復(fù)變函數(shù)與積分變換第三版答案

1、1.1計(jì)算下列各式.（1 + i）-（3-2i）；解（1 + i） -（3 - 2i）=（1 + i） - 3 + 2i = - 2 + 3i.（2） a - 6i）3;解 （a 乩）3 = q3 _ 3a2分+ 3a （歷）2 _ （加）3=a3 - Sab2 + i（Z>3 - 3a2g） *（i - 1）（i - 2）;解- t2 - 2i - i + 2 - 1 - 3i_ i（l ”） _ = + _L101010,（4） （z = H + iy- 1）;鋌 之-1 _ - + 6 - 1 _ （_ 1 + i?）（比- 1 - iy）n 十 1 一 人十1?十 1-（jr +

2、 I）2 + y2士工2十2 一 J十2i»（“十 1）2 + /12證明下列關(guān)于共軻復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（N ±?2）=訪土乏2；證 （，± 之2）- 3 + iyTTiTr?. + iy?）=（力1 ± 12）+ i（M ±）2）=力1 ± *2）- i（yi ± »2）=± N2 彳 iy2 =處土 之2， Z1 Z2 =行 Z2；證 Z1 W2 =（工1 + 11 ）（2 + i 3 2）=1力2 二 一）+ i（叫五 + ”/2）二-yLy2 - Kni、2 + ）廣2）,句交2 = R；工U1）片

3、 + 02=（巧-”1）（12 一 W2）=力逐2 -五】32 -即左邊=右邊，得證.F（5）=1（"0）.r f£i依+ iy _ /（工1 + i）i（，2 一 小2八（町 - i?i）（-2 + 叮2）_（翅 i i）（遙 十 了分 送+ yi（2十房）彳2 一均2）孫iyi _ £1*2 - i了2句13解方程組2叼一改=L（1 + i）2j + 1Z2 = 4 - 3i.解所給方程組可寫為J2li + 2必 - *2 - 42 = I1（1 十 i）（ii + iyi）+ K*2 + ij2）= 4 3i,即J2Hl - x2 + i（2?i _ /2）

4、= i,工1 一？1 一 ？2+i（孫十2十刃）=4 一 3i.利用復(fù)數(shù)相等的概念可知2巧一22 = 0,2力一力=1, V比1 一）1 - ？2 = 4，+二2 + V = _ 3,解得17636發(fā)=_亍，yi = - y, 11=一亍 以=_亍故36,617.Z1=- 5 - 5b Z2=- 5 - J1-1.4 將直線方程or +妁+ c = 0 （Y+乒彳o）寫成復(fù)數(shù)形式. 提示：記 x + iy = z.解由“ =寧，？=工二代入直線方程，得一乏）+ c =0,az + az - bz -乏）+ 2c =0,（a - ib）z + （a + ib）z + 2c =0,故 Nw + 心

5、 + 6 = 0,其中 A = a += 2c.1.5 將圓周方程a（“2 +'2）w"+c、+d = 0（a H0）寫成復(fù) 數(shù)形式（即用N與Z表示，其中X = N卜»）.9y -）> .，二2 + y? = Z 行代入圓周方程， /X2az z +g(z + ；f)十叁(N 一乏十 0 ,(b ic)z + (b +icW + 2cl =0夕Az £ 十 B之十 Bz + C = O 其中 A = 2a =5 + ic,C = 2d.1.6 求下列復(fù)數(shù)的模與耦角主值.(1 ) */3 + i；| 73 i | = v (Z3)2 + I2 = V4

6、 =2, arg(V3 + i) = arctanI - i| = J(一】產(chǎn) + ( | )2 -arg( 1 i) arctan- it7T4 _式3.4112/82(3)(4)1.7arc等.2 - i；|2 - i| = a/22 + (- I)2 = /5,arg(2 i) = arctan = -l + 3i.I - 1 + 31 i =八一 1)2 + 32 = /H),3nrg( - 1 十 3i) = arcian + 冗=tv arc tan 3.證明下列各式：（1） |zi - z：12 = kd2+ zi2 -2Re（zi > H）； 證 |力- 3,二（的一切）

7、（句一）-（同-匐乂圻一電）二盯+ Q 22 11 - £交2二町 F+ I 2P 一（Z囪 + ZZ2） 二盯+良產(chǎn)- 2Re（.史2），（2） I 21 +之2 I 2 + I Z1 -22 I 2 = 2（ INI I 2 +次I 2）,并說(shuō)明此式的 幾何意義；證 I句+22+ |均一=（Z1 + =2）（之1 + *2）+（Z1 一 %2）（之 1 一 2 2）=（句 + -2）（制 + 乏2）+ （1 - /2）（&1 -藥）=2|. |2 +2| 句|2 = 2（ I Z1|2 十 | 次|2）.此式的幾何意義是:平行四邊形對(duì)角線平方和等于各邊平方和.z = x

