第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域

1、第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.6 4.6 能量譜和功率譜能量譜和功率譜4.7 4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換4.8 lti4.8 lti系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.9 4.9 取樣定理取樣定理4.10 4.10 序列的傅里葉分析序列的傅里葉分析4.11 4.11 離散傅里葉變換及其性質(zhì)離散傅里葉變換及其性

2、質(zhì)第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解 時(shí)域分析時(shí)域分析，以，以沖激函數(shù)沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以本章將以正弦信號(hào)正弦信號(hào)和和虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)，任為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號(hào)或虛指的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。數(shù)信號(hào)之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率

3、頻率。故稱為。故稱為頻域分析頻域分析。 矢量矢量vx = ( vx1, vx2, vx3)與與vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義：正交的定義：其內(nèi)積為其內(nèi)積為0。即。即031iyixityxvvvv4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為稱為正交矢量集正交矢量集如三維空間中，以矢量如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集正交矢量集。 例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量a =(2，5

4、，8)，可以，可以用一個(gè)三維正交矢量集用一個(gè)三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合分量的線性組合表示。即表示。即 a= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)信號(hào)空間，空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)相互正交的信號(hào)作為基本信作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。性組合。 二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1. 定義：定義： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)和和 2(t),若滿足若滿足 2

5、10d)()(21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱則稱 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 2. 正交函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 21, 0, 0d)()(ttijijikjittt則稱此函數(shù)集為在區(qū)間則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函數(shù)不存在函數(shù)(t)(0）滿

6、足）滿足 則稱此函數(shù)集為則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。例如例如：三角函數(shù)集三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的是兩組典型的在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0+t)(t=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交函數(shù)集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)三、信號(hào)的正交分解三、信號(hào)的正交分解設(shè)有設(shè)有n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個(gè)正交個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為

7、函數(shù)的線性組合來(lái)近似，可表示為 f(t)c1 1+ c2 2+ cn n 如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù)cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值通常使誤差的方均值(稱為稱為均方誤差均方誤差)最小。均方誤差為最小。均方誤差為 ttctfttttnjjjd )()(12121122為使上式最小為使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittctfcc展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為為0，寫為，寫為 210d)()()(222ttiiiiittcttfcc即即

8、 21210d)(2d)()(22ttiittittctttf所以系數(shù)所以系數(shù)212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfktttttfc代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)教材）代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)教材）2121212121112221221122122122)()(2)()(1)()(10d)(1ttnjttnjttjjjjttnjjjnjjjttdtttfcdttcdttfttdttctfttkcttftt212121d)()(1d)(d)()(2ttjjttjttjjtttfktttttfc考慮到：12221d)(jjjttkcttf在用正交函數(shù)去近

9、似在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越越大，則均方誤差越小。當(dāng)大，則均方誤差越小。當(dāng)n時(shí)（為完備正交函數(shù)時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有集），均方誤差為零。此時(shí)有 上式稱為上式稱為(parseval)帕斯瓦爾公式帕斯瓦爾公式，表明：在區(qū)間，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。正交分量能量的總和。 1)()(jjjtctf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和2121112221211222122)(12)

10、(1ttnjnjjjjjttnjnjjjjjkckcdttfttkckcdttftt4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為，其周期為t，角頻率，角頻率 =2 /t，當(dāng)滿足，當(dāng)滿足狄里赫利狄里赫利(dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)數(shù) 稱為稱為f(t)的的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱為稱為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 22d)cos()(2ttnttntfta22d)sin()(2ttnttntftb可

11、見(jiàn)，可見(jiàn)， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。10)cos(2)(nnntnaatf式中，式中，a0 = a022nnnbaannnabarctan上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 其中，其中， a0/2為為直流分量直流分量； a1cos( t+ 1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，它的角頻率與原周，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；期信號(hào)相同； a2cos(2 t+ 2)稱為稱為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波的，它的頻率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，ancos(n t+ n)稱為稱為n次諧波次

12、諧波。 可見(jiàn)可見(jiàn)an是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。an = ancos n， bn = ansin n，n=1,2,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為二、波形的對(duì)稱性與諧波特性二、波形的對(duì)稱性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)稱縱坐標(biāo)對(duì)稱縱坐標(biāo)22d)cos()(2ttnttntfta22d)sin()(2ttnttntftbbn =0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。2 . .f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對(duì)稱于原點(diǎn)對(duì)稱于原點(diǎn)an =0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。實(shí)際上，任意函數(shù)實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部都

