模擬信號(hào)的分段壓縮感知

1、 模擬信號(hào)的分段壓縮感知 Omid Taheri Sergiy A. Vorobyov阿爾伯塔大學(xué)電子與計(jì)算工程學(xué)院 摘要：提出了一種新的處理連續(xù)信號(hào)的方法（AIC，analog-to-information conversion）。根據(jù)這種方法，信號(hào)首先是被分段后通過AIC處理得到一組不完整的測(cè)量結(jié)果。然后，剩余的的相關(guān)數(shù)據(jù)通過選擇特別的方法就可以由不斷加入數(shù)據(jù)子集而重建。歸功于該方法的內(nèi)在特殊結(jié)構(gòu)，采樣設(shè)備并沒有改變但是信號(hào)恢復(fù)卻有了有意義的提高。該方法的有效性已經(jīng)從理論上得到了證實(shí)。仿真結(jié)果亦表明分段壓縮感知的可靠性。 關(guān)鍵詞：壓縮感知 約束等距性 連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換 1引言 壓縮感知理論告訴

2、我們，如果一個(gè)信號(hào)是稀疏的，它就可以從低于乃奎斯特采樣頻率的信息中重新恢復(fù)原始信號(hào)1-3。具體的，信號(hào)f在正交基下的表達(dá)式為f=xii=Hx （1） 其中i，i=1，N是1×N的基向量，xi，i=1，N是若干個(gè)系數(shù)，是N×N的矩陣，i，i=1，N是行向量，x=x1，xNT，（.）H表示厄密共軛變換。如果大多數(shù)系數(shù)為零就稱f為稀疏的。在中如果最多只有S個(gè)系數(shù)不為零，則信號(hào)為S稀疏的。CS理論指出，我們可以建立一個(gè)通用的S稀疏采樣矩陣而不管特定信號(hào)的自然屬性1。諸如圖像獲取、傳感網(wǎng)絡(luò)、認(rèn)知無線電壓縮感知理論已經(jīng)得到了應(yīng)用。 采樣過原始程是對(duì)f信號(hào)乘以一個(gè)K×N的測(cè)量矩

3、陣，也就是說y=f=x，其中=H。用這些有效的測(cè)量數(shù)據(jù)，原始信號(hào)可以通過下面一個(gè)最優(yōu)化問題得到恢復(fù)。1,7min|x|l1, 滿足 x=y （2）其中，|.|l1表示向量的l1范數(shù)。（2）是一個(gè)凸函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成線性問題加以解決。不確定性原則為壓縮感知提供了一個(gè)極佳的前提條件。它要求測(cè)量矩陣必須滿足約束等距性。特別的，我們用T來表示的子矩陣，前者表示由后者的列構(gòu)成的子陣，T1，N，S稀疏等距常數(shù)S滿足下式（1-S）(1+S) （3）c的勢(shì)小于等于S。在（3）式中表示向量的歐幾里德距離。如果約束等距常數(shù)足夠小，就可以保證測(cè)量矩陣高精度的表示了S稀疏的c向量的大不分值。K×N的均值為零方差

4、為1/K高斯隨機(jī)矩陣就是這種測(cè)量矩陣的一個(gè)很好的例子。這種矩陣能夠以高概率滿足ScK/log(N/K)，其中c為常數(shù)。 在這篇文章中，我們針對(duì)AIC提出了一種新的壓縮感知方法，它用我們已經(jīng)獲取了的測(cè)量方法來進(jìn)行一系列新的相關(guān)的測(cè)量。這些新的測(cè)量方法可以用來提高信號(hào)的重建精度。由于這種新的方法只是建立在增加測(cè)量數(shù)據(jù)的老方法之上，采樣設(shè)備幾乎沒有變化。擴(kuò)展原來CS測(cè)量矩陣的步驟在這里將會(huì)被介紹。同時(shí)還將證明為了使信號(hào)恢復(fù)擴(kuò)展的矩陣必須滿足約束等距性。仿真結(jié)果證實(shí)了該方法的有效性。 這篇文章的總體構(gòu)造是這樣的，在第二部分中，介紹一種新的分段壓縮感知方法。緊接著在第三部分中將證明如果原始測(cè)量矩陣滿足約