8、+ iy).云& 片1+ I yl X I 1 < 11+ R (其中 V2證 顯然有IN=|工+引=/a2 + J 4 | % |4| y | .而(lx I - | ?|尸> 0,則2出|式，+/.又(I t I + | y | * =圖 2 + R 2 + 2 | 或y |<2(a:2 + v2) = 2| zEI 之I2幺(U + I > I) -V2圖 + 3)& I之Y bl+ 3.（3） 將下列各復(fù)數(shù)寫成二角去示式.(1) -3 + 2i；解 |-34-21| 13 , arg( 3 + 2i) = arctan + 冗,35/I3 cos

9、(n-arctan 言 j+ i sinir arc tan g . (2) sin a + i cos a;解 | sin a + i ccs a ! = 1,3rg(sin a + i cos a)=arctan83 g sin a=arctan(cot a)二年一a,X7(3解nS1K6)/冗一 6 23 ; 一 立 衛(wèi)6 - n衛(wèi)6 或 -江-2 gar=arctan cotL9-sin /i cos 點(diǎn)=cos（一9元）十 i sin（ 22-cos -jrr - i sin gir.利用復(fù)數(shù)的三角表示計(jì)算下列各式：(1) (1 + i)(l -i);1 + i =1 - i =我(

10、農(nóng)上 次 cos -r + t sm 44IT .COS- + 12一 37c(1 + i)(l T) = 2(cos任(2) (一 2 + 3i)/(3 十 2i)；解因f)=2- 3 3- 2 + 3i = Vr13 cos(arctan + n) I i s)n(arctan + n) ,3 + 2i5/T3 cos( arctan y) + i sin(arctan ,故(- 2 + 3i)/(3 + 2i) = i. r/ 32注：arg( 2 + 3i)/(3 + 2i) = arctan十幾一 arctan y-3/2 - 2/3兀 7T=由1 + (二3/2)(2/3)兀=-

11、5 +貫=菱.解由乘轄公式知(TO =+ isin3.f=i.(4) ?-2 + 2i.解 困|-2 + 2i = 8,arg(-2 + 2i)=總?cè)?所以由開方公式知 y_9 > 5; fc/ 3 + 8%京 . 3 4 8一 4-2 + 21 = Vo (cos m一1 + 1 sm ),k = 0,1,2,3.1.10 解方程：/+ 1 = 0.解方程十1二0,即/ =- 1,它的解是2=(- 1)3,由開方公式計(jì)算得z =1 (cos 7T + i sinx)3k = 0,12=3空曠+*出京；3,zi = cos冗 + i sirwr =- 1,57r.5加1 75.二 00s

12、Lsm? = /_/'.i n 指出下列不等式所確定的區(qū)域與閉區(qū)域，并指明它是有界的還是無(wú)界的?是單連通域還是多連通域？(1) 2< | <3;解圓環(huán)，有界多連通域. 用 <3；解 以原點(diǎn)為中心,4為半徑的圓的外部，無(wú)界多連通域，(3)號(hào) < arg Z< 手且 1< z I < 3； 解圓環(huán)的一部分，有界、單連域.(4) Ini z > 1 且 | e | < 2;解圓環(huán)的一部分，有界、單連域.(5) Re i < 1；解工2 一了2 V 1,無(wú)界、單連域. | Z - 1 | + | N + 11 4 4;橢圓的內(nèi)部及橢圓

13、的邊界，有界、閉區(qū)域. | arg Z | < y;解從原點(diǎn)出發(fā)的兩條半射線所成的區(qū)域、無(wú)界、單連域.(8) > ata >0).解 分三種情況：0 <。< 1,區(qū)域?yàn)閳A的外部；a = 1為左半平面;a1為圓內(nèi).1.12 指出滿足下列各式的點(diǎn)z的軌跡是什么曲線？(1) I z + i) = 1；解 以(0, - i)為圓心,1為半徑的圓周. z - a+ z + a - 6,其中a,b為正實(shí)常數(shù)；解 以土 a為焦點(diǎn)，!為長(zhǎng)半軸的摘圓.(3) | z - a | = Re(z -匕),其中。,6為實(shí)常數(shù)；解設(shè)N = 1 + iy,則 |(1-一0) + "

14、( = Re(z - 6 + iy) .即 (x - a)2 + jy2 =-6)2,£ - b >0.解 橢圓周的參數(shù)方程為* = ：88''0&%<2",寫成復(fù)數(shù)形 ,y = 6s)n t,式為 z = a cos t + i 6sin t (042 ( 2k),L14試將函數(shù)，一丁 £)寫成z的函數(shù)(z=x+iy).解將二=士 /，y -Z代人上式，得 N乙(z + z) (z 芝 >4(z + )(z- « + Z-4-+4- 4i +i 丁 之2 + 2z E + W? , ”一 2z W +乏2 z2

