《固體物理學(xué)》基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練題及其參考解答

1、固體物理基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練題及其參考答案說(shuō)明：本內(nèi)容是以黃昆原著、韓汝琦改編的固體物理學(xué)為藍(lán)本，重點(diǎn)訓(xùn)練讀者在固體 物理方面的基礎(chǔ)知識(shí)，具體以19次作業(yè)的形式展開訓(xùn)練。第一章作業(yè)1：1固體物理的研究對(duì)象有那些？答：（1）固體的結(jié)構(gòu)；（2）組成固體的粒子之間的相互作用與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；（3）固體的性能與用途。2晶體和非晶體原子排列各有什么特點(diǎn)？答：晶體中原子排列是周期性的，即晶體中的原子排列具有長(zhǎng)程有序性。非晶體中原子 排列沒(méi)有嚴(yán)格的周期性，即非晶體中的原子排列具有短程有序而長(zhǎng)程無(wú)序的特性。3試說(shuō)明體心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特點(diǎn)？試畫圖 說(shuō)明。有那些單質(zhì)晶體分別屬于以上三類。答

2、：體心立方晶格：除了在立方體的每個(gè)棱角位置上有1個(gè)原子以外，在該立方體的體心位置還有一個(gè)原子。常見(jiàn)的體心立方晶體有：Li，Na, K，Rb，Cs, Fe等。面心立方晶格：除了在立方體的每個(gè)棱角位置上有1個(gè)原子以外，在該立方體每個(gè)表面的中心還都有 1個(gè)原子。常見(jiàn)的面心立方晶體有：Cu, Ag, Au, Al等。六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一層原子單元是在正六邊形的每個(gè)角上分布1個(gè)原子，且在該正六邊形的中心還有 1個(gè)原子；第二層原子單元是由 3個(gè)原子組成正三 邊形的角原子，且其中心在第一層原子平面上的投影位置在對(duì)應(yīng)原子集合的最低凹陷處。常見(jiàn)的六角密排晶體有：Be，Mg，Zn，Cd等。4試說(shuō)

3、明，NaCl，金剛石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列規(guī)律。答：NaCl:先將錯(cuò)誤!未找到引用源。兩套相同的面心立方晶格，并讓它們重合，然后,將一套晶格沿另一套晶格的棱邊滑行1/2個(gè)棱長(zhǎng)，就組成NacI晶格；金剛石：先將碳原子組成兩套相同的面心立方體，并讓它們重合，然后將一套晶 格沿另一套晶格的空角對(duì)角線滑行1/4個(gè)對(duì)角線的長(zhǎng)度，就組成金剛石晶格；CscI:先將錯(cuò)誤！未找到引用源。 組成兩套相同的簡(jiǎn)單立方，并讓它們重合，然 后將一套晶格沿另一套晶格的體對(duì)角線滑行1/2個(gè)體對(duì)角線的長(zhǎng)度，就組成 CscI晶格。ZnS:類似于金剛石。作業(yè)2:1. 什么叫原胞？解：原胞是指晶格內(nèi)重復(fù)排列的最小體積單元

4、。2. 簡(jiǎn)單立方晶格，體心立方晶格, 邊長(zhǎng)為a,以上三種晶格的體積是多少？解：簡(jiǎn)立方基矢：a1 ai<a2aj面心立方晶格的基矢是什么？設(shè)對(duì)應(yīng)的立方晶格的a3I a3 akaia2a3az.2(ij)az. 2(j a v 列k)k)面心立方基矢:a2a3a /a(i ja v v2(i jk)k)13 .2a ；體心立方基矢k)ai3對(duì)于簡(jiǎn)單晶格和復(fù)式晶格，如何確定其中原子的位置？解：對(duì)于簡(jiǎn)單晶格每個(gè)原子的位置可以寫成：R】皿；+錯(cuò)誤！未找到引用源。+錯(cuò)誤!未找到引用源。；錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。為晶 格基矢；對(duì)于復(fù)式晶格位置可以寫成：R : +

