第5章習(xí)題答案

1、第五章習(xí)題5.1 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器，在頻率的范圍內(nèi)，低通幅度波紋不超過(guò)0.75,在頻率之間，阻帶衰減至少為20。試求出滿足上述指標(biāo)的最低階巴特沃什濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z)，并畫(huà)出它的級(jí)聯(lián)形式結(jié)構(gòu)。（于2 138 3.1）解：假設(shè)T=1，若通帶在處歸一化為1，即有巴特沃斯濾波器的形式為將上式以dB表示，有將給定指標(biāo)代入，得則模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為5.2 試證明一個(gè)N階FIR濾波器的沖激相應(yīng)h(n)滿足下列條件之一者亦為線性相位濾波器。 1. N為偶數(shù) 2. N為奇數(shù) (于2 138 3.3)證明：由定義可知，若FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是實(shí)數(shù)，而且滿足偶對(duì)稱(chēng)或奇對(duì)稱(chēng)的條件，即或，則濾

2、波器具有嚴(yán)格的線性相位特性。（1）當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)， 奇對(duì)稱(chēng)。因?yàn)?，則因此同樣我們可以把表達(dá)為因此，得其幅度函數(shù)為，將其兩兩合并后得因此，由于在處為零，所以在處為零，即在上有零點(diǎn)、并對(duì)呈奇對(duì)稱(chēng)。（2）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，h(n)為偶對(duì)稱(chēng)。其幅度函數(shù)為再進(jìn)行一次換元，即令，則上式可改為整理可得： 由于對(duì)這些點(diǎn)是偶對(duì)稱(chēng)的，因此對(duì)都有偶對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。5.3 假設(shè)一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)其輸出序列y(n)和輸入序列x(n)之間滿足下列關(guān)系，試求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)并畫(huà)出幅頻特性曲線： 1. 2. 3. 4. （于2 138 3.8）解：（1），其幅頻特性曲線如圖1所示： 圖1（2），其幅頻特性曲線如圖2所示： 圖2（3），其幅頻特

3、性曲線如圖3所示：圖3（4），其幅頻特性曲線如圖4所示：圖45.4 給定一理想低通FIR濾波器的頻率特性 1 0 現(xiàn)希望用窗函數(shù)設(shè)計(jì)該濾波器，要求具有線性相位。濾波器系數(shù)的長(zhǎng)度為29點(diǎn)，即M/2=141. 用矩形窗2. 利用Hamming窗 （胡 261 8.1）解：線性相位理想低通濾波器的頻率特性：(1) 矩形窗：窗函數(shù)：(2) 漢明窗(Hamming)：窗函數(shù): 5.5 設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫低通濾波器，要求通帶截至頻率，通帶最大衰減，阻帶截至頻率，阻帶最小衰減。求歸一化傳輸函數(shù)和實(shí)際的。（西電 193 2）解：(1)確定濾波器技術(shù)指標(biāo)(2)求階數(shù)N和為了滿足技術(shù)指標(biāo)取N=4。(3)求歸一化傳輸

4、函數(shù)，其中由教材給出算法求解出來(lái)后結(jié)果如下(4)將去歸一化，求得實(shí)際濾波器函數(shù)：其中因?yàn)樗浴蓪?duì)共軛極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的因子相乘，得到分母為二階因子的形式，其系數(shù)全為實(shí)數(shù)。也可以得到分母多項(xiàng)式形式。5.6 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為1.2.試采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法分別將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，設(shè)T=2。(西電，194，5)解： 用脈沖響應(yīng)不變法直接按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)公式，Ha(s) 的極點(diǎn)為 s1=-12+j32 ，s2=-12-j32Has=-j32s-（-12+j32）+j32s-（-12-j32）Hz=-j321-e（-12+j32）Tz-1+j321-e（-12-j32）Tz-1將T

5、=2代入上式，得Hz=-j321-e-1+j3z-1+j321-e-1-j3z-1 =233z-1e-1sin（3）1-2z-1e-1cos3+e-2z-2 用雙線性變換法Hz=Hass= 2T 1-z-11+z-1 ,T=2=1(1-z-11+z-1)2+1-z-11+z-1+1 (2) 5.7 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求通帶內(nèi)頻率低于0.2 rad時(shí)，允許幅度誤差在1 dB之內(nèi)；頻率在0.3到之間的阻帶衰減大于10 dB，試采用巴特沃斯型模擬濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，采用T=1ms。（西電 194 9）解：由巴特沃斯濾波器的單調(diào)下降特性，數(shù)字濾波器指標(biāo)描述如下：采用脈沖響應(yīng)不

6、變法轉(zhuǎn)換，所以，相應(yīng)的模擬低通巴特沃斯濾波器指標(biāo)為(1) 求濾波器階數(shù)N以及歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p):取N=5，查閱教材中的表可知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的歸一化低通原型為將部分分式展開(kāi)：其中，系數(shù)為(2) 去歸一化求得相應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)。我們希望阻帶指標(biāo)剛好，讓通帶指標(biāo)留有富余量，所以求3dB截止頻率為(3) 用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z):5.8 要求同題5.7，試采用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。（西電 194 10）解：已知條件如下：數(shù)字濾波器指標(biāo)：采用雙線性變換法，所以要進(jìn)行預(yù)畸形變校正，確定相應(yīng)的模擬濾波器指標(biāo)(為了方便取)：(1) 求相應(yīng)的模擬濾波器階數(shù)N：

7、取N=4，查閱教材中的表可知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的歸一化低通原型為(2) 去歸一化求得相應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)。(3) 用雙線性變換法將轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)函數(shù)H(z):5.9 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求帶通截至頻率 ，通帶衰減不大于3，阻帶截至頻率 ，阻帶衰減不小于18，希望采用巴特沃斯型濾波器。（西電194 11）解：確定數(shù)字高通濾波器技術(shù)指標(biāo)：確定相應(yīng)模擬高通濾波器技術(shù)指標(biāo)。由于設(shè)計(jì)的是高通數(shù)字濾波器，所以應(yīng)選用雙線性變換法，因此進(jìn)行預(yù)畸形變校正求模擬高通邊界頻率(假定采樣間隔T=2 s)：將高通濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通指標(biāo)：，得到低通歸一化邊界頻率為(本題)設(shè)計(jì)歸一化低通：得到歸一化低通濾波器：頻率變換，求模擬高通：用雙線性變換將轉(zhuǎn)換成H(z)：5.10 通過(guò)查表確定4階切比雪夫低通濾波器，要求截至頻率為2KHz，通帶波紋為3dB。答：略5.11 試推導(dǎo)截至頻率的理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n