15、 - z2 , z z+5_ 二一 +1丁_ W 3z 比 遠(yuǎn)1.15 試證lim不存在.E Z證hm拄/ = lim 工，令y =紅，則上述極限為廠片，隨殳 z，J Z 廣龍+1)1 +Ly-)變化而變化，因而極限不存在.1.16 設(shè)小)“2?產(chǎn) "0'試證/(N)在2=0處不連續(xù).0, Z 二 0,證因酬<z)=媽舞 -甄=占，J >£r-*0即呵/建)不存在，故f(Z)在之=0處不連續(xù).（1）?。?解因1 1lim七二&)二 lim 工也一之&-C雪=Um *二二- 3 (2 關(guān) 0),&T 4之I2+ 七)%Z，故f（R）

16、=（，y - - （之工0）.2Z(2) /(之)=wRe z.解因lim9-0A>0f(N + Az) - f( N)(n +2 )Re( z ±4z)二?Rg z2Rc 42 4之Re z + AzRe &n在o ,"八 . Re AnRe z + Re / + z -;nRe 且 &_)工x + i)當(dāng)之 H 0時(shí),上述極限不存在,故導(dǎo)數(shù)不存在；當(dāng)=。時(shí),上述極限為0,故導(dǎo)數(shù)為0.2.下列函數(shù)在何處可導(dǎo)?何處不可導(dǎo)?何處解析?何處不解析?(1) fiz）二乏之2.解 f（N）=乏之2 H * 宏之=（J：2 + y2）x 十 y）n十寸）十十 丁

17、）， 這里 w(jt , v)二工+ y2),v(x,y) = y(x2 + /.心=，+ y2 + 2/2,% = / + y2 + 2y2,uy = 2g,vx = 2xy,要盯:vy, uy = 一 q，當(dāng)且僅當(dāng)x -= y = 0,而%均連續(xù), 故/(之)=N 之2僅在之二0處可導(dǎo)，處處不解析.(2) f(N)=，+ i/.解 這里=。2,勿=J %=2n，4 = 0,% = 0,% = 27，四 個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)，但UY -%=-%:僅在I = y處成立，故/(z)僅 在j = y上可導(dǎo)，處處不解析.(3) f(z) vf3 - 3.2 + i(3-2y ?3)解 這里-32y2, .

18、(/,j) 312y «x = 3/-3y2yUy =-6卬， =, vy = 3/ - 39，四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)且仆= %,%=-%處處成立，故f(z)在整個(gè)復(fù)平面上處處可導(dǎo)，也 處處解析.(4) f(之)=sin z ch y + i cos jt sh .解 這里(工,y) = sin jrch y,(i,y) = cos ish y.7=cos ach yt uy = sin x sh , vr = 一 sin #sh y, vy - cos x ch y. 四個(gè)偏導(dǎo)均連續(xù)且ux = vy9 uy =- vx處處成立, 故f(z)處處可導(dǎo),也處處解析.3.確定下列函數(shù)的解析區(qū)域

19、和奇點(diǎn),并求出導(dǎo)數(shù).Z - 解 f(z) =是有理函數(shù)，除去分母為。的點(diǎn)外處處解析,Z - L故全平面除去點(diǎn)2二1及2二- 1的區(qū)域?yàn)閒(Z)的解析區(qū)域,奇點(diǎn)為Z =± l9f(z)的導(dǎo)數(shù)為：f(2)=_ - 2w（，一 1）2則可推出含=留=0,即 =c(常數(shù)).故必為。中常數(shù),(3)設(shè)f(2)= U +2,由條件知arg2=C,從而 U(")二 n1 + (v/u )2'求導(dǎo)得u2 + v2化簡(jiǎn)，利用CR條件得U2 + V20,3口一 丁dy3憂 AV-u - 丁 v =。, lo-z oy所以非y ="同理含 = 0,即在D中"通為常數(shù)，故

20、/(二) 在。中為常數(shù).(4)設(shè) & #。，則 u - (c - bp)/a，求導(dǎo)得迎 _ _ 立 3_v d_u b 3Pa ' dy a *由CR條件b dub a?，故祖尸必為常數(shù)，即f(z)在D中為常數(shù).設(shè)。=0,6盧0«#0,則4=c,知©為常數(shù)，又由GR條件知 u也必為常數(shù)，所以/(%)在0中為常數(shù).5 .設(shè)/(%)在區(qū)域。內(nèi)解析，試證/乎1/（幻 2 = 4|（名）|2(萬(wàn)+證設(shè)f(2)= % + 沁,(Z)2 = 2 + 32,人)小錯(cuò)，分)“(野+(耕.ini（，方/川2 二()+恭u2 '+ v2)二2du3 1興dy又/（4解析