5、錯(cuò)誤！未找到引用源。+錯(cuò)誤!未找到引用源。+錯(cuò)誤!未找到引用源。；錯(cuò)誤！未找到引用源。 表示原胞內(nèi)各種等價(jià)原子之間的相對(duì)位移。4如何確定某一晶列指數(shù)？（1） 取一晶體微粒為坐標(biāo)原點(diǎn) 0，確定原胞的基矢 錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引 用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）將所考察的晶列平移過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，從原點(diǎn)沿著晶列方向，找出最近的一個(gè)微粒的 矢量并表示為： R 錯(cuò)誤!未找到引用源。+錯(cuò)誤！未找到引用源。+錯(cuò)誤!未找到引用源。(3 )寫出該晶列的晶向指數(shù)“ |2 13。5如何確定某一晶面的密勒指數(shù) ？(1) 取一晶體微粒為坐標(biāo)原點(diǎn) 0,確定原胞的基矢 錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引 用

6、源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。；(2) 找出考察的晶面在矢量 錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤!未找到引用源。；方向上的截距ra1,錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。(3)將r、s、t倒數(shù)并整數(shù)化，從而得到該晶面的密勒指數(shù)(hih2h3)。作業(yè)3：1倒格子基矢如何利用正格子基矢求出?解：可以利用正格子基矢3導(dǎo)出倒格子基矢b1，b2，b3，其關(guān)系為:b2 b12 ； ；2倒格子有何特點(diǎn)?解：設(shè)正格子基矢為， a?，a3，倒格子中微粒的位矢為hbh>b2h3b3，b1，b2，b3是倒格子基矢，h,，h2，h3是整數(shù)，則有:a ?bjij當(dāng)i j時(shí)，ij當(dāng) j時(shí)，.oij倒

7、格子原胞的體積與正格子原胞的體積的乘積為3，即h、h 2、h 3是整數(shù))倒格矢Ghh2h3 hD 1 h2b2 h3b3( b1、b2、b3是倒格子基矢,與密勒指數(shù)為(g h2 h3)的晶面相互垂直。作業(yè)4:1、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。r a r r4 -(j k) r a r r證明：(1 )面心立方的正格子基矢(固體物理學(xué)原胞基矢)：a2(i k)r a r r03 -(i j)r 2 r r由倒格子基矢的定義：b (a2 a3)ai0s)a2a2a a2， 20,a 小2, 0ra2r2srrr1 ,j,kaca0, _2 22 2c -,-,02

8、2r rj k)由倒格子基矢的定義：b (a2 a3)b1 2a27(r r 2 r r r j k) ( i j k) ar 2 r r rbz (i j k)同理可得：r a即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。r 2 r r rbs(i j k)a所以，面心立方的倒格子是體心立方。r2ia2( ir jrk)ra rrr(2 )體心立方的正格子基矢(固體物理學(xué)原胞基矢)a2°(ijk)ra丿rr2s2(ijk)a3)b1 2a22(j同理可得:b2b3a2 r(iaa2a2k)k)a2a2a(jj,a2a2k)3a r，a22a3即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格

9、基矢相同。 rj）所以，體心立方的倒格子是面心立方。2、證明倒格子矢量v h1b1vh2b2vh3b3垂直于密勒指數(shù)為（hih2h3）的晶面系。證明:uur 因?yàn)镃Avahiva3uuuh3, CBva2h2va3h3v vG h1b1vh2b2容易證明Gh1h2h3Gh,h2h3uuCAuuCB所以，倒格子矢量v vh|b|h2b2垂直于密勒指數(shù)為（hih2h3）的晶面系。2 r ra / J、(j k)200作業(yè)51.在二維情況下，正交變換表示成什么形式？此時(shí)繞 演的正交矩陣各是什么？解：在二維情況下，正交變換可表示成：Z軸轉(zhuǎn)0角的正交矩陣和中心反xxaii2a13xyya21a22yzz