13、可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tt/2)f(t)t0tt/2此時(shí)此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分諧波分量，而不含偶次諧波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感的傅里葉級(jí)數(shù)，

14、含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。可從三的傅里葉級(jí)數(shù)。可從三角形式推出：利用角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 如果函數(shù)如果函數(shù)f（t）的前半周）的前半周期波形移動(dòng)期波形移動(dòng)t/2后，與后后，與后半周期波形相對(duì)于橫軸半周期波形相對(duì)于橫軸對(duì)稱，即滿足對(duì)稱，即滿足f（t）=-f（tt/2)，則這種函數(shù)，則這種函數(shù)稱為半波對(duì)稱函數(shù)或稱稱為半波對(duì)稱函數(shù)或稱為奇諧波分量。為奇諧波分量。1)()(0ee22ntnjtnjnnnaa110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnaaa10)cos(2)(nnntnaatf上式中

15、第三項(xiàng)的上式中第三項(xiàng)的n用用n代換，代換，a n=an， n= n，則上式寫為則上式寫為 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnaaa令令a0=a0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnatfee21)(所以所以令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)njnjnffannee21稱其為稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajaaeafn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1tttjnttttttftttntftjttntftntjnnftfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1tttj

16、nnttftf表明：任意周期信號(hào)表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。數(shù)信號(hào)之和。 f0 = a0/2為直流分量。為直流分量。四、周期信號(hào)的功率四、周期信號(hào)的功率parseval等式等式nnnntfaadttft2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 n0時(shí)，時(shí)， |fn| = an/2。周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)周期信號(hào)的頻譜及特

17、點(diǎn)一、信號(hào)頻譜的概念一、信號(hào)頻譜的概念 從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量特征量隨信號(hào)頻率變隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信，所畫出的圖形稱為信號(hào)的號(hào)的頻譜圖頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將將an和和 n的關(guān)系分別畫在以的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位頻相位頻譜圖譜圖。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)閚0，所以稱這種頻譜為，所以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也

18、可畫也可畫|fn|和和 n的關(guān)系，稱為的關(guān)系，稱為雙邊譜雙邊譜。若。若fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫為實(shí)數(shù)，也可直接畫fn 。例：例：周期信號(hào)周期信號(hào) f(t) =試求該周期信號(hào)的基波周期試求該周期信號(hào)的基波周期t，基波角頻率，基波角頻率，畫，畫出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解解 首先應(yīng)用三角公式改寫首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號(hào)的直流分量。是該信號(hào)的直流分量。34cos21t的周期的周期t1 = 8323cos41t的周期的周期t2

19、 = 6所以所以f(t)的周期的周期t = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/t = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 p= 32374121212112234cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖(a)(b)oan1264320a2141o33461232n1二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為舉例：有一幅度為1，脈沖寬，脈沖寬度為度為 的周期矩形脈沖，其周的周

20、期矩形脈沖，其周期為期為t，如圖所示。求頻譜。，如圖所示。求頻譜。 f(t)t0t-t122ttttftftjntttjnnde1de)(1222222sinnnt令令sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)） nntjnttjn)2sin(2e122)()2(tnsatnsatfn, n = 0 ,1，2， fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)t = 4畫圖。畫圖。零點(diǎn)為零點(diǎn)為mn2所以所以mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。fn022441特點(diǎn)特點(diǎn)： (1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置性。譜線位置是基頻是基頻的整數(shù)倍；

21、的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) t一定，一定， 變小，此時(shí)變小，此時(shí) （譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：之間的譜線數(shù)目： 1/ =（2 / ）/(2 /t)=t/ 增多。增多。(b) 一定，一定，t增大，間隔增大，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小。減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期如果周期t無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜離散頻譜就過(guò)就過(guò)渡到非周期

22、信號(hào)的渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。于無(wú)窮小。 4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 非周期信號(hào)非周期信號(hào)f(t)可看成是周期可看成是周期t時(shí)的周期信號(hào)。時(shí)的周期信號(hào)。 前已指出當(dāng)周期前已指出當(dāng)周期t趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線間隔 趨趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有

23、差別。間仍有差別。 為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令概念。令 tftfjfntntlim/1lim)(單位頻率上的頻譜）單位頻率上的頻譜） 稱稱f(j)為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。22de)(tttjnnttftfntjnnttftf1e)(考慮到：考慮到：t，無(wú)窮小，記為無(wú)窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而2d21t同時(shí)，同時(shí)， 于是，于是，ttftfjftjntde)(lim)(de)(21)(tjjftf傅里葉變換式傅里葉變換式“- -”傅里葉反變換式傅里葉反變換式f(j)稱為稱為f