21、,則實(shí)部«及虛部智均為周和函數(shù),故a2u d2u0, v二震十弱=氏居+5)m)/ = 4（野+（野戶226 .試證GR方程的極坐標(biāo)形式為零=上需，票=-1瑞，并且 dr r db dy r dfy一,、 r lu r（z）=工dr+厲證一 設(shè)工=r cos6,y =廠GnC.CR條件;票=華，笠二一空.ox dy oy dxdu, du a2認(rèn) Au”、而=石甚+西,弟=3莪rn。兩， 3 3工; n adu 私而二石,前+汨=/8瓦+ '8s6可，方=石,豆+ % 力夕日+加叼， 。u »U Hjc 2。 dyr）vn 32） 小的二蘇,布+而,而=sm6石+8

22、sd西， ©久加的螞比較、和、即得 利用石二獷W 匕法北二；用船丁洸Hz） 二包 + i電3工十匕二=償8s 6T需sin小獴cos 0-7煞皿6）c（。憂 jsin 6 lu J .=00sq豆+1”廣口廠（而+1前）=八4嬰+i孕）-函典-廠票+i廠毀）證二(cos 0 i sin 0)=（票+第re/傍十弱一償+給7 .試證u = x2 - y2,v = 2 ,一，都是調(diào)和函數(shù)，但u + iv不是 x + y解析函數(shù).證因器=2加衰=2,1-2% * =- 2,則*82u0/ 八不才=2+（ - 2）=0,故=-丁是調(diào)和函數(shù).又Op _ 一 2n32q _ _ 2_y3 + 6

23、彳2）取 （x2 + y2）2"dx2 （/ + 戶2，迪 _，+ « _ 2y2 _/ _ /22 rl _ 2 y3 _ 672 y（一 十 /）？（工2+/2）2，3J （/ + »2）2 ,則驍+苦=0,故七=五2 : ?2是調(diào)和函數(shù)但斐士留，留x一招，故"+歷不是解析函數(shù)8 .如果f(z) = +沁為解析函數(shù)，試證-"是&的共朝調(diào)和函 數(shù).證 只需證安-以為解析函數(shù).因i,” + iv均為解析函數(shù)，故 -i(w+iv)也是解析函數(shù)，亦即-是卷的共匏調(diào)和.9 .由下列條件求解析函數(shù)fz = + -(x - 3(/ + 4n3 +

24、 J)；解 困器=券=3了246cy 3*2,所以p =(31?4 6© 32)d»=322了 + 3孫2 - 丁 + 9(7)，又頭=6xy + 3y2 + /(工),而,=3K 一 6=- 3y所以“(工)=- 3x29 貝U)= 一 + c.故f(z) = u + E(x - y)(32 + 4xy 十 丁)+ i(3x2y + 3xy2 - 丁 一 / 十 0)二(1-i)U + iy) - 丁(1 - i)(a + »)-212y(1 + D _ Zr/d - i) + Ci=N(1 - i)(x2 - y2) 2xyi iz(l - i) + Ci=(

25、1 - i)z(2 - y2 - 2xyi)+ Ci二(1 - i)d 十 Ci.展2i居(2)zi 2 刊 + 3*；=2-由f(N)解析，有.u = 2nc1h = ±2 + (y).又留=一招=一 2)一 3,而患=3'()，所以 W'(y) =-2y - 3,則 叭)=-J - 3、+ C,故/(z) = 2 _ J 一 3)+ c + i(2g + 3i).=2(% - l),/(2) = - i;因斐=2y,斐=2(% - 1),由f(z)的解析性，有OXoyu會(huì)=十二-2(x7),2(1-l)dz =-(x-l)2 + w(y).等=2),而既=(&qu

26、ot;,所以3'(y) = 2yy 3(y) = 3?十 q,v = l)2 + >2 + C,f(z) = 2(X - 1)J + i(一(二 一 l> + J + c), 由 f(2) = i 得，(2) = 1(- 1 + C) = i,推出 C = 0.即 f(z) = 2(x - l)y + i(y2 - j;2 4- 2x - 1) =i( / + 2之-1) = - i(z I)2.(4) u ex(xcQS y - _ysin y) ,/(0) = 0.解因e才(zcos y - ysin y) + ercos y, =e« jcsin y - s

27、in y - ycos y),由八G的解析性，有a 方a ax /、蕓=一 石=_ e - xsin y - sm y - 3/cos y), 熱 =孩 = e (xcos y >sm y) + e cos y.（內(nèi)）=：_械+器力+cOdx + eCccos y - ysin y) + excos cos ydy - I vsin vdy + cos ydy)+ C Jo 'J。-Jo /=e才工 sin y 一ycos y -cos ydy +cos ydy)+ C-ejrsin y ejycos y + C, 故/(x) = ex(xcos y - /sin y) + ie