10、a31比2a33z其中矩陣 aij是正交矩陣（i,j=1,2,3)COSsin0繞Z軸轉(zhuǎn)0角的正交矩陣是：sincos0001100中心反演的正交矩陣為：0100012.簡(jiǎn)單立方晶格有哪些對(duì)稱操作?答：（1）繞立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)-3、，有二個(gè)立方軸，共有 9個(gè)對(duì)稱操作；22(2)繞面對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)，有六條不冋的面對(duì)角線，共 6個(gè)對(duì)稱操作；(3)繞立方體對(duì)角線轉(zhuǎn)24、,有4條不冋的立方體對(duì)角線，共8個(gè)對(duì)稱操作;33100(4)正交變換 010，即不動(dòng)，也算一個(gè)對(duì)稱操作；001將上述的4種可能加起來(lái)，一共是 24個(gè)對(duì)稱操作。又因?yàn)橹行姆囱荻煽梢允沽⒎襟w保持不變，因此以上每一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演都是對(duì) 稱操作。所

11、以總共 48個(gè)對(duì)稱操作。3什么叫對(duì)稱素？答：若某物體繞其一對(duì)稱軸轉(zhuǎn)同，那么該操作對(duì)應(yīng)的對(duì)稱素n為：n角后，其中的微粒分布仍然與原來(lái)的空間排列完全相2用弧度制。1,2,3,4,6;由于各個(gè)對(duì)稱素的中心反演都是對(duì)稱操作,故得：1,2,3,4,6也是對(duì)稱素。作業(yè)61 試證明：晶體的宏觀對(duì)稱性只有哪幾種對(duì)稱素? 證明：如下圖，格點(diǎn)A的位置可表示為11 1圍繞“過(guò)格點(diǎn) A點(diǎn)且垂直紙面的軸”轉(zhuǎn)動(dòng)角后，設(shè)格點(diǎn)B轉(zhuǎn)到另一格點(diǎn)B的位置。由于格點(diǎn)A與格點(diǎn)B完全等價(jià)，因此圍繞且垂直紙面的軸”轉(zhuǎn)動(dòng)角，格點(diǎn)A 一定會(huì)轉(zhuǎn)到另一格點(diǎn)位置。又由于A和B都是晶體中的格點(diǎn)，晶體中的格點(diǎn)排列具有 嚴(yán)格的周期性，所以有：“過(guò)格點(diǎn)B

12、A | AB，B A n 1 n AB, n為整數(shù)。如圖可得：B AAB(1 2cos )n 1 2cos1 ncoscos必須在1與-1之間。n只能有-1,0,123 五個(gè)值，相應(yīng)的2J JJ3 2，它的宏觀對(duì)稱素還能為:第二章作業(yè)7:1三維NaCI晶體對(duì)應(yīng)的馬德隆常數(shù)的表達(dá)式是什么？在二維、一維情況下，馬德隆常數(shù)的表達(dá)式又分別是什么？三維：a' ( 1)1n1n2n3 (口2 n； nf) 2二維：(1)n1 n2a17n1n2 (n-i n2) 2一維：a '( 1)n '( 1)na 1 rn (n2) 2nna=2In2。2、證明兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬

13、德隆常數(shù)為證：設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無(wú)限長(zhǎng)的離子鍵取任一負(fù)離子作參考離子。用 r表示相鄰離子間的距離。馬德隆常數(shù)rj212r3r4rIn(1 x)當(dāng)x=1時(shí)有:In2 1即 a=2In2NaCI晶體的內(nèi)能表達(dá)式NA肖，r表示相鄰正負(fù)離子的距離,3、試由三維N表示晶體中原胞的個(gè)數(shù)，（1）其中表示相互吸引的平均庫(kù)侖能和重疊排斥能各是哪一項(xiàng)?（2）試求出該晶體處于平衡態(tài)時(shí)的晶格常數(shù)、體變模量和結(jié)合能。aB解：（1）平均庫(kù)侖能為 N（），重疊排斥能為N飛Rr0，由于u（r），則有:N(£ro里)0,ro于是可得ro結(jié)合能：Wu（r0）N(Aronro體模變量：2 2KdpV d u

