吳新慧直線與橢圓的位置關(guān)系(二)

1、直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？問題問題1：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？drd00因?yàn)橐驗(yàn)樗裕匠蹋ǎ┯袃蓚€(gè)根，所以，方程（）有兩個(gè)根， 則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)例題講解例題講解（一）（一）. .直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系小結(jié)：橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法小結(jié)：橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法判斷方法這是求解直線與二次曲線有關(guān)問題的這是求解直線與二次曲線有關(guān)問題的通法通法。0（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù)（3）看）看：當(dāng)

2、直線與橢圓相交時(shí)，如何求被截的弦長(zhǎng)？：當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，如何求被截的弦長(zhǎng)？例題講解例題講解例例1、 求直線求直線y=x- 被橢圓被橢圓x2+4y2=2 所截的弦長(zhǎng)所截的弦長(zhǎng)|ab|.2121 xyx2+4y2=2解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx- (1)12124515xxxx 由韋達(dá)定理得由韋達(dá)定理得2|1|ababkxx221)4ababkxxx x（利用弦長(zhǎng)公式求解：利用弦長(zhǎng)公式求解：（二）（二）. . 弦長(zhǎng)問題弦長(zhǎng)問題1、直線與圓相交的弦長(zhǎng)、直線與圓相交的弦長(zhǎng)(幾何法）幾何法）a（x1,y1）小結(jié)：直線與二次曲線相交弦長(zhǎng)的求法小結(jié)：直線與二次曲線相交弦長(zhǎng)的求法d

3、r2l2、直線與其它二次曲線相交的弦長(zhǎng)、直線與其它二次曲線相交的弦長(zhǎng)（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù)（3）利用弦長(zhǎng)公式）利用弦長(zhǎng)公式:|ab| =22121214kxxx x（）12122114yyy yk2（） k 表示弦的表示弦的斜率斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的表示弦的端點(diǎn)端點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)，一般由，一般由韋達(dá)定理韋達(dá)定理求得求得 |x1-x2 | 與與 | y1-y2|通法通法b（x2,y2） = 設(shè)而不求設(shè)而不求（三）（三）. .中點(diǎn)弦問題中點(diǎn)弦問題2211,11642xyyxa bab例1.橢圓設(shè)直線與橢圓交于、 兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。 弦中點(diǎn)問題

4、的兩種處理方法：弦中點(diǎn)問題的兩種處理方法： （1）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理；利用韋達(dá)定理； （2）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。減可求出弦的斜率。 練習(xí)練習(xí):中心在原點(diǎn)一個(gè)焦點(diǎn)為的中心在原點(diǎn)一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓的截直線所得弦的中點(diǎn)橫橢圓的截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程坐標(biāo)為，求橢圓的方程23 xy21)50, 0 (1f, a b 解：設(shè)所求橢圓的方程為由得把直線方程代入橢圓方程，整理得 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得 又中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由此得 12222byax)50, 0(f5022ba

5、0)4(12)(222222abxbxba),(11yxa),(22yxb22221912babxx21223ba 25,7522ba1257522xy.故所求的橢圓方程為:例例2：在橢圓：在橢圓x2+4y2=16中，求通過點(diǎn)中，求通過點(diǎn)m（2，1）且被這一點(diǎn)平分的弦所在的直線方程且被這一點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.-2-424xym(2,1)024181622221kkxxk21解一：（顯然，只須求出這條直線的斜率即可）解一：（顯然，只須求出這條直線的斜率即可）如果弦所在的直線的斜率不存在，如果弦所在的直線的斜率不存在，即直線垂直于即直線垂直于x軸，軸，則點(diǎn)則點(diǎn)m（2，1）顯然不可能是這條弦的

6、中點(diǎn)。）顯然不可能是這條弦的中點(diǎn)。故可設(shè)弦所在的直線方程為故可設(shè)弦所在的直線方程為y=k(x-2)+1，代入橢圓方程得代入橢圓方程得x2+4k(x-2)+12=16即得即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn), 故故 =16(k2+4k+3)0又又 兩式聯(lián)立解得k=，直線方程為直線方程為x+2y-4=0. 44181622kkk評(píng)：評(píng)：.本例在解題過程中，充分考慮本例在解題過程中，充分考慮了橢圓與直線相交有兩個(gè)交點(diǎn)這一事實(shí)，了橢圓與直線相交有兩個(gè)交點(diǎn)這一事實(shí)，由此得出由此得出=16(k2+4k+3)0，又利用了，又利用了中