24、(t)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱頻譜頻譜。f(t)稱為稱為f(j)的的傅里葉反變換傅里葉反變換或或原函數(shù)原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)也可簡(jiǎn)記為也可簡(jiǎn)記為 f(j) = f f(t) f(t) = f 1f(j)或或 f(t) f(j)f(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫為一般是復(fù)函數(shù)，寫為 f(j) = | f(j)|e j () = r() + jx() 說(shuō)明說(shuō)明 (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的的傅里葉變換存在的充分條件充分條件:ttfd)(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一

25、些積分用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分dttff)()0(d)(21)0(jff二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = e t(t)， 0實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)10tf(t)jjtjftjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjftjttjt3. 門函數(shù)門函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjfjjtj222/2/eede)()2sa()2sin(24. 沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1de)()(ttttjjttt

26、tttjtj0eddde)( )( 5. 常數(shù)常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且滿足絕對(duì)可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所的傅里葉變換所形成的序列形成的序列fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅的傅里葉變換里葉變換f (j )為為)(lim)(tftfnn)(lim)(jfjfnn這樣定義的傅里葉變

27、換也稱為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 構(gòu)造構(gòu)造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jf)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jfjf又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) ) 另一種求法另一種求法： (t)1(t)1代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj將將 tt，tt- - )(de21ttj再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1ttj6. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100

28、,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjftfjjjft22lim)(lim)sgn(22007. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)歸納記憶：1. f 變換對(duì)變換對(duì)2. 常用函數(shù)常用函數(shù) f 變換對(duì)：變換對(duì)：t域域域域tetfjftjd)()(tejftftjd)(21)(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2sasgn (t) j2e |t|222 1 12()4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)一、線性一、線性(linear property)if f1(t) f1(j)， f2

29、(t) f2(j)thenproof: f a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a11= a f1(j) + b f2(j) a f1(t) + b f2(t) a f1(j) + b f2(j) for example f(j) = ?0f ( t )t1-11ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2sa() f(j) = 2() - - 2sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -二、時(shí)移性質(zhì)二、時(shí)移性質(zhì)(timeshifting property)i

30、f f (t) f(j) thenwhere “t0” is real constant.)(e)(00jfttftjproof: f f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jftjfor example f(j) = ?ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) f(j) =5e)3sa(6j5e)sa(2j5e)sa(2)3sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468三、對(duì)稱性質(zhì)三、對(duì)稱性質(zhì)(symmetr

31、ical property)if f (t) f(j) thenproof:de)(21)(tjjftf（1）in (1) t ，t thentjtfftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtfftjde)(21)( f(j t) 2f () endf( jt ) 2f ()for example f(j) = ?211)(ttfans:22| |2etif =1,2| |12et|2e212 t|2e11t四、頻移性質(zhì)四、頻移性質(zhì)(frequency shifting property)if f (t) f(j) thenproof:where “0” is real

32、 constant.f e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= f j(- -0) end)(e)(00tfjftjfor example 1f(t) = ej3t f(j) = ?ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)for example 2f(t) = cos0t f(j) = ?ans:tjtjtf00e21e21)(f(j) = (+0)+ (- -0)五、尺度變換性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)(scaling transform property)if f (t) f(j) then where “a” is a nonzero real con

33、stant.proof: f f (a t ) =teatftjd)(for a 0 ,f f (a t ) d1e)(afajatajfa1for a 0 ,f f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajfa1that is ,f (a t ) ajfa|1also,letting a = - -1,f (- t ) f( - -j) ajfaatf|1)(for example 1given that f (t)f( j), find f (at b) ?ans: f (t b) e - -jb f( j)f (at b) ajfabaje|1orf (at) ajfa

34、|1f (at b) =)(abtafajfeabaj|1for example 2f(t) = f(j) = ?11jtans:11)(ejtt)(e211jt)(e211jtusing symmetry,using scaling property with a = - -1,so that,六、卷積性質(zhì)六、卷積性質(zhì)(convolution property)convolution in time domain：if f1(t) f1(j)， f2(t) f2(j)then f1(t)*f2(t) f1(j)f2(j)convolution in frequency domain：if f