14、(n 1)aqdVdV2 V 4 0 18r。金屬性結(jié)合的晶體是依靠哪兩種作用力達(dá)到平衡的? 解：依靠排斥作用力和庫(kù)侖吸引作用力達(dá)到平衡的。作業(yè)9：1、若一個(gè)晶體的相互作用能可以表示為5）訶 孑，試求:（1 ）平衡距離ro ；（2）結(jié)合能W （單個(gè)原子）；（3）體能彈性模量；（4）若取m=2,n=10, r0 3A,W=4eV求0V作業(yè)8:1、共價(jià)結(jié)合有哪兩個(gè)基本特性？它們的含義分別是什么？解：（1）飽和性：是指一個(gè)原子只能形成一定數(shù)目的共價(jià)鍵，一個(gè)電子只能和一個(gè)與自 己自旋方向相反的電子形成一個(gè)共價(jià)鍵。（2） 方向性：是指原子只在特定的方向上形成共價(jià)鍵。2、以金剛石的共價(jià)鍵為例說(shuō)明什么叫“軌

15、道雜化”？解：碳原子有6個(gè)電子，在基態(tài)4個(gè)電子填充了 1S和2S軌道（每個(gè)軌道有正反自旋的一 對(duì)電子），剩下兩個(gè)電子在2P殼層，在這種情況下只有兩個(gè) 2P電子未配對(duì)的，但是在金剛石 中，每個(gè)碳原子與4個(gè)領(lǐng)近原子以共價(jià)鍵結(jié)合，這種情況表明，金剛石中的共價(jià)鍵不是以上述碳原子的基態(tài)為基礎(chǔ)的，而是由下列2S和2P波函數(shù)組成的新的電子狀態(tài)組成的:1 1n1212S2P<2Py2PZ ，n2212S2P<2Py2PZ ，n322S2P<2Py2PZ ，n422S2P<2Py2P,。這個(gè)形成新的電子狀態(tài)的過(guò)程叫做“軌道雜化”。3、金屬性結(jié)合的晶體有哪些重要特點(diǎn)？值。解：（1）電子的共

16、有化；（2）有很大的范性。(4)單個(gè)原子：WV2由已知條件:W 1oro27.5Vo10ronroU(r。)，晶體體積V NAr2 ro10ro2Woro|r ro2U|v Vo1.2romnqVo2(1 m)n1o 95 eV10mUo ；mnqVo19eVm2126解：u r4-一rr2、用林納德一瓊斯勢(shì)計(jì)算Ne在體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比值。12 61Ur N(4 ) An A 2rrdU r6A12 61 , A0ro2UoN -rA22WjccWfCCA0.957A|2AA；3、什么叫電離能？什么叫親和能？什么叫負(fù)電性？答：原子的電離能量是使原子矢去一個(gè)電子所必需的能量，因

17、此可以用來(lái)表示原子對(duì)價(jià) 電子束縛的強(qiáng)弱。一個(gè)可以用來(lái)度量原子束縛電子能的量是親和能，即一個(gè)中性原子獲得一個(gè)電子成為負(fù)離子時(shí)，所放出的能量。為了比較不同原子束縛電子的能力，或者說(shuō)得矢電子的難易程度，常用原子的負(fù)電性。（負(fù)電性=0.18（電離能+親和能）（單位：電子伏特）4、在元素周期表中，元素的負(fù)電性有何規(guī)律？答：有兩個(gè)趨勢(shì)：（1 ）周期表由上到下，負(fù)電性逐漸減弱；（2）周期表愈往下，一個(gè)周期內(nèi)的負(fù)電性的差別也愈小。周期表左端I族元素Li、Na、K、Rb Cs具有最低的負(fù)電性。IV族至VI族具有較強(qiáng)的負(fù)電性。第三章作業(yè)10：1、試闡述杜隆-鉑替定律的內(nèi)容和適用范圍。答：內(nèi)容：若一摩爾固體有 N個(gè)