7、點(diǎn)坐標(biāo)，列出了方程，從而使問題得到中點(diǎn)坐標(biāo)，列出了方程，從而使問題得到解決解決.這種方法是常用的方法，大家務(wù)必這種方法是常用的方法，大家務(wù)必掌握掌握. 但是，這種解法顯得較繁但是，這種解法顯得較繁（特別是方程組（特別是方程組 16( )0顯得較繁顯得較繁 ）342 kk0422212121xxyyyyxx21210422212121xxyyyyxx：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為p(x1,y1) , q(x2,y2)則則 x1+x2=4, y1+y2=2在在p(x1,y1) , q(x2,y2)橢圓上橢圓上, 故有故有x12+4y12=16 x22+4y22=16兩式相減得兩式相減

8、得(x1+x2 )(x1-x2 )+4( y1+y2) ( y1-y2)=0點(diǎn)點(diǎn)m（2，1）是）是pq的中點(diǎn)的中點(diǎn), 故故x1x2，兩邊同除兩邊同除(x1-x2 )得得 即4+8k=0 k=弦所在的直線方程為弦所在的直線方程為y-1= (x-2) 即即x+2y-4=0.評(píng)：評(píng)：.本解法設(shè)了兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，而我們并沒本解法設(shè)了兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，而我們并沒有真的求出它們，而是通過適當(dāng)變形，得到了有真的求出它們，而是通過適當(dāng)變形，得到了從而揭示了弦所在的直線斜率從而揭示了弦所在的直線斜率k與弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦中點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)之間在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方之間在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的前提下的關(guān)系：程的前提下的關(guān)系：mx0+

9、ny0k=0 . 顯得很簡(jiǎn)便顯得很簡(jiǎn)便.但在解題過程中應(yīng)注意考慮但在解題過程中應(yīng)注意考慮x1x2的條件！如果有這種可能性，可采的條件！如果有這種可能性，可采用討論的方法，先給以解決用討論的方法，先給以解決. 如果不可能有這種情況，則應(yīng)先說明如果不可能有這種情況，則應(yīng)先說明 例例2：在橢圓：在橢圓x2+4y2=16中，求通過點(diǎn)中，求通過點(diǎn)m（2，1）且被這一點(diǎn)平分的弦所在的直線方程且被這一點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.-2-424xym(2,1)0 練習(xí)：在橢圓練習(xí)：在橢圓 中，求通過點(diǎn)中，求通過點(diǎn)m（1，1）且被這一點(diǎn)平分的弦所在的直線方程）且被這一點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.16422 yx綜合：

10、綜合：已知橢圓已知橢圓 與直線與直線 相交于相交于 兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 是的是的 中中點(diǎn)若點(diǎn)若 ， 斜率為斜率為 （為原點(diǎn)），（為原點(diǎn)），求橢圓方程求橢圓方程122nymx1 yx22ab abc ccaboc22分析：分析：本例是一道綜合性比較強(qiáng)的問題，求解本例是一道綜合性比較強(qiáng)的問題，求解本題要利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得的斜本題要利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得的斜率，另外還要用到弦長(zhǎng)公式：率，另外還要用到弦長(zhǎng)公式：2121abkxx解：由方程組解：由方程組1122yxnymx消去消去 整理得：整理得：y012)(2nnxxnm112233(,)(,)(,)a xyb xycxy設(shè)、12121

11、21212120021,222()2,22nnxxxxmnmnnmyyxxmnmnxxyynmxymnmn則22mn則 由 題 設(shè) 得 :22212121221(1) ()424(1)2 ()22abkxxkxxx xnnmnmn又即：即：1nmmnnm解解得得.32,31nm132322yx所求的橢圓方程為所求的橢圓方程為 （四）（四）. .橢圓中的最值問題橢圓中的最值問題1.1.過橢圓過橢圓 的右焦點(diǎn)與的右焦點(diǎn)與x x軸垂直的直線與橢圓軸垂直的直線與橢圓交于交于a,ba,b兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|ab|ab|22113 12xy222.14 -5400.259 xyl xyl已知橢圓，直

12、線：橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線的距離最?。孔钚【嚯x是多少？ oxy450mllxyk解：設(shè)直線 平行于 ，則 可寫成：224501259xykxy由方程組2222258-2250064-4 25-2250yxkxkkk 消去 ，得由，得（） oxy12k25k25解得=，=-2225402515414145kmld由圖可知，直線 與橢圓的交點(diǎn)到直線 的距離最近。且思考：最大的距離是多少？222.14 -5400.259 xyl xyl已知橢圓，直線：橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線的距離最??？最小距離是多少？3.如果點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），如果點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），f1是橢圓是橢圓 的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的