35、1(t) f1(j)， f2(t) f2(j)then f1(t) f2(t) f1(j)*f2(j)21proof:d)()()(*)(2121tfftftf f f1(t)*f2(t) =dde)()(ded)()(2121ttffttfftjtjusing timeshiftingjtjjfttfe)(de)(22so that, f f1(t)*f2(t) =de)()(de)()(1221jjfjfjff= f1(j)f2(j)for example?)(sin2jfttans:)sa(2)(2tgusing symmetry,)(2)sa(22gt)()sa(2gt )(*)(2)

36、(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20f(j)2- -20七、時(shí)域的微分和積分七、時(shí)域的微分和積分(differentiation and integration in time domain)if f (t) f(j) then )()()()(jfjtfnnjjffxxft)()()0(d)(ttfjffd)()()0(0proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n f(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjffjfj)()()0()(1)(f(t)= 1/t2 ?for example 1ans:jt2)sgn()sg

37、n(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12tfor example 2given that f (t) f1(j)prooff (t) f1(j) + f(-)+ f() ( )j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjfjtttfjfjtttfftftproof)()()()(1)()(2)(1ffjfjfjfso)()()()(1)(1ffjfjjfsummary: if f (n)(t) fn(j)，and f(-)+ f() = 0 then f (t) f (j) = fn(j)/ (j)nfor example 3

38、f(t)2- -20t t2determine f (t) f (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)ans:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)f2(j)= f f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 f (j) =222)2cos(22)()(jjfnotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)八、頻域的微分和積分八、頻域的微分和積分(differentiation and integration in frequency domain)if f (t) f(j) then

39、(jt)n f (t) f(n)(j) xjxftfjttfd)()(1)()0(whered)(21)0(jfffor example 1determine f (t) = t(t) f (j)=?jt1)()(ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jttnotice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(its wrong. because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.for example 2determined)sin(aans:)sin(2)(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd)

40、sin(1)0(2aga2d)sin(0a九、帕斯瓦爾關(guān)系九、帕斯瓦爾關(guān)系(parsevals relation for aperiodic signals)d)(21d)(22jfttfeproofttftfttfed)()(d)(*2tjftftjdde)(21)(*dde)()(21*ttfjftjd| )(|21d)()(212*jfjfjf|f(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 單位頻率上的頻譜單位頻率上的頻譜 (能量密度譜能量密度譜）jsfor exampledetermine the energ

41、y of ttt5sin)997cos(2ans:)(5sin10gtt)997()997(5sin)997cos(21010ggttt10)1010(21d)(2ttfe十、奇偶性十、奇偶性(parity)if f(t) is real, thentttfjtttfttfjftjd)sin()(d)cos()(de)()(= r() + jx()()(| )(|22xrjf)()(arctan)(rxso that(1)r()= r() , x() = x () |f(j)| = |f( j)| , () = ()(2) if f(t) = f(-t) ,then x() = 0, f(j)

42、 = r() if f(t) = -f(-t) ,then r() = 0, f(j) = jx()4.6 4.6 能量譜和功率譜能量譜和功率譜 帕斯瓦爾帕斯瓦爾關(guān)關(guān)系系parsevals relation 能量譜能量譜 功率譜功率譜 能量譜和功率譜分析能量譜和功率譜分析d)(21d)(22jfttfettftfttfed)()(d)(2tjftftjdde)(21)(dde)()(21ttfjftjd)()(21jfjf證明：d| )(|21d)()(212*jfjfjf帕塞瓦爾能量關(guān)系例帕塞瓦爾能量關(guān)系例for exampledetermine the energy of ttt5sin)

43、997cos(2ans:)(5sin10gtt)997()997(5sin)997cos(21010ggttt10)1010(21d)(2ttfe二能量譜密度（能量譜）能量譜密度（能量譜） 定義定義能量譜能量譜指單位頻率的信號(hào)能量，記為指單位頻率的信號(hào)能量，記為e() ) 在在頻帶頻帶df內(nèi)信號(hào)的能量為內(nèi)信號(hào)的能量為e() df，因而信號(hào)，因而信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的在整個(gè)頻率范圍的總能量總能量d21dfe由由帕塞瓦爾關(guān)系帕塞瓦爾關(guān)系可得可得e()=|f(j)|2r() e()能量譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。能量譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。e()e()三、三、 功率譜 2 0