18、原子，它們共有3N個(gè)振動(dòng)自由度，按能量均分定律，每 個(gè)自由度上有平均能量為 kBT （平均動(dòng)能和平均勢(shì)能各為 kBT /2 ），該固體的摩爾熱容量為 Cv 3NkB 3R適用范圍：?jiǎn)卧泳w：在高溫下近似成立。2、在低溫下，固體的熱容量隨溫度的變化呈現(xiàn)什么變化規(guī)律?T 0K時(shí)，固體熱容量答：在低溫下，固體的熱容量隨溫度降低而減小；當(dāng)溫度Cv0。對(duì)于一維單原子鏈，試寫出它對(duì)應(yīng)的:（1）動(dòng)力學(xué)方程；（2）格波方程；（卡曼條件。并說(shuō)明其中各個(gè)字母的含義。3、3）色散關(guān)系;4）第一布里淵區(qū)；（5）玻恩-解:（1）動(dòng)力學(xué)方程:?mn)n 1），即有?mn)格波方程:nqAei(t naq)(3)色散方程

19、: si n2(丄m 2q)2 mSin即有N個(gè)原子）連接起來(lái)，使這第一布里淵區(qū):兩個(gè)原子的平衡位置相距為晶格常數(shù)a。利用玻恩一卡卡曼條件有：nnN即Ae« t naq)Ae"七(n N)aq則有：e-inaq1,于是可得：2qhNa（其中h為整數(shù)）玻恩一卡曼條件:將第一個(gè)原子和最后一個(gè)原子（即第(5)又由于q(-，（第一布里淵區(qū)），aa所以h （N，h且為整數(shù)，共有N個(gè)取值，22以上各式中字母的意義說(shuō)明：N一維單元子鏈中的原子總數(shù)，a 晶格常數(shù)，格波的振動(dòng)圓頻率，h 整數(shù),力常數(shù)，q 格波的波數(shù)。作業(yè)11:1、對(duì)于一維雙原子鏈，試寫出它對(duì)應(yīng)的:（1）動(dòng)力學(xué)方程；（2）格波

20、方程；（ 各個(gè)字母的含義。3)色散關(guān)系；（4）第一布里淵區(qū)；并說(shuō)明其中解:（1）動(dòng)力學(xué)方程：P原子?m 2n(2n 12n 12 2n)原子?M2n 1(22n 12n 2 2n )格波方程:2nAei(2n aq)2nBei t (2n 1)aq(3)色散關(guān)系:3 1mM14mM1sin2 aq2第一布里淵區(qū):2aq則有:格波的角頻率,原胞的序數(shù)，a2a相鄰兩原子處于平衡位置的距離，q波數(shù)。2、對(duì)于一維雙原子鏈，試寫出它對(duì)應(yīng)的玻恩-卡曼條件，并說(shuō)明其中各個(gè)字母的含義。解：將第一個(gè)原胞與最后一個(gè)原胞實(shí)現(xiàn)首尾相接，且讓它們之間的距離等于其它相鄰原 胞之間的距離。利用玻恩-卡曼條件，則有2n 2（

21、n N）， 2n 12（n N） 1 ，2由此可得： q h其中h為整數(shù)，再利用第一布里淵區(qū)的取值，可得N 2aNN- h ，N是該雙原子鏈中的原胞總數(shù)；且 h為整數(shù)，共有N個(gè)取值。22作業(yè)12:1對(duì)于三維晶格振動(dòng)，試寫出它的格波方程，并說(shuō)明其中各個(gè)字母的含義。LiLt R?qk答：三維晶格對(duì)應(yīng)的格波方程為：u kAkeq格波的波矢量；格波角速度(即圓頻率)；R L 第L個(gè)原胞中第k個(gè)k微觀粒子的位移。2某三維晶體的一個(gè)原胞內(nèi)含有n個(gè)原子，對(duì)于一定的波矢量 q，該原胞中有聲學(xué)波和光學(xué)波各多少支？答：對(duì)于一定的波矢量 q，該原胞中有3支聲學(xué)波。(3n-3)支光學(xué)波。3對(duì)于三維晶格振動(dòng)，使用波恩

