矩陣可逆的判定及求解

1、華 北 水 利 水 電 大 學(xué)矩陣可逆的判定及求解課 程 名 稱： 線性代數(shù) 專 業(yè) 班 級(jí)： 測(cè)控技術(shù)與儀器88班 成 員 組 成： 姓名： 聯(lián) 系 方 式：2012年 10 月16日矩陣可逆的判定及求解摘要：在高代數(shù)中,矩陣已成為數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的應(yīng)用廣泛的的概念,特別是可逆矩陣已成為代數(shù)特別是高等代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象,必需深入了解.求逆矩陣的方法有定義法、公式法、初等變換法、分塊矩陣求逆法等,本文將提供這幾種方法供大家參考.關(guān)鍵詞：可逆矩陣的定義、齊次方程組、初等變換化為單位矩陣、分塊矩陣求逆、分解矩陣求逆、遞推法Matrix reversible deci

2、sion and the solutionAbstract: In the higher algebra, the matrix in mathematics has become an extremely important concept of widely used, especially invertible matrix algebra especially higher algebra has become one of the main research object, it is necessary to deeply understand. Inverse matrix me

3、thod is definition method, formula method, the elementary transformation method, block inverse matrix method, etc, this paper will provide the several methods for your reference.Key words: Invertible matrix of the definition, homogeneous equations, elementary transformation into unit matrix, partiti

4、oned matrix inversion, decomposition of matrix inversion, recursive method引言：矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的應(yīng)用廣泛的概念，它是代數(shù)，特別是現(xiàn)性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象。其中逆矩陣又是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)非常重要的概念，逆矩陣的可逆性及其求法自然也就成為要研究的主要內(nèi)容之一。本文主要是對(duì)課本中關(guān)于可逆矩陣判定方法的總結(jié)，在階數(shù)較高的矩陣可逆判定、用分塊矩陣求逆矩陣、分解矩陣求逆法上略有拓展，另外參考相關(guān)資料列出遞推法求逆。1、可逆矩陣的定義定義:設(shè)是階矩陣，如果存在階矩陣，使得n，則稱是可逆矩陣（或稱為非奇異矩陣），是的逆矩陣。從

5、這個(gè)定義可知，單位矩陣E的可逆矩陣就是其自身。2、矩陣可逆性的判定2.1 n階方陣可逆的充分必要條件是|A|0，且此時(shí).此定理判斷矩陣可逆很容易，只是求逆矩陣非常的麻煩，適用于求低階矩（二階、三階）的逆矩陣的情況。2.2 利用矩陣的初等行變換，若矩陣可化為單位矩陣，則可逆，并可直接求出逆矩陣。此種方法最常用。 矩陣可以化為單位矩陣，所以矩陣可逆。2.3A為n階方陣，若存在n階矩陣B滿足AB=E（或BA=E），則矩陣是可逆的，且=、.若要判斷是否可逆，則只要看是否能找到與其乘積等于的矩陣即可。例2.1 矩陣和滿足-=，證明可逆，并求其逆矩陣。證明：由=可得-=，即（）（），于是（）（）=.所以可

6、逆，且逆矩陣為2.4 若n階矩陣的秩為n，即r(A)=n,則矩陣可逆。 利用矩陣秩的定義或利用初等行變換將矩陣化為行階梯型矩陣求其秩，看是否等于矩陣的階數(shù)。例2.2 判斷矩陣是否可逆？ =.解：所以R（A）=3，矩陣可逆。2.5 方陣A為可逆矩陣的充要條件是A可以寫(xiě)成初等矩陣的乘積。即A=P1P2Ps，其中Pi是初等矩陣。2.6 可逆 A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)。2.7 可逆 齊次方程組AX=0只有零解。 若齊次方程組AX=0只有零解，則r(A)=n，A可逆。2.8 可逆 非齊次線性方程組AX=B總有唯一解。2.9 n階矩陣可逆的充分必要條件是它的特征值都不等于0. 即 |A|=12i0，A可

7、逆。 此方法將判斷矩陣是否可逆轉(zhuǎn)化為求方程的解。例2.3判斷矩陣是否可逆？=.解：解得特征值為=-1，=2，=5.因此矩陣可逆。2.10 一類階數(shù)較高矩陣可逆性的判定對(duì)于二階矩陣（1）當(dāng)時(shí)，則可逆，且其逆為，利用這一簡(jiǎn)單結(jié)論可簡(jiǎn)單的判定形如（2） 一類方陣是否可逆，其中（2）中未標(biāo)的元素主對(duì)角線上全為1，其它元全為0. 定理2.10矩陣（2）可逆當(dāng)且僅當(dāng)矩陣（1）可逆。證：記矩陣（2）為，由于 則有：矩陣（2）可逆矩陣可逆。3、逆矩陣的求法3.1用定義去求逆矩陣 定義3.1 設(shè)是一個(gè)階矩陣，如果存在階矩陣，使=，則稱為可逆矩陣，并稱是的可逆矩陣。 例3.1 已知階矩陣滿足。證明+4可逆并求出.

