能為依據(jù)此假設(shè)計(jì)算彈簧的動(dòng)能，并表示為集中質(zhì)量的動(dòng)能為Mechanical and Structural Vibration例例 在圖示系統(tǒng)中，彈簧長在圖示系統(tǒng)中，彈簧長l，其質(zhì)量，其質(zhì)量ms。求彈簧的等效質(zhì)量。求彈簧的等效質(zhì)量及系統(tǒng)的固有頻率。及系統(tǒng)的固有頻率。左端距離為左端距離為 的截面的位移為的截

26、面的位移為 ，則則d 彈簧的動(dòng)能為彈簧的動(dòng)能為xl2sddd21dtxllmTsl d 解解：令：令x表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)量量m的位移。的位移。Mechanical and Structural Vibration彈簧的總動(dòng)能彈簧的總動(dòng)能2ss0sdd321dtxmTTl2s2s2dd321dd321dd21txmmtxmtxmT系統(tǒng)的總動(dòng)能為系統(tǒng)的總動(dòng)能為seq31mm系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的勢能為221kxV 固有頻率為固有頻率為3snmmkp)cos(ntpAx設(shè)設(shè)maxmaxVTl d Mechanical and Structural Vibration M

27、echanical and Structural VibrationtxcFddc它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓米/秒(Ns/m)。 Mechanical and Structural Vibration運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 圖示為一有阻尼的彈簧圖示為一有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的簡化模質(zhì)量系統(tǒng)的簡化模型。以靜平衡位置型。以靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選為坐標(biāo)原點(diǎn)，選x軸鉛直軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動(dòng)微分方程向下為正，有阻尼的自由振動(dòng)微分方程 kxtxctxmdddd220dd2dd222xptxntxn0222 npnrr 222221nnpnnrpnnrmkpn 22n

28、cm衰減系數(shù)，單位1/秒(1/s) rtex Mechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 22npnnr )ee(e222221tpntpnntnnCCx nrr21)(e21tCCxnt 222221nnpnnrpnnr運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 0dd2dd222xptxntxnMechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 臨界情形是從衰減振動(dòng)過渡到非周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀臨界情形是從衰減振動(dòng)過渡到非周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表

29、征運(yùn)動(dòng)規(guī)律在性質(zhì)上態(tài)。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動(dòng)規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。發(fā)生變化的重要臨界值。設(shè)設(shè)cc為為臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)，由于，由于z z =n/pn =1，即，即kmmpnmcnc222 z z 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是z z 稱為阻尼比的原因。稱為阻尼比的原因。 z nncpnmpnmcc22cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由Mechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) tntnCCx21-2-1ee1zznn

30、ppr npn zz1z1Otxnrr21)(e21tCCxntMechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) dnpprj z（npn） dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221。，221jnppnd )sincos(e21tpCtpCxddnt 其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t = 0時(shí)， 可解00vvxx，dpvnxC002C1=x0 Mechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 000220020t

31、an)(nxvpxpnxvxAdd)sin(e tpAxdnt初相位角 振 幅阻尼振動(dòng)振幅；ntAe 這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動(dòng)。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為衰減運(yùn)動(dòng)。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為 p d，衰減速度取決于衰減速度取決于 zp n，二者分二者分別為本征值的虛部和實(shí)部。別為本征值的虛部和實(shí)部。Mechanical and Structural Vibration1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 衰減振動(dòng):物塊在平衡位置附近作具有振動(dòng)性質(zhì)的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，但它的振幅不是常數(shù)，隨時(shí)間的推延而衰減。有阻尼的自由振動(dòng)視為準(zhǔn)周期振動(dòng)。 )sin(e tpAxdntMechanical and Structural Vibration2222111 ()ddnnTTppnpzT=2 /pn為無阻尼自由振動(dòng)的周期。為無阻尼自由振動(dòng)的周期。欠阻尼自由振動(dòng)的周期欠阻尼自由振動(dòng)的周期Td ：物體由最大偏離位置起經(jīng)過物體由最大偏離位置起經(jīng)過一次振動(dòng)循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過的時(shí)間。一次振動(dòng)循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過的時(shí)間。由于阻尼的存在，使衰減振動(dòng)的周期加大。通常由于阻尼的存在，使衰減振動(dòng)的周期加