13、左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上 的動(dòng)點(diǎn)，求的動(dòng)點(diǎn)，求:（1）|pa | + | pf1 | 的最小值；的最小值； （2）|pa | +| pf1 |的最大值和最小值的最大值和最小值459522yx1pfpa（2）設(shè)右焦點(diǎn)為）設(shè)右焦點(diǎn)為 , 欲求欲求 的最大的最大值怎樣使它與值怎樣使它與 聯(lián)系在一起呢？聯(lián)系在一起呢？21pfpf 1pfpa 2f2662af2222pfpaapapfa 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)便直觀簡(jiǎn)便直觀234. 5. 5.設(shè)設(shè)abab為過橢圓為過橢圓 的中心的的中心的弦弦,f,f1 1是左焦點(diǎn)是左焦點(diǎn), ,求求 的面積的最大值的面積的最大值. .1162522yx1abfo oa ab bf

14、 f1 1f f2 23、弦中點(diǎn)問題的兩種處理方法：、弦中點(diǎn)問題的兩種處理方法： （1）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理；）聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用韋達(dá)定理； （2）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。）設(shè)兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。 1、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及等價(jià)條件；、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及等價(jià)條件；2、弦長(zhǎng)的計(jì)算方法：、弦長(zhǎng)的計(jì)算方法：（1）垂徑定理：）垂徑定理：|ab|= （只適用于圓）（只適用于圓）（2）弦長(zhǎng)公式：）弦長(zhǎng)公式： |ab|= = （適用于任何曲線）（適用于任何曲線） 222dr 12122114yyy yk2（）2212

15、1214kxxx x（）作業(yè)作業(yè)1.k為何值時(shí)為何值時(shí),直線直線y=kx+2和曲線和曲線2x2+3y2=6有兩個(gè)有兩個(gè)公共點(diǎn)公共點(diǎn)?有一個(gè)公共點(diǎn)有一個(gè)公共點(diǎn)?沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)?2.無論無論k為何值為何值,直線直線y=kx+2和曲線和曲線交點(diǎn)情況滿足交點(diǎn)情況滿足( )a.沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn) b.一個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)c.兩個(gè)公共點(diǎn)兩個(gè)公共點(diǎn) d.有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)22194xy 3、y=kx+1與橢圓與橢圓 恰有公共點(diǎn)，則恰有公共點(diǎn)，則m的范圍的范圍（ ） a、（、（0，1） b、（、（0，5 ） c、 1，5）（5，+ ） d、（、（1，+ ） 4、過橢圓、過橢圓 x2+2y2=4 的左焦點(diǎn)

16、作傾斜角為的左焦點(diǎn)作傾斜角為300的直線，的直線， 則弦長(zhǎng)則弦長(zhǎng) |ab|= _ , 193622yx5、求橢圓、求橢圓 被過右焦點(diǎn)且垂直于被過右焦點(diǎn)且垂直于x軸軸 的直線所截得的弦長(zhǎng)。的直線所截得的弦長(zhǎng)。1422 yx7、中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為、中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為f（0， ）的橢圓被）的橢圓被 直線直線 y=3x-2所截得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是所截得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是1/2，求橢圓，求橢圓 方程。方程。506、如果橢圓被、如果橢圓被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那么）平分，那么這弦所在直線方程為（這弦所在直線方程為（ ）a、x-2y=0 b、x+2y- 4=0 c、2x+3y-12=0 d、x

17、+2y-8=0193622yx作業(yè)作業(yè)1.k為何值時(shí)為何值時(shí),直線直線y=kx+2和曲線和曲線2x2+3y2=6有兩個(gè)有兩個(gè)公共點(diǎn)公共點(diǎn)?有一個(gè)公共點(diǎn)有一個(gè)公共點(diǎn)?沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)?2.無論無論k為何值為何值,直線直線y=kx+2和曲線和曲線交點(diǎn)情況滿足交點(diǎn)情況滿足( )a.沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn) b.一個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)c.兩個(gè)公共點(diǎn)兩個(gè)公共點(diǎn) d.有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)22194xy 3、y=kx+1與橢圓與橢圓 恰有公共點(diǎn)，則恰有公共點(diǎn)，則m的范圍的范圍（ ） a、（、（0，1） b、（、（0，5 ） c、 1，5）（5，+ ） d、（、（1，+ ） 4、過橢圓、過橢圓 x2+2y2=4 的左焦點(diǎn)作傾斜角為的左焦點(diǎn)作傾斜角為300的直線，的直線， 則弦長(zhǎng)則弦長(zhǎng) |ab|= _ , 19