牛吃草問題例題詳解

1、_牛吃草問題“一堆草可供10 頭牛吃 3 天，這堆草可供6 頭牛吃幾天？”這道題太簡(jiǎn)單了，同學(xué)們一下就可求出：3 ×10 ÷6 5（天）。如果我們把“一堆草 ”換成 “一片正在生長(zhǎng)的草地”，問題就不那么簡(jiǎn)單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是牛吃草問題。例 1 牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10 頭牛吃 20 天，或者可供15 頭牛吃 10 天。問：可供 25 頭牛吃幾天？分析與解： 這類題難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量。總草量可以分為牧場(chǎng)上原有的草和新生長(zhǎng)出來的草

2、兩部分。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草量這兩個(gè)不變量。設(shè) 1 頭牛一天吃的草為1 份。那么， 10 頭牛 20 天吃 200 份，草被吃完；15 頭牛 10 天吃 150 份，草也被吃完。前者的總草量是200 份，后者的總草量是150 份，前者是原有的草加20 天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加10 天新長(zhǎng)出的草。200 150 50 （份）， 20 10 10 （天），說明牧場(chǎng)10 天長(zhǎng)草 50 份， 1 天長(zhǎng)草 5 份。也就是說，5 頭牛專吃新長(zhǎng)出來的草

3、剛好吃完，5 頭牛以外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草。由此得出，牧場(chǎng)上原有草（ l0 5 ）×20 100 （份）或（ 15 5 ）×10 100 （份）?，F(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100 份，每天新長(zhǎng)出草5 份。當(dāng)有 25 頭牛時(shí)，其中的5 頭專吃新長(zhǎng)出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100 ÷20 5 （天）。精品資料_所以，這片草地可供25 頭牛吃 5 天。在例 1 的解法中要注意三點(diǎn)：（ 1 ）每天新長(zhǎng)出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來的。（ 2 ）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，由剩下的牛吃原有

4、的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原有的草量。（ 3 ）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。例 2 一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開進(jìn)水管， 等水池存了一些水后，再打開出水管。 如果同時(shí)打開 2 個(gè)出水管，那么8 分鐘后水池空；如果同時(shí)打開3 個(gè)出水管，那么5 分鐘后水池空。那么出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？分析： 雖然表面上沒有“牛吃草 ”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓八?”相當(dāng)于 “草”，進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長(zhǎng)出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例1 相似。出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分

5、是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊?，所以可以從比較兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決問題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1 份，則 2 個(gè)出水管 8 分鐘所排的水是2×8 16（份）， 3 個(gè)出水管5 分鐘所排的水是3×5 15 （份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量。兩者相減就是在 8-5=3 （分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量是精品資料_有的水，可以求出原有水的水量為解： 設(shè)出水管每分鐘排出的水為1 份。每分鐘進(jìn)水量答：出水管比進(jìn)水管晚開40 分鐘。例 3由于天氣逐

6、漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃 5天，或可供 15 頭牛吃 6 天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10 天？分析與解： 與例 1 不同的是，不僅沒有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1 的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草為1 份。 20 頭牛 5 天吃 100 份， 15 頭牛 6 天吃 90 份， 100-90=10 （份），說明寒冷使牧場(chǎng) 1 天減少青草10 份，也就是說，寒冷相當(dāng)于10 頭牛在吃草。由“草地上的草可供20 頭牛吃 5 天 ”，再加上 “寒冷 ”代表的 10 頭牛同時(shí)

7、在吃草，所以牧場(chǎng)原有草（ 20 10 ）×5 150 （份）。由 150 ÷10 15 知，牧場(chǎng)原有草可供15 頭牛吃10 天，寒冷占去10 頭牛，所以，可供5 頭牛吃 10 天。例 4 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20 級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15 級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5 分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6 分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)？精品資料_分析： 與例 3 比較， “總的草量 ”變成了 “扶梯的梯級(jí)總數(shù)”，“草 ”變成了 “梯級(jí) ”， “牛 ”變成了 “速度 ”，也可以看成牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、

8、女孩自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速度。男孩5 分鐘走了20 ×5 100 （級(jí)），女孩6 分鐘走了 15 ×6 90（級(jí)），女孩比男孩少走了100 90 10（級(jí)），多用了6 5 1（分），說明電梯1 分鐘走 10 級(jí)。由男孩5 分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（ 20 10 ）×5 150 （級(jí)）。解： 自動(dòng)扶梯每分鐘走（ 20 ×5 15 ×6）÷（ 6 5） 10（級(jí)），自動(dòng)扶梯共有（ 20 10） ×5 150 （級(jí)）。答：扶梯共有 150 級(jí)。例 5 某車站在檢票前若干分鐘就

9、開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開 4 個(gè)檢票口需30 分鐘，同時(shí)開5 個(gè)檢票口需20 分鐘。如果同時(shí)打開7 個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？分析與解： 等候檢票的旅客人數(shù)在變化，“旅客 ”相當(dāng)于 “草 ”， “檢票口 ”相當(dāng)于 “牛 ”，可以用牛吃草問題的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設(shè) 1 個(gè)檢票口 1 分鐘檢票的人數(shù)為 1 份。因?yàn)?4 個(gè)檢票口 30 分鐘通過（ 4 ×30 ）份， 5 個(gè)檢票口 20 分鐘通過（ 5×20 ）份，說明在（ 30-20 ）分鐘內(nèi)