22、-卡曼條件推導(dǎo)：(1)格波的波矢量q必須滿足什么條件？并說(shuō)明該條件中各個(gè)字母的含義。(2)允許的q在q空間的分布密度。答:1)設(shè)格波的波矢量q無(wú)xb x?b2 X3b3，利用波恩-卡曼條件可得：，u(Rlu(Rlu(RlN)N2a2)N3a3)u(Rl) u(Rl) u(Rl)N1即：格波的波矢量q必須滿足h2b2 単 b33b1， b2， b3是倒格子基矢;q電4 -N1 N2 Na1, a2, a3為晶格基矢。N“ N2,N3分別晶體在a1,a2,a3方向上的晶體原胞數(shù)，晶體的總原胞數(shù)為N= N1N2 N 3。NVo33 企(V是三維晶格的體積) (2 )3 (2 )3 hh2,h3是整數(shù)

23、，它們分別有 N1, N2, N3個(gè)整數(shù)取值。2)分布密度=b1b2b3N1 N 2N 3作業(yè)13:1. 簡(jiǎn)述利用中子非彈性散射確定晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)步驟。答：步驟： 先確定中子散射前后的動(dòng)量 p，p ；2 2 根據(jù)q確定格波的圓頻率（q），再根據(jù)2Mn 2M np p q Gn確定格波的波矢q，在（q）-q坐標(biāo)系確定一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。（3）改變中子散射前后的動(dòng)量 p和p，利用（2）中的方法，可以確定許多對(duì)應(yīng)的（q）和q值，從而可以在（q） -q坐標(biāo)系確定晶格振動(dòng)實(shí)驗(yàn)譜線。2. 為什么常用中子非彈性散射方法確定晶格振動(dòng)譜。答：（1）中子的能量p：2m與晶格振動(dòng)形成的格波的能量q具有相同的數(shù)量級(jí),因此，

24、中子與格波相互作用后， 中子的能量和動(dòng)量都會(huì)發(fā)生明顯的改變，從而便于測(cè)量，因 而容易得到精確的結(jié)果。（2）中子的德布羅意波長(zhǎng)正好與晶格常數(shù)同數(shù)量級(jí)。作業(yè)14：1. 內(nèi)含N個(gè)原子的晶格，利用量子理論可得到它的熱容量是多少?2je B3N? kBT解:熱容量CvkB 2j 1jkBTeB 12.愛(ài)因斯坦模型的基本內(nèi)容是什么？利用愛(ài)因斯坦模型可得內(nèi)含N個(gè)原子的晶格熱容量是多少？答：內(nèi)容：（1）晶體中所有原子的振動(dòng)都被視為獨(dú)立的；（2）認(rèn)為所有原子的振動(dòng)頻率 都為同一值 0利用愛(ài)因斯坦模型可得內(nèi)含 N個(gè)原子的晶格熱容量為:2Cv 3NkB(2o/kBT) eo/kBT(eo/kBT1)3. 徳拜模型的

25、基本內(nèi)容是什么？愛(ài)因斯坦、徳拜溫度各是什么? 答：內(nèi)容：1)認(rèn)為晶格振動(dòng)頻率分布在 0 m之間，m是頻率的最大值;cq;2)認(rèn)為對(duì)振動(dòng)模而言，晶體可視為連續(xù)分布的彈性介質(zhì)，則愛(ài)因斯坦溫度：E 0 ； 德拜溫度： D -kBkB作業(yè)15:答:1.計(jì)算振動(dòng)模式密度的一般公式中各個(gè)字母的含義分布是什么?dnn lim - 0ds(對(duì)三維晶體)等頻面式的數(shù)目。之間的微小間距離;dn表示在d 間隔內(nèi)晶格振動(dòng)模2.cq試分別對(duì)一維、二維三維晶體計(jì)算對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模式密度。解：由cq一維下:dq d2cqL122 c二維下:dL2cq 4 c三維下:dq2cqdSV13q2 3q qdS142cq第四章作業(yè)16