5、束等距性則分段壓縮感知的擴(kuò)展矩陣也符合約束等距性。由于我們?cè)诜治鲋卸际羌僭O(shè)矩陣的所有元素是滿足獨(dú)立同分布均值為0的高斯變量，這個(gè)結(jié)果也可以看成是托普利茨矩陣的高度概括9。所提方法優(yōu)勢(shì)的仿真結(jié)果在第四部分闡述然后就是第五部分的總結(jié)。2提出的分段壓縮感知方法在壓縮感知的過程中，信號(hào)的采樣和壓縮是緊密結(jié)合在一起的。因此在寬帶信號(hào)中高速的數(shù)模轉(zhuǎn)換器是必不可少的。然而，除了可以用乃奎斯特速率采樣后通過測(cè)量矩陣還可以用RMPI系統(tǒng)進(jìn)行AIC處理。8。為了得到所需值，先將信號(hào)和采樣波在時(shí)域相乘然后對(duì)這個(gè)乘機(jī)在其周期內(nèi)進(jìn)行積分。由于計(jì)算是在時(shí)域進(jìn)行的，一系列平行的混合與積分模塊是必不可少的。圖1清楚的再現(xiàn)了這

6、種結(jié)構(gòu)，x（t）是原始信號(hào)，=,i=1，K是采樣波形，i=1，K是壓縮后的信號(hào)。隨機(jī)的±1序列是一種符合要求的采樣波形。 圖（1）基于RMPI的AIC結(jié)構(gòu) 使用平行的AIC方法，可以克服高速度的AD轉(zhuǎn)換，然而，在連續(xù)信號(hào)處理和復(fù)原等很多實(shí)際的應(yīng)用中收集大量的測(cè)量數(shù)據(jù)是必要的。為了得到更多數(shù)據(jù)的分支直接影響到了AIC的復(fù)雜度。因此，在不犧牲恢復(fù)精度的前提下減少平行的分支數(shù)量是我們希望看到的?？梢酝ㄟ^對(duì)每一個(gè)積分分支進(jìn)行分段積分用一組不完全測(cè)量值取代在整個(gè)區(qū)間積分的唯一值6。注意到原始積分區(qū)間被分成許多小的區(qū)間，現(xiàn)在的測(cè)量值并沒有完全表示原信號(hào)。所以，這種方法也叫不完全測(cè)量。下文中，經(jīng)典

7、的完全測(cè)量我們稱為采樣，而不完全測(cè)量則叫欠采樣。我們工作的主要內(nèi)容是對(duì)比不同采樣波形下重新使用欠采樣的一種新的測(cè)量方法。假設(shè)積分周期被分成M個(gè)子區(qū)間， 表示由，k=1，K1感知的欠采樣向量，K1是傳統(tǒng)采樣的個(gè)數(shù)。欠采樣，k=0，1，K1-1，j=0，1，,M-1由下式給出 （4）總的欠采樣點(diǎn)數(shù)為MK1。這些數(shù)據(jù)可以放在K1×M的矩陣中，其中第k行對(duì)應(yīng)于。原始的K1個(gè)數(shù)據(jù)可以用下面的式子進(jìn)行計(jì)算 k=0，1，K1-1 （5）舉個(gè)例子來說，為了得到第K1+1個(gè)樣點(diǎn)值我們可在主對(duì)角線上選擇M個(gè)樣點(diǎn)并把他們相加。對(duì)于第K+2個(gè)樣點(diǎn)值我們可在次主對(duì)角線上選擇M個(gè)樣點(diǎn)并把它們相加，如是，可以此類