28、Cxsin y - ycos 3)+ iC.由 /(0) = 0 知 C = 0,即f(z) = eT(xcos y - ysin y) + ie(Tsin y - ycosy) = ze”.10 .設(shè)己=e"sE y,求p的值使等為調(diào)和函數(shù)，并求出解析函數(shù) /(N) + is解 要使2,丫)為調(diào)和函數(shù)，則有十% = 0,即立2*sin y - esin y = 0,所以p=± 1時(shí)m為調(diào)和函數(shù)，要使f(z)解析，貝解以= %,%=-%.ux,y)=ydx =卷 +,uyesin 1y + 3，(y)-j>esin y.所以:('一y, 36)二(力一,jec

29、os y + C.即 (1r,y) - pecos 3 + C,故Jecos + i sin 7) + C = ez + C, p = 1,f(z)=工1一e"(cos y + i sin >1) + C = - e'z + C,11 .證明:一對(duì)共施調(diào)和函數(shù)的乘積仍為調(diào)和函數(shù)，證明 設(shè)算是"的共扼調(diào)和函數(shù)，令/(N)="十2,則f(幻是 解析函數(shù)，尸(z) = f(z) /(z) = (u + iv)2 = (2 一 x,2) + 也 是解析函數(shù)，故其虛部2阪是調(diào)和函數(shù)，從而tw是調(diào)和函數(shù).12 .如果f(z)=十2是一解析函數(shù)，試證:if(z)也

30、是解析函 數(shù).證因小)解析，則票=羨意二-工-U也可微，而，且沈2均可微，從而i/(z) = v iu v -H i( u)a 醛 du 3( u)3u 3( 以)獲=一須二1，可=石=一.即-與七滿足CR條件，故話j也是解析函數(shù).13 .試解方程：/=1+可解 ez = 1 + = 2(cos + i sin 會(huì) 二 2ei(3+2) wJ=*24i(2"+書，= 0, ± 1, ±2, n = In 2 + i(2歸化 + -y) , k - 0, ± 1, ± 2.(2) In zKi=2，e2J = cos- + i sin-y = t

31、(3) sin z = i sh 1;解 sin z h i sh 1 = i(- i)sin i = sin i,所以 z = 2An + i 或 z =(2/ -l)7r-i/ 為整數(shù).另解.見本節(jié)例24.(4) sin z + cos z 0>解由題設(shè)知tanz =1,之工女TV-才，為為整數(shù).(14) 下列各式的值.(1) COS I;eT + e2AJ4加7e < e廨 cos i =2(2) Ln( 3 + 4i)；解 Ln(-3 + 4i) = ln5 + iArg(- 3 + 4i)=In 5 + i+ K-arctanf).(3) (1解 (1 _=e(l + O

32、Ln(l-i)=e(l+i)ln/2+iC-+2i7t) _ glit/2 + -2jr-iln/2+2An-二中。+：一2,cos(1n/5 寸)+ i sin(lnV5 彳) (4) 33，解 33T =七(3-i)Ln3 = e(3rMln3 + 2Airi)_ (3-Din 3 ._ 3Ln 3+2kid . -iln 3=273"(cos In 3 - i sin In 3).(15) 明(16) sin z = sin 彳ch y + i cos ish y證 sin z = sin(jr + iy) = sin xcos iy + cos jrsin ly + e-W

33、M - ei®= sin jc2 + cos x2|. e" + d .- U=sin x2- 1 c05 %2=sin xch y + i cos ish y(17) cos(zi + 22) = cos Nicos 22 - sin zisin z證cos zicos Z2 - sin zisin z2(e% + e%)(e良2 4 e一%)(e% e-%)(eW 一%)-4-4= £ + %)+ e-iUi+ff2) + If，)+ 看g（，+ %2）+ 已一式-'電）-g（一勺 + 在）-gGZ2）二7花%+立）+亡一七1 +丐）=COS（Z

34、63; +=2）-(3)SITZ 4 COS22： = I；利用復(fù)數(shù)變量正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義直接計(jì)算得=-十 e_2i' -2)4-+ e-2,e + 2) =L(4) sin 2n 2sin NCOS 之;在) d - p (聲+ Jz)uL 2sl刀 ncos n = 2 ：l4t=Jr (e21 + L 1 巳一 2員)=2j (e2 e-2,:c) sin 2z.(5) i sin n | 2 = sin% + sh2;e'N Q e運(yùn)e一說(shuō)2i 2i證 I sin n | * = sin z sin z sin 之 sin z-4=一點(diǎn)巳2» 一 / _