26、:1、布洛赫定理的內(nèi)容是什么？ 答：布洛赫定理的內(nèi)容是，晶體中的電子的波函數(shù)r是以晶格周期Rs調(diào)幅的平面波，即r u r eikr,u r u rRnRnni ain 2 a?"3, m,是整數(shù)，ai,a2, a3是正格子原胞基矢。2、一維近自由電子近似模型的內(nèi)容是什么？答：一維近自由電子近似模型是假設(shè)電子所處的勢(shì)場(chǎng)V x沿某一值的起伏較小，用勢(shì)場(chǎng)平均值V作為勢(shì)場(chǎng)的V x的零級(jí)近似，即 V是勢(shì)場(chǎng)V x的主要部分；把周期勢(shì)場(chǎng) V x 的起伏 V V V x V 作為V X的微擾來(lái)處理。該模型可以用來(lái)處理金屬中電子的能帶結(jié)構(gòu)。3、一維近自由電子近似模型下的零級(jí)近似對(duì)應(yīng)的波動(dòng)方程、波函數(shù)、

27、能量各是多少?答：波動(dòng)方程2 d22m dx20 0 0k x Ek零級(jí)波函數(shù)為:01 ikxkx J零級(jí)能量為:E02k22m4. 一維近自由電子近似模型下，電子波函數(shù)的一級(jí)修正量、能量的二級(jí)修正量各是多電子能量的二級(jí)修正量為:E.2M2Vnfk E：E0Ek12nk22mk2 2na其中：Vn丄aeina Vd ，x nax:電子的坐標(biāo) n：原胞的序號(hào)數(shù)a 0a：晶格常數(shù)少？答：電子波函數(shù)的一級(jí)修正量為:1 i(k丄°n L)xa什么叫做能帶？什么叫做帶隙? 電子的能量為：5. 結(jié)合一維近自由電子近似模型說(shuō)明: 答：能帶：在一維近自由電子近似下,E E° Ek1Ek22

28、k2（鮎V)2k22m其中波數(shù)k可能的取值可由玻恩-卡曼條件確定為:k h，其中Na2整數(shù)，共有N值。對(duì)于每一個(gè)量子數(shù) h，都可以找到電子態(tài)的能量E。由于N通常為1023個(gè)數(shù)量級(jí)（很大），因而，允許的 k值對(duì)應(yīng)電子可能的能量 E是十分密集的，即為準(zhǔn)連續(xù)的, 這種準(zhǔn)連續(xù)的能量分布叫做能帶。帶隙：在兩個(gè)相鄰的能帶之間，如果存在空隙，這個(gè)空隙就叫做帶隙，空隙的寬度 叫做帶隙的寬度，帶隙處表示電子不允許存在的狀態(tài)。6. 在能帶理論中，什么叫做能級(jí)間的排斥作用？答：相互作用的兩個(gè)微觀態(tài)，作用的結(jié)果是原來(lái)能級(jí)較高的態(tài)，能量變得更高了；原來(lái)能量較低的態(tài)，能量變得下降了。這種相互作用叫做能級(jí)間的排斥作用。這是

29、在量子力學(xué)中普遍存在的結(jié)果。7、三維近自由電子近似模型下的零級(jí)波函數(shù)、零級(jí)能量各是多少?答：零級(jí)波函數(shù)為：01ik?rk x Ve零級(jí)能量為：E0-2k2V2m波動(dòng)方程為:h2 22m(；)E (f)8、 三維近自由電子近似模型下的能帶和一維近自由電子近似模型下的能帶相比，有何不同？答：三維和一維情況有一個(gè)重要的區(qū)別是，三維近自由電子近似模型下的不同能帶在 能量上不一定分隔開，它們可以發(fā)生能帶之間的交疊。在一維情況，由于在布里淵區(qū)中心和邊界的簡(jiǎn)并都是二重的， 可以用統(tǒng)一的表達(dá)式(只 是Vn不同)來(lái)表達(dá)簡(jiǎn)并微擾的結(jié)果，在三維情況下不行，簡(jiǎn)并微擾計(jì)算要按不用的K不同的能帶分別進(jìn)行。作業(yè)17：1 、