44、2 )()( ttttttftf令令)(j)(ttftf則則 )(tf的的平均功率平均功率為：為： d| )(j|lim21d)(1lim2t222tfttftptttt)(*)(1limd)()(1lim)(22tftftttftftrtttttttt 定義定義d21dfp功率譜功率譜指單位頻率的信號(hào)功率，記為指單位頻率的信號(hào)功率，記為p() ) 在在頻帶頻帶df內(nèi)信號(hào)的功率為內(nèi)信號(hào)的功率為p() df，因而信號(hào)，因而信號(hào)在整個(gè)頻率范圍的在整個(gè)頻率范圍的總功率總功率tft2t|)(j|limp()=因此因此r() p()功率有限信號(hào)的功率譜與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換。功率有限信號(hào)的功率譜與

45、自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換。 維納維納- -欣欽關(guān)系欣欽關(guān)系式式p()p()功率譜例功率譜例1求余弦信號(hào)求余弦信號(hào))cos()(1tetf 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。解：解：對(duì)此功率有限信號(hào)，由自相關(guān)函數(shù)的定義，有對(duì)此功率有限信號(hào)，由自相關(guān)函數(shù)的定義，有 12221212221111122211222cos2dcoscoslimdsinsincoscoscoslimdcoscoslimd1limetttetttttettttettftftrtttttttttttt求功率譜因?yàn)楣β视邢扌盘?hào)的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一因?yàn)楣β视邢扌盘?hào)的功率譜函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)傅里

46、葉變換, ,所以功率譜為所以功率譜為: : )()(2112 e de )( j rp() )四、能量譜和功率譜分析時(shí)域時(shí)域 tfthty*頻域頻域 jjjfhy tytftfyf的的能能量量譜譜密密度度為為 ，的的能能量量譜譜密密度度為為是是能能量量有有限限信信號(hào)號(hào)，假假定定 2fjf 2yjy因此因此 f2yjh顯然顯然 222jjjfhy物理意義物理意義：響應(yīng)的能譜等于激勵(lì)的能譜與：響應(yīng)的能譜等于激勵(lì)的能譜與|h(j)|2的乘積。的乘積。同樣，對(duì)功率信號(hào)有同樣，對(duì)功率信號(hào)有 py()= |h(j)|2 pf()4.7 4.7 周期信號(hào)傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換一

47、、正、余弦的傅里葉變換 12()由頻移特性得由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換ntjnntftfe)(22de)(1tttjntnttftfnntntjnntnfjfftf)(2)(e)(例例1：周期為：周期為t的單位沖激周期函數(shù)的單位沖激周期函數(shù) t(t)= mmtt)(tdtetftftttjnn1)(122解解：)()()(2)

48、(tnnttnnt(1)例例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。0- -11f(t)t t14- -4解解：周期信號(hào)：周期信號(hào)f(t)也可看作也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周的周期拓展。即期拓展。即f(t) = t(t)* f0(t) f(j) = () f0(j) nnjnf)()(0f(j) =nnnnnn)2()2sa()()sa(2本題本題 f0(t) = g2(t)sa(222t(2)(2)式與上頁(yè)式與上頁(yè)(1)式比較，得式比較，得)2(1)(200tnjftjnffn這也給出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法。這也給出求周期信號(hào)傅里

49、葉級(jí)數(shù)的另一種方法。4.8 lti4.8 lti系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。率的虛指數(shù)函數(shù)之和。ntjnnftfe)(對(duì)周期信號(hào)：對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：de)(21)(tjjftf其其基本信號(hào)基本信號(hào)為為 ej t一、基本信號(hào)一、基本信號(hào)ej t作用于作用于lti系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)說(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)檎f(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)?，)，而，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為響應(yīng)，

50、常寫為y(t)。 設(shè)設(shè)lti系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率，當(dāng)激勵(lì)是角頻率的基的基本信號(hào)本信號(hào)ej t時(shí)，其響應(yīng)時(shí)，其響應(yīng) tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式積分而上式積分 正好是正好是h(t)的傅里葉變換，的傅里葉變換，記為記為h(j )，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。de)(jhy(t) = h(j ) ej th(j )反映了響應(yīng)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t二、一般信號(hào)二、一般信號(hào)f(t)作用于作用于lti系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)ej th(j ) ej t21f(j ) e

51、j t d 21f(j )h(j ) ej t d 齊次齊次性性de)(21tjjfde)()(21tjjfjh可加可加性性f(t)y(t) =f 1f(j )h(j ) y(j ) = f(j )h(j )lti* h(t) =傅傅氏氏 變變換換傅傅氏氏 反反變變換換f (t)傅傅氏氏 變變換換y(t)f(j)h(j)y(j)頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)h(j )可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換換y(j )與激勵(lì)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換f(j )之比，即之比，即 )()()(jfjyjh)()()