8、推。這些新點(diǎn)值可用下面的公式來計(jì)算 k=0，1，K2-1 （6）其中，K2K1。產(chǎn)生新采樣點(diǎn)值同樣也可以用測(cè)量矩陣來得出。矩的第k行為，是M維向量其長度是N/M。為了簡便起見，我們假定N/M為整數(shù)。對(duì)于K1>M,K=K1+K2的擴(kuò)展矩陣，可以表示為 （7）其中是K2×N新的采樣波形矩陣。系數(shù)用來確保有單位列向量組成。由于的特殊結(jié)構(gòu)，硬件設(shè)計(jì)時(shí)只需要K1個(gè)積分器。這種新的采樣結(jié)構(gòu)是這樣的：從不同 的子積分器上抽取不同的子樣點(diǎn)并把他們相加。這種采樣與實(shí)際樣點(diǎn)相似，但是，仿真結(jié)果告訴我們它大大提高了恢復(fù)精度。 上述形成擴(kuò)展矩陣的方法是眾多可行的選擇之一。一般來說被選擇的新的感知波形與

9、原始的感知函數(shù)要有盡可能小的相關(guān)性。因此，只能從中選擇其第k0行。當(dāng)然從的行中選擇的M向量必須包含信號(hào)在整個(gè)周期內(nèi)的積分。3分段壓縮感知的結(jié)果分析 在這部分中，我們的結(jié)果建立在如果約束等距性，也滿足約束等距性。所以擴(kuò)展矩陣是一個(gè)有效的壓縮感知矩陣。這個(gè)可以看成是文獻(xiàn)9的概括，在那里有特殊結(jié)構(gòu)的原始感知矩陣具有一些相似的性質(zhì)可以作為擴(kuò)展矩陣。與該文獻(xiàn)不同的是，我們只假設(shè)原始感知矩陣的元素滿足獨(dú)立同分布且均值為零的高斯變量。 我們用、和分別表示原始測(cè)量矩陣、采樣矩陣、寬展矩陣。我們假定以高概率滿足約束等距性。舉個(gè)例子來說，令的元素滿足方差為1/K1/、均值為0的獨(dú)立同分布高斯隨機(jī)變量。T表示1，N

10、的子集，在0<<1時(shí)，能夠以概率滿足下面的式子Pr()T滿足（3）式）1-2（12/）S （8） ()T 是以T為指標(biāo)集的的列矩陣 。為了簡潔起見后續(xù)我們都用c0來表示。 下面關(guān)于擴(kuò)展矩陣的輔助結(jié)果是合適的。引理1：假設(shè)矩陣的元素是獨(dú)立同分布均值為零方差為1/K1，是文獻(xiàn)（7）中提到的方法形成的，T是1，N的子集。如果K2是滿足K1，K2+M-1（K1+K2）/2的最小值，對(duì)于任意的0<<1，則有下面的不等式成立。Pr()T滿足（3）式）1-4（12/）S（ ） （9）證明：在后續(xù)的論文里將會(huì)被證明。用上述的定理，我們可以證明文獻(xiàn)（7）中說的擴(kuò)展矩陣滿足約束等距性。定理

11、1：的元素是獨(dú)立同分布均值為零方差為1/K1，是文獻(xiàn)（7）中提到的方法形成的。如果K2是滿足K1，K2+M-1（K1+K2）/2的最小值，對(duì)于任意的0<<1存在之取決于的常數(shù)c1和c2，S c1bK/2c/ ln(N/S)，對(duì)于S稀疏的滿足（3）式的概率大于，也就是說Pr()TRIP） （10）證明：在后續(xù)的文章中會(huì)有證明4仿真結(jié)果在我們的仿真例子中，稀疏信號(hào)由如下方法產(chǎn)生。在512個(gè)數(shù)據(jù)中只有10個(gè)是非零的。非零的數(shù)據(jù)是隨機(jī)在1和-1中選取。測(cè)量是有噪聲的，所以測(cè)量過程可用這樣的式子表達(dá)：，其中e是均值為零方差為的高斯隨機(jī)變量。 三種不同的測(cè)量矩陣將會(huì)被用到，原始的矩陣是高斯獨(dú)立