35、 e-2,7 十巳2E e,<才+E) e記式+3) e'<" - O) 0一代工,)sin( zi %)=sin 巧83 牝cos zisin 七， / %> 7T冗.Sint"2 - 2 j = sm ,cos z cos 豆sm z = cos z. 16.證明：(1) dft2 之sh2x = 1；e24十匕一22+ 2497飪零 + e'2z + 2Ch , - sh-2 = 一?一+ £2 _ 24(2) ch 2z = sMz + ch2;證 sh2z + elf 石=* * ：4_ / + e 1一 (3) th(

36、z + Tii) = th 之；一 2，e2' + eZ 十 2一4=ch 2n ,證 th(z+日)kz+2iu -z z 一 e e - e一 片+26 + e-N e + ez (4) sh(j + Z2)= sh zjch 22 + ch 21sh 物.th z.p2 - p 2 -4- a 叼證 sh 之ich Z2 - 2 2的十工2 - e-力2 - 2一左廠與+ eTfch 21sh Z2 =4e?2 - e-z22e寸2 - e-立力+叼_ e-rz2 /sh qch Z2 + ch 之M Z2 =3 = ch(z| + 肛)17 .證明：ch z 的反函數(shù) Arcc

37、h z = ln(z + V z1證 設(shè)之= chw,且卯nArcchz,由z = ch 詢=4(鏟 + e-w)知 2z = e" + e-卯 乙即 e2" - 2zew + 1 = 0.解方程得曖=z±Vz2 - 1,故 w - ln(z + V z2 - I).注含有“士”兩根.18 .由于In z為多值函數(shù)，指出下列錯(cuò)誤.(1) Ln z2 = 2Ln z.解因Ln / = n z 12 + 1(28 + 2k軌),k = 0, ± 1, ± 2,4-, 而2Ln z =2ln| 2 | + i(8 + 2Eir)二ln| 之 | 2

38、+ i(26 + 4£A),k - 0, ± 1 > ± 2,-兩者的實(shí)部相同,而虛部的可取值不完全相同.(2) Ln 1 - Ln- = Ln 之一 Ln 2=0. z解 Ln 1 = In 1 + i(0 + 2kn)-2®i, k = 0, ± 1, ± 2,即Ln 1 = 0僅當(dāng)%=0時(shí)成立.注：Ln( Z2)= Ln 之1+ Ln 之2 及 Ln 言=Ln 21 一 Ln z2 兩個(gè) 等式的理解應(yīng)是：對(duì)于它們左邊的多值函數(shù)的任一值，一定有右邊兩多 值函數(shù)的各一值與它對(duì)應(yīng),使得有關(guān)等式成立;反過(guò)來(lái)也一樣.19.試問(wèn):在復(fù)

39、數(shù)域中(dy與/ 一定相等嗎？不一定，如:a = 1 + 'i,b = 2,c = y, G = 1 + i,(a» - /2i.20.1列命題是否成立？(1) ? = e解 成立，因 ez =e"。= /(cos y + i sin?) = e(cos y - i sin?) = e”R - F(2)7(7)=以切。(幻為多項(xiàng)式).解不一定，如p(z) - (a + i6)x> p(z) = (a - b)z/(乏)=(a + b)z.(3) sin z = sin z.解成立，因sin z -e-語(yǔ)-d與_FT二曲工(4) Lr z = Ln z.解成立.

40、丹Ln z = 1 z，；(" 2上式J二 ln| z I - i(L + 2&3 k = 0, ± 1> ±2/"<Ln z =ln| n | + i(-。+ 24k)二 ln| z | - i(£ 十 2而)，A = 0, ± 1, ± 2,，1.計(jì)算積分-+dN,積分路徑（L）自原點(diǎn)至1十i的 直線段；（2）自原點(diǎn)沿實(shí)軸至1,再由1鉛直向上至1十六（3）自原點(diǎn)沿 虛軸至i,再由i沿水平方向向右至1十i.)(n 1)+ i-d 之=Jii2( 1 + i)dx = i( 1 +，)專注：直線段的參數(shù)方

41、程為二（1十i）£,OW £ W1.(2) Ci ty = O,dy = 0, dz = ckr>Cn：jc = l.dz = O,da = idy.J ( jt - ;y) + in:? dz:=(工 + 五2)d/ + J(l y + i)idy =十 + /i.0, dz = idy ? Zo - y = 1，dN=dr J；l(z y)+ a?* =1+£= Jo( - y)idy + "(2 - 1 + ij;2)dx=一言一上2 .計(jì)算積分水仁冷會(huì)的值，其中C為（1） I n| = 2;（2）UI = 4. 解 令z =則d>-p