8、證明：把變形為(+4)（）=-5，可得（+4）（）=，所以存在一個(gè)矩陣=，B使（+4）=。由定義得+4可逆，且=.3.2用初等變換去求逆矩陣 如果可逆，則可通過(guò)初等行變換化為單位矩陣，即存在相應(yīng)的初等矩陣、使（1），用又乘上式兩端，得（2），比較（1）、（2）兩式，可知當(dāng)通過(guò)行初等變換化為的同時(shí)，對(duì)單位矩陣作同樣的初等行變換，就化為的逆矩陣.同樣，只要用列的初等變換也可以求逆矩陣。(1)初等行變換如果階矩陣可逆，作一個(gè) 2的矩陣（，），然后對(duì)此矩陣施以初等行變換，使矩陣化為單位矩陣，則同時(shí)即化為了。即（，）（，）(2)初等列變換如果階矩陣可逆，作一個(gè)2的矩陣，然后對(duì)此矩陣施以初等列變換，使矩陣

9、化為單位矩陣，則同時(shí)化為,即.(3)混合采用初等行、列變換如果階矩陣可逆，列出三個(gè)矩陣如下：，（為單位矩陣）。對(duì)這三個(gè)矩陣施以變換，當(dāng)對(duì)做一次行變換，便對(duì)左邊的矩陣做同樣的行變換；每對(duì)做一次列變換，便對(duì)右邊的矩陣作同樣的列變換。最后可得：，,所以=.用伴隨矩陣去求逆矩陣?yán)?.2判斷矩陣是否可逆，=解： 矩陣可以化為單位矩陣，所以矩陣可逆。3.3用伴隨矩陣求逆矩陣定理3.3 階矩陣=（）為可逆的充要條件是非奇異。且 =，其中是中元素的代數(shù)余子式。矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣，記作，于是有= .3.4用分塊矩陣去求逆矩陣 設(shè)、分別為、階可逆矩陣，則，.例3.3求矩陣的逆矩陣。解：令，所以，.故3.5分解

10、矩陣求逆法 分解矩陣求逆法，即將已知矩陣分解成兩個(gè)矩陣之和，然后再求其逆。定理3.5 設(shè)為階可逆矩陣，且，其中已知，是可逆陣，又設(shè)可逆，則.（）例3.4求矩陣=的逆矩陣。解：=+=+=+由公式得：=特別的，當(dāng)是l,是1，且=（1）時(shí)，公式（1）就變成了=-3.6特征多項(xiàng)式法定理3.6 設(shè)是矩陣，可逆存在常數(shù)項(xiàng)不為0的多項(xiàng)式（x），使()=0.使|，得出的特征值1、2、i，則有對(duì)角陣（1，2，i），有可逆矩陣P、Q，使 P¯¹AP=，則有 A¯¹=Q¯¹¯¹Q.3.7遞推法 遞推法利用階可逆矩陣的-1階矩陣的逆來(lái)遞推

11、得到原矩陣的逆。引理3.7 任何一個(gè)+1階可逆方陣都可以只通過(guò)行列互換初等變換化為左上角為階可逆塊的方塊方陣形式，即對(duì)任意+1階可逆方陣，存在互換初等矩陣 （=）（=1,2,）使得=，其中，為階可逆方陣，為×1階矩陣，為1×階矩陣，=，于是=.證明：由可逆知，至少有一個(gè)階子式不為零，于是可以只通過(guò)行列的互換變換將此子式對(duì)應(yīng)的矩陣換到左上角，得到新矩陣形式，即存在互換初等矩陣（=）（=1,2,）使得=，其中，、如條件所設(shè)，于是根據(jù)互換初等矩陣性質(zhì)=即可得到定理后半部分結(jié)論。根據(jù)引理3.7,只需要考慮左上角的階分塊為可逆矩陣的+1階可逆方陣.引理3.8設(shè)+1階可逆方陣=（）=，其中為階可逆方陣， 為×1階矩陣，為1×階矩陣，=，則-0.例3.5求矩陣的逆矩陣，其中=.解：=（1），且=-40，于是=（-3），=（-4），=（-4），所以=-=；又=-（-58，26），=-，=-，所以=+（-2）=.最后給出右下角為+1階可逆矩陣的逆矩陣的遞推公式。本文中判定可逆矩陣的方法