12、同分布的K1×N矩陣，我們所提出的擴(kuò)展矩陣大小為（K1+K2）×N，測(cè)量矩陣是（K1+K2）×N的獨(dú)立同分布的高斯隨機(jī)矩陣。K1是固定的，其值是64，K2是變量。M=8。在原始矩陣中，高斯噪聲方差是。由擴(kuò)展矩陣得到的測(cè)量值就含有這樣一個(gè)噪聲。這樣，擴(kuò)展矩陣的噪聲關(guān)系就被考慮到了。我們用最小均方差來衡量誤差，實(shí)驗(yàn)中我們?nèi)?000個(gè)值的樣本來計(jì)算均方差。 由于測(cè)量是有噪聲的，測(cè)量算法是不能完全刻畫原始信號(hào)的。 所以，下面的恢復(fù)模型就會(huì)被我們?cè)诜抡嬷杏玫健?滿足 （11）其中是噪聲的邊界。在本例子中，可以取，K=K1+K2為噪聲向量的大小。由于信號(hào)在時(shí)域本身就是稀疏的，

13、稀疏基是單位矩陣，故而，在（11）中。二展示了在K2/K1大于等于0，小于等于1時(shí)上面所提到的三種方法的最小均方差。這個(gè)結(jié)果展示了三種不同的噪聲水平下的效果。信噪比被定義成，約等于，由于（3）式，這個(gè)結(jié)果是可信的，噪聲方差可以用信噪比近似估計(jì)出。比如說，在下面的例子中我們可以用10log（10/L）計(jì)算信噪比。其中L是噪聲向量e的長度。在圖二中，最小均方誤差分別在信噪比為5、15、25dB下獲得。圖（2）基于K2/K1的MSEs圖（3）基于SNR的MSEs從圖二中我們看到使用擴(kuò)展矩陣比原始的K1×N階矩陣有好的恢復(fù)效果。這是因?yàn)槲覀兯岬降臄U(kuò)展矩陣測(cè)量方法與其它方法相關(guān)。但是，比較這

14、兩種方法的恢復(fù)效果，我們會(huì)看到兩種方法幾乎一樣，但是擴(kuò)展舉矩陣法只需要很少的積分分支就可以實(shí)現(xiàn)同樣的效果。比如，如果K2/K1=1，則積分器就少一半。對(duì)比三種不同噪聲水平的均方差曲線，我們可以看出，隨著噪聲的減少，恢復(fù)精度就會(huì)提高。但是，我們所提到的擴(kuò)展矩陣恢復(fù)精度比原始的測(cè)量方法提高的更快一點(diǎn)。圖三展示了上面所提到了三種測(cè)量矩陣的信噪比，其中，K2/K10.1563,1。從中可以看出，不管是擴(kuò)展矩陣還是同樣大小的測(cè)量矩陣都比原始矩陣的恢復(fù)效果好。這些高的提升需要高比例的K2/K1。進(jìn)一步說，如果K2/K1=0.1563，最小均方誤差在25dB，當(dāng)比例為1時(shí)所有范圍內(nèi)的信噪比都有提升。5總結(jié)一

15、種提高CS恢復(fù)水平的分段壓縮感知在本文被提出來了。它幾乎沒有給取樣部分帶來額外的開銷就能夠提供非常好的信號(hào)恢復(fù)效果。采樣部分的復(fù)雜度的略微增加只是為了獲得更好優(yōu)化問題解決的必要開銷，在采樣階段大量的積分分支也可以保持不變。仿真結(jié)果展示了該方法的良好效果。致謝我們的工作得到了加拿大自然科學(xué)和工程研究委員會(huì)和艾伯塔省基金會(huì)的支持。參考文獻(xiàn)1 E. Candes and T. Tao, “Decoding by linear programming,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 51, pp. 42034215, Dec. 2005.2 D. Donoho, “Co

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