42、Td 之= "，* d6= 2 兀;riJI M = I n I Jo rf r = 2 時(shí)，為 47ti;當(dāng) v = 4 時(shí),為 8ni.3 .求證：£ 步| Vg，其中C是從1 - i到1的直線段.1 1 f dzfe co?6rJc n Jc z2 J .£ cos244 .試用觀察法確定卜列積分的值，并說(shuō)明理由，。為I n| = 1. 4 2 7二心.J c 2 + 4% + 4解積分值為0,因被積函數(shù)在Gl<i內(nèi)解析.j二d-Jc cos z解積分值為o,理由同上.解 f= 2m.c - “25 .求積分L，d£的值，其中C為由正向圓周1

43、 = 2與負(fù)向圓周 |z| = 1所組成.6.計(jì)算上解 f（z）=寸d之,其中C為圓周I z | = 2.嚷=在肉=2內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)” =。,i,分別作以0,1為中心的圓周G，C2，G與G不相交，則2a7dz= 27ri - 2m = 0.7計(jì)算于 G|=3(N k + 2)d"解解法同上題,f 1.1=3 (71)(772) = °8,計(jì)算下列積分值.(1) sin zdzJ。Hi=1 - cos ri - 0n+i解J z edz = 一 e) 3ex + 2z)dz.解 | (3ez + 2z)dz = (3ez + J)J oo=3el - 1 3 = 34.9.計(jì)算

44、層dN,其中C為圓周屋十 i|=2的右半周，走向?yàn)閺?3i到i.解 函數(shù)占在全平面除去z = 0的區(qū)域內(nèi)為解析,考慮一個(gè)單連 通域，例如D：Re z-十，| z | 小則/在D內(nèi)解析，于是取點(diǎn)的一個(gè)原函數(shù)T，則10.計(jì)算下列積分.=2 irie2.解原式-2用(2/ - z + 1)J Z- = Z - 解將被積函數(shù)分解因式得到=J 1J 一 iz 心壬，z +巳予由于點(diǎn)#在圓周屋-i| = 1內(nèi)部，而函數(shù)總在閉圓盤- i| < 1 之十e4l上為解析，故九"告吮=2用7工廠二Z + e4' z = e， 2e4l =菠=兀(烏+ ig). u.計(jì)算【=£后常

45、E其中c是 z = 1;(2)1 X - 2 = 1；(3) I z - 1| = y; (4)|z| = 3.解(1 )被積函數(shù)在| N |41內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)22> _冬4-d之 =2指 ° 2(2+3)(2)被積函數(shù)在k-2|<l內(nèi)僅有奇點(diǎn)/ = 2,故；c2戰(zhàn)、24小4疝1 ' *2 5 .(3)被積函數(shù)在I z - 1143內(nèi)處處解析，故I = 0, 乙(4)被積函數(shù)在|z|<3內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn), = - , z = 2,由復(fù)合閉 路原理，知_Zz - 2dz + 4 2z +；也J c z 2ni , 4m .=5+5 =叫其中 C1 為 n|= 1,

46、。2 為 n2|= 1.12 .若紅)是區(qū)域G內(nèi)的非常數(shù)解析函數(shù)，且f(z)在G內(nèi)無(wú)零 點(diǎn)，則八幻不能在G內(nèi)取到它的最小模.證 設(shè)屋之)=走，因f(N)為非常數(shù)解析函數(shù)，且G, /(z) X 0,則g(N)為非常數(shù)解析函數(shù)，所以g(口在G內(nèi)不能取得最 大模，即/G)不能在G內(nèi)取得最小模.13 .計(jì)算下列積分.解原式=2冗i為p：_ 2拈=殉,4 -的WJ 12d =2 (% - 7t/2)解 原式27ti(sin 2)'= 2"i - cos 之 女=0. $_ 空髡 dz,其中 C1：kl = 2,c2：屋I = 3.J c=g + Q w二 2 Tri A (cos zY

47、 2 Tri 焉(cos 2 Y 2!I z=0?!7ti( 1) 7ri(- 1) = 0.14.設(shè)/（之）在|之|忘1上解析,且在卜= 1上有1/（/-2|41旬，試證：/仁&8.證由柯西積分公式知LfCz) - z + zI dzI dz |I dz IX之一 2a之一 221 z I_±2注：呼 一得 =x2 + y2 - x =+在：NfvI之I=1上.15.設(shè)/(%)與g(G在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為。內(nèi)的任何一條 簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部全含于D,如果f(z) = g(z)在C上所有的點(diǎn) 處成立，試證在C內(nèi)所有的點(diǎn)處汽？)=晨切也成立.證 設(shè)F(n) = -2)g(z