10、新來旅客（ 4 ×30-5 ×20）份，所以每分鐘新來旅客精品資料_（ 4 ×30-5 ×20） ÷（ 30-20 ） =2 （份）。假設(shè)讓 2 個(gè)檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為（ 4-2 ） ×30=60 （份）或（ 5-2 ） ×20=60 （份）。同時(shí)打開7 個(gè)檢票口時(shí)，讓2 個(gè)檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過原來的旅客，需要60 ÷（ 7-2 ） =12 （分）。例 6 有三塊草地，面積分別為5 ，6 和 8 公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣

11、快。第一塊草地可供11 頭牛吃 10 天，第二塊草地可供 12頭牛吃 14 天。問：第三塊草地可供19 頭牛吃多少天？分析與解： 例 1 是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個(gè)問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。 5，6，8 120 。因?yàn)? 公頃草地可供11 頭牛吃 10 天， 120 ÷5 24 ，所以 120 公頃草地可供11 ×24 264 （頭）牛吃10 天。因?yàn)?6 公頃草地可供12 頭牛吃 14 天， 120 ÷6 20，所以 120 公頃草地可供12 ×20 240 （頭）牛吃14 天。120 ÷8 15，問題

12、變?yōu)椋?20 公頃草地可供19 ×15 285 （頭）牛吃幾天？因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋骸耙粔K勻速生長(zhǎng)的草地，可供264 頭牛吃 10 天，或供 240 頭牛吃 14 天，那么可供285 頭牛吃幾天？ ”這與例 1 完全一樣。設(shè)1 頭牛 1 天吃的草為1 份。每天新長(zhǎng)出的草有精品資料_（ 240 ×14 264 ×10 ） ÷（ 14 10 ） 180 （份）。草地原有草（ 264 180 ） ×10 840 （份）。可供285 頭牛吃840 ÷（ 285 180 ） 8（天）。所以，第三塊草地可供19 頭

13、牛吃 8 天。練習(xí)1.一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27 頭牛吃 6 周或供 23 頭牛吃 9 周。那么，可供21 頭牛吃幾周？2.一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供17 頭牛吃 30 天，或供19 頭牛吃24 天?，F(xiàn)有一群牛，吃了 6 天后賣掉4 頭，余下的牛又吃了2 天將草吃完，這群牛原來有多少頭？3.經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100 億人生活100 年，或可供80 億人生活 300 年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一定的，為使人類有不斷發(fā)展的潛力，地球最多能養(yǎng)活多少億人？4.有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10 部抽水機(jī)20 時(shí)可以把水抽干；用15 部同樣的抽水機(jī)，1

14、0 時(shí)可以把水抽干。那么，用25 部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？精品資料_5.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。如果同時(shí)開放3 個(gè)檢票口，那么40 分鐘檢票口前的隊(duì)伍恰好消失；如果同時(shí)開放4 個(gè)檢票口，那么25 分鐘隊(duì)伍恰好消失。如果同時(shí)開放8 個(gè)檢票口，那么隊(duì)伍多少分鐘恰好消失？6.兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的，一只每個(gè)白天爬 20 分米，另一只爬 15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用6 個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？7.兩位頑

15、皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。在20 秒鐘里，男孩可走27 級(jí)梯級(jí)，女孩可走24 級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩走了 2 分鐘到達(dá)另一端，女孩走了3 分鐘到達(dá)另一端。問：該扶梯共多少級(jí)？答案與提示1.12 周。解：設(shè) 1 頭牛 1 周吃的草為1 份。牧場(chǎng)每周新長(zhǎng)草（ 23 ×9-27 ×6） ÷（ 9-6 ） =15 （份）。草地原有草（27-15 ） ×6=72 （份），可供21 頭牛吃 72 ÷（21-15 ） =12 （周）。2.40 頭。解：設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草為1 份。牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)草（17 ×30 19 ×24） 

16、47;（ 30-24 ）=9 （份）。草地原有草（17 9 ）×30=240 （份）。這群牛 8 天應(yīng)吃掉草240 9×8 4×2 320 （份），所以這群牛有320 ÷8=40 （頭）。精品資料_3.70 億。解：設(shè) 1 億人生活1 年的資源為1 份。地球每年新生成資源（ 80 ×300-100 ×100 ） ÷（ 300-100 ） =70 （份）。當(dāng)新生成的資源不少于每年消耗掉的資源時(shí)，地球上的資源才不致減少。所以地球最多能養(yǎng)活70 億人。4.5 時(shí)。解：設(shè) 1 部抽水機(jī)1 時(shí)抽出的水為1 份。水池中每小時(shí)涌出泉水（10 ×20 15×10 ） ÷（ 20-10 ） 5 （份）。水池中原有水（10-5 ） ×20=100 （份）。 25 部抽水機(jī)抽干需100 ÷（25-5 ） 5（時(shí)）。5.10 分。解：設(shè) 1 個(gè)檢票口1 分鐘通過的旅客人數(shù)為1 份。每分鐘新來旅客6.15 米。解：每夜下