一般級數(shù)的收斂問題

1、9 9.4 .4 一般級數(shù)的收斂問題一般級數(shù)的收斂問題一、柯西收斂準(zhǔn)則一、柯西收斂準(zhǔn)則時，時，當(dāng)當(dāng)收斂收斂NnNNnna ,*, 01 *Np .1 pnnkka恒有恒有.在級數(shù)第二講中已證過回顧回顧: :柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則例例1.1., 0, nana且且單調(diào)遞減單調(diào)遞減設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列. 0lim nnan則則證明：證明：.221, 0, 0 nanaNnN有有時時當(dāng)當(dāng).22 ,212 nnnnaanaa022lim nnna)( . 02)12(12212 nanaannnn0lim nnnannnaln1 : 反例反例,1收斂收斂證明：若級數(shù)證明：若級數(shù) nna例例1 1二、萊布尼茨

2、（二、萊布尼茨（LeibnizLeibniz）判別法）判別法（1 1）定理）定理4.14.1, 0 ,11)1( nannan設(shè)交錯級數(shù)設(shè)交錯級數(shù).11)1(收斂收斂則則 nnan證明：證明：為偶數(shù)時：為偶數(shù)時：ppn, 0, pnnkkaknSpnS11)1(0,遞減趨于遞減趨于若若na級級數(shù)數(shù)稱稱此此類類交交錯錯級級數(shù)數(shù)為為LeibnizLeibniz判別法判別法)14321(pnapnanananana pnapnapnananana )12()32(11 na為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，p)1()32(1pnapnananananSpnS 1 na.11)1(,lim nnannSn收斂收斂存

3、在存在2 2 )(1即得即得令令 pnanSSnR例例1 1. .)0(111)1( pnpnn 收斂收斂特別特別61514131211 收斂收斂nnnln1)1(2 收斂收斂 11111)1()1()1(nnnnnnnn（2 2）對對LeibnizLeibniz級數(shù)級數(shù)( (誤差估計誤差估計) )：（3 3）例子：例子：收斂收斂三、三、1n nna b 的的斂斂散散性性的的判判別別法法1.1.引理引理4.14.1( (分部求和公式分部求和公式) )：. 0 , 021 SaaaSkk其中其中nnnkkkknkkkbSbbSba 1111)(有有則對任意正整數(shù)則對任意正整數(shù)是兩個實數(shù)列是兩個實

4、數(shù)列設(shè)設(shè)nbann ,分部求和公式分部求和公式注：注：kkkkkkkbbbaSSS 11,可視為可視為 1101nkkknkknkkkbSbSSb類似于分部積分公式類似于分部積分公式 nknkkkkkknkkknkkkbSbSbSSba111111)(nnnkkkknkkknkkkbSbbSbSbS 1111011)(證明：證明：分部求和公式的證明分部求和公式的證明2.2. 引理引理4.1(Abel4.1(Abel引理引理) )： ,21kknaaaSb 是單調(diào)數(shù)列，是單調(diào)數(shù)列，設(shè)設(shè)).2(, 2 , 1,11nnkkkkbbMbankMS 則則若若證明：證明： 1111)(nknnkkknk

5、kkbSbbSba)(111111nnkkknnkknkkbbbMbSbbS ).2()(11nnnbbMbbbM 單調(diào)單調(diào)nbAbelAbel引理引理. .定理定理4.24.2（DirichletDirichlet判別法）判別法）如果它們滿足：如果它們滿足：（1 1）nnaS的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列有有界界；（2 2）; 0lim nbnbn是單調(diào)數(shù)列，且是單調(diào)數(shù)列，且12, nnSaaa,是兩個數(shù)列是兩個數(shù)列設(shè)設(shè)nnba1.nnna b 則則收收斂斂1( 1) , | 1, 0,nnnnaSb 取取11( 1).nnnb 則則收收斂斂DirichletDirichlet判別法是判別法是Le

6、ibnizLeibniz判別法的推廣判別法的推廣注注: :DirichletDirichlet判別法判別法證明：證明：MSSaaanpnpnnn221 )2(211pnnpnnkkkbbMba ，即，即又又0lim nbn有有時時使得當(dāng)使得當(dāng), 0*NnNN .881MbMbpnn 且且,)828(21 , MMMpnnkkbkap于是于是.1收斂收斂kkkba 由引理由引理4.14.1有，有，DirichletDirichlet判別法的證明判別法的證明. . 定理定理4.34.3（阿貝爾（阿貝爾（belbel）判別法）判別法） nnab設(shè)設(shè)是是兩兩個個實實數(shù)數(shù)列列，滿滿足足下下列列條條件件.

7、nna b 則則收收斂斂證明：證明： ,nb單單調(diào)調(diào)有有界界 0nbb單單調(diào)調(diào),na 又又收收斂斂 .nS有有界界1,().nnnDirichleta bb 由由法法收收斂斂111()nnnnnnnna ba bbba故收斂故收斂. .lim,nnbb 存存在在 ;nb 單單調(diào)調(diào)有有界界na ，收收斂斂（1 1）（2 2）belbel判別法判別法例例2.2.)0,0(1sin的斂散性的斂散性判斷判斷 pxnpnnx 10;(0, )pxn 單單調(diào)調(diào)，且且111sinsinsin2sin2nnkkxkxkxx 2sin1x 由由Dirichlet判別法知判別法知, , 1sinnpnnx收斂收斂

8、. .同理可證同理可證: :， 1cosnpnnx收斂收斂. . kx2 解：解：具體計算過程見下頁)cos()cos(21sinsinyxyxyx)2) 1(cos()25cos()23cos()23cos()2cos(21xnxxxx2)2)1(cos()2cos(xnx)sin2sin(sin2sin2sinsin1nxxxxxkxnk附：附：例例3.3.)11(13cos的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù)nnnnn 解：解：所以由所以由AbelAbel判別法可知，判別法可知，.13cos收斂收斂 nnn由例由例2 2可知，可知，單調(diào)有界數(shù)列，單調(diào)有界數(shù)列，又由于又由于nnn)11( .)

9、11(13cos收斂收斂級數(shù)級數(shù)nnnnn 例例3 3例例4.4.2sin1)1(的斂散性的斂散性判斷級數(shù)判斷級數(shù)nnnn 解：解：22cos12sinnn 1122cos1)1(21)1(12sin)1(nnnnnnnnnnn可可知知，收收斂斂，且且由由例例又又由由于于211)1( nnn 1)2cos(2cos1)1(nnnnnnnn 收斂收斂故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂. .例例4 4例例5.5.)arctan5()11(ln12)1(的斂散性的斂散性討論討論nnnnnn 解：解：,)11(ln12)1(單調(diào)有界單調(diào)有界收斂，且收斂，且nnnnn ,arctan5單調(diào)有界單調(diào)有界又又n 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂. .收斂，收斂，判別法知，判別法知，由由nnnnnAbel)11(ln12)1( 判判別別法法知知，故故再再由由 Abel例例5 5要求：要求：2.2.熟練掌握：熟練掌握：AbelAbel判別法和判別法和DirichletDirichlet判別法判別法. .