48、),因XG,晨z)均在D內(nèi)解析，所 以F(z)在D內(nèi)解析，在C上,F(z) =O(zG C), 丫知在C內(nèi)有F(o)=*6 . 基* d-= 0即/(劭)=g(zo),由Z0的任意性可知，在。內(nèi)f=g(z).1,下列序列是否有極限?如果有極限，求出其極限.z. = i" + ；0=%"；力=仔）.解（1）當(dāng)8時(shí)1不存在極限,故力的極限不存在, 1%1 =4f 0 （舞-8）,故lim% = 0. n再 fo°-cos 2Tle + i sin 2豫6.8時(shí),cos 2疝.sin 2疝的極限都不存在，故2二（；）無(wú)極限.2,下列級(jí)數(shù)是否收斂?是否絕對(duì)收斂？（哆侏+外

49、£*步十M解因£卜工！發(fā)散.故虱發(fā)散.8.九812彳=£:收斂做絕對(duì)收斂.- -1血津J1 - IR- 1 lim（i + i）H = lim（4尸舞1 -*0,故發(fā)散. ”f 8fJ-*OD3.試證級(jí)數(shù)£） （2之尸當(dāng)|之| 玄時(shí)絕對(duì)收斂."1L證當(dāng)|?|<|時(shí)，令|z| 二 r < y,1（2.2 y I = 2" | 之|” < 1, 且I <2之/ | = （2r）n < 1S （2升）”收斂，故W（2n）”絕對(duì)收斂.4、試確定下列幕級(jí)數(shù)的收斂半徑一881200 /1 A W"爐、X(1

50、十)“2”；£三¥-之”,解 (1J limII= lim = 1,故R = 1.力一GO|OO71(2) Km J | Cj Fl 81 n1+ 1) )也故R二工. e故R = 8(3) limrie(« +D! 一5.將下列各函數(shù)展開為z的轄級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)域.<3) (1+2)2;(i)rb； 2)(_ 一°)1(a_q 一<O,bKO),(4)ch z ;(5)sin2 ;(6)小一.解J 3、1 十 z， 1 （一/）（-之>=, 原點(diǎn)到所有奇點(diǎn)的距離最小值為1,故 Ji < l(2) 7 r?-T= -)(a #

51、 6 )za )z b ) a. b & - a z b )= 1 / 1-1- b aa - izb - z )品)n-。 /< 1,且n-0工.7)< 1,z | < min I | a L I 6 | !.幻則_ .丁二一1I < I <2(1 + z2)271Z21=Z(-1)“TR"2,k|< 1.一 *弱小£守 8 2n= §(fc>!> lzl<0°-4/之=i -8»2之 i -iy I紅¥二(-1)”322 2 y(2氧)！1V (- 1)2 爐2 M )

52、！I Z|< 8.(6)令 f(z)二尸】,/(0) = 1,，=昌.3)=(-(1)2, iyf(z), Z(O) =- 1占會(huì)，3-1?。?二羽+給&臼,r（o）= 1 f"） = 1 - - f 3 >因?yàn)?為f（外的唯二奇點(diǎn):原點(diǎn)到1的距離為1,故收斂半徑R< 1.6.證明對(duì)任意的 z,有 |e。-llwJzl -1W |z|eUI .證因?yàn)閑z =亨氣為< .=o屋T漸呼又因?yàn)?L +吉舊+T +< 一(1 + I 之| + ( I %乙» + )=建"z，.所以-14晨I e7,求下列函數(shù)在指定點(diǎn)益處的泰勒展式.(

53、2)sin zt 20 = 1; 4 _ 3z，£° = 1+” (4)tanz,訛二？解點(diǎn)oo之一 S(-D" "(N 1)”Tn = 1=$( -+ D(zT)Z Iz-1|<Ln = 0(2)sin z = sin(之一1 + 1)=sin(之-l)cos 1 + sin 1cos(n - 1)（之一i）2"】（一e* + 1）!(Z 1 產(chǎn)(一 1尸(2")！+ sin81S舞=0U - 1 | < 8.1 - 3i - 3(2zq)8A".、 2tanN k ce y.S3號(hào) (尸, zt . -x I

54、 1 3i(4)令 f(z) = tanx;,/(20)- lt足 f、乙 v / sin z cos2" sin%dan?)=-)=-彘 z一=+? f仔卜2._ 2f (z) cos)2 2f(1)2cos z( sin z)=4COS z16,2r(2)哆 2 + 4 f(2)shl 2一一 3cos z1 + 2（% 寧）+ 2（之一寧產(chǎn)+羨（£ 一才）+8.將下列各函數(shù)在指定圓環(huán)內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù). 2：，。<1,1 V z z - 1) 2elzS0< |z|< 8；C亨：21< U<2;Z - 2)(zx + 1)(4)cosy1,。< |z - 11 < oo.1 1 %解(1)0 < k|< LBt,一+l1 人