-微分在近似計算中的應(yīng)用

1、 一、計算函數(shù)增量的近似值 二、計算函數(shù)的近似值 三、誤差估計一、計算函數(shù)增量的近似值一、計算函數(shù)增量的近似值, 0)()(00很小時很小時且且處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點在點若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10問面積增大了多少問面積增大了多少厘米厘米半徑伸長了半徑伸長了厘米的金屬圓片加熱后厘米的金屬圓片加熱后半徑半徑解解,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 二、計算函數(shù)的近似值二、計算函數(shù)的近似值;)(. 10附近的近似值附近的近似值在點在點求求xxxf )()(00 xfxxfy

2、 .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值計算計算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在點點求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很小時很小時x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)

3、2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè),)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例2 2.計計算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 三、誤差估計三、誤差估計由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法由于測量儀器的精度、測量的條件和

4、測量的方法等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差，我們把它叫做差，我們把它叫做間接測量誤差間接測量誤差.定義：定義：.,的的絕絕對對誤誤差差叫叫做做那那末末為為它它的的近近似似值值如如果果某某個個量量的的精精度度值值為為aaAaA .的的相相對對誤誤差差叫叫做做的的比比值值而而絕絕對對誤誤差差與與aaaAa 問題問題:在實際工作中在實際工作中,絕對誤差與相對誤差無法求得絕對誤差與相對誤差無法求得?辦法辦法: :將誤差確定在某一個范圍內(nèi)將誤差確定在某一個范圍內(nèi). .

5、,的相對誤差限的相對誤差限叫做測量叫做測量而而的絕對誤差限的絕對誤差限叫做測量叫做測量那末那末即即又知道它的誤差不超過又知道它的誤差不超過測得它的近似值是測得它的近似值是如果某個量的精度值是如果某個量的精度值是AaAaAaAAAAA 通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為絕對誤絕對誤差差與與相對誤差相對誤差.例例3 3.,005. 041. 2誤差誤差并估計絕對誤差與相對并估計絕對誤差與相對求出它的面積求出它的面積米米正方形邊長為正方形邊長為 解解則則面面積積為為設(shè)設(shè)正正方方形形邊邊長長為為,yx.2xy ,41. 2時時當當 x).(8081. 5)41. 2(

6、22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 邊長的絕對誤差為邊長的絕對誤差為005. 082. 4 y 面積的絕對誤差為面積的絕對誤差為).(0241. 02m yy 面積的相對誤差為面積的相對誤差為8081. 50241. 0 %.4 . 0 小結(jié)小結(jié)近似計算的基本公式近似計算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小時時當當 x ,0時時當當 x一、一、 填空題：填空題：1 1、 利用公式利用公式)()()(000 xxxfxfxf 計算計算)(xf時，要求時，要求_

7、很小很小. .2 2、 當當0 x時 ， 由 公 式時 ， 由 公 式dyy 可 近 似 計 算可 近 似 計 算_)1ln( x； _tan x，由此得，由此得_45tan ；_002. 1ln . .二二、 利利用用微微分分計計算算當當x由由 45變變到到0145 ,時時，函函數(shù)數(shù)xycos 的的增增量量的的近近似似值值( (017453. 01 弧弧度度) ). .三三、 已已知知單單擺擺的的振振動動周周期期glT 2，其其中中980 g厘厘米米/ /秒秒2 2，l為為擺擺長長（單單位位為為厘厘米米） ，設(shè)設(shè)原原擺擺長長為為 2 20 0厘厘米米，為為使使周周期期T增增大大 0 0. .

8、0 05 5 秒秒，擺擺長長約約需需加加長長多多少少？練習(xí)題練習(xí)題四四、 求求近近似似值值：1 1、 136tan；2 2、 5002. 0arcsin； 3 3、3996. .五、設(shè)五、設(shè)0 A，且，且nAB ，證明，證明 1 nnnnABABA，并計算，并計算101000的近似值的近似值 . .六、已知測量球的直徑六、已知測量球的直徑D有有 1%1%的相對誤差，問用公式的相對誤差，問用公式 36DV 計算球的體積時，相對誤差有多大？計算球的體積時，相對誤差有多大？七、 某廠生產(chǎn)七、 某廠生產(chǎn) （教材（教材 2-182-18 圖） 所示的扇形板， 半徑圖） 所示的扇形板， 半徑R=200=200 毫米，要求中心角毫米，要求中心角 為為 55產(chǎn)品檢驗時，一般用測量產(chǎn)品檢驗時，一般用測量 弦長弦長L的辦法來間接測量中心角的辦法來間接測量中心角 ，如果測量弦長，如果測量弦長L 時的誤差時的誤差L = =0.10.1 毫米，問由此而引起的中心角測量毫米，問由此而引起的中心角測量 誤差誤差 是多少？是多少？一、一、1 1、0 xx ； 2 2、002. 0,01309. 0, xx. .二、二、0021. 021602 .