30、緊束縛近似模型的內(nèi)容是什么？答：緊束縛近似模型的內(nèi)容是：被考察的電子處在第m個(gè)原子附近時(shí)，它主要受到該原子的作用，即將該電子受到第m個(gè)原子的作用勢(shì) V(r Rm)作為該電子所受總勢(shì)場(chǎng) U(r)的 零級(jí)近似，而將該晶體中第 m個(gè)原子之外的所有原子對(duì)該電子的作用勢(shì)場(chǎng)V V=U(r)-V(r RJ作為總勢(shì)場(chǎng)U(r)的微擾，其中r和&分別是被考察的電子 和第m個(gè)原子的位置矢量。2、寫出電子在緊束縛近似模型中對(duì)應(yīng)波函數(shù)的表達(dá)式。1答：電子在緊束縛近似模型中對(duì)應(yīng)波函數(shù)為：k(r) eik?Rm i(r Rm)；其中NN m是晶體中的原胞總數(shù)，i(r Rm)是第m個(gè)原子的勢(shì)場(chǎng)V(r RJ對(duì)被考察電子

31、激發(fā)的波函數(shù)，r和Rm分別是被考察的電子和第 m個(gè)原子的位置矢量。3、寫出電子在緊束縛近似模型中對(duì)應(yīng)能量的表達(dá)式，其中各個(gè)字母的含義分別是什么？答：被考察的電子處在第 m個(gè)原子附近時(shí)，它主要受到該原子的作用， 該電子的能量為：E(k) i J0J (RS) e ik?Rs，其中i是第m個(gè)原子的能級(jí)；k是電子的波矢Rs最鄰近量；RsR是從第m個(gè)原子到第n個(gè)原子的位移，尺和R分別是第m個(gè)原子、第n個(gè)原子的位置矢量；J 02- -i( ) U( ) V( )d，r Rm，r 和 Rm分別是被考察的電子和第 m個(gè)原子的位置矢量。4、試寫出簡(jiǎn)單立方晶格中由原子 s態(tài)形成的能帶。答：S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，

32、在各個(gè)方向重疊積分相同，因此在電子能量ruu 罠Ek i JoJ Rs e _ 中的jr有相同的值，簡(jiǎn)單表示為：山 j(RS)，&最近鄰R,為最近鄰的矢徑。S態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，即s r s r ，在最近鄰重疊積分J(Rs)i (Rs)U( ) V( ) ,( )d中，波函數(shù)的貢獻(xiàn)為正，所以Ji 0。簡(jiǎn)單立方晶體六個(gè)近鄰格點(diǎn)為：a,0,0 , 0,a,0 , 0,0, a,a,0,0 , 0, a,0 , 0,0, a把近鄰格矢R；代入E(k)i J。J(Rs)e ik?Rs即可得到簡(jiǎn)單立方晶格中由原子RS最鄰近s態(tài)形成的能量為E(k)J0 2J1cos(kxa) cos(kya) cos(kza)， 其中i是第m個(gè)原子的能級(jí),被考察的電子處在第 m個(gè)原子附近。作業(yè)18：1、什么叫做能態(tài)密度？計(jì)算能態(tài)密度的一般公式是什么？答：定義：它表示能量處在E附近單位能量區(qū)間包含的微粒狀態(tài)數(shù)，若用 Z表示能量分布在EE E中的能量狀態(tài)數(shù)目，則能態(tài)密度為：N EZdZdE2、計(jì)算晶體中電子的能態(tài)密度的公式是什么？VdS答:對(duì)于三維晶體，計(jì)算晶體中電子的能態(tài)密度的公式為：N E2 什么叫做費(fèi)米面？答：在k空間占有電子區(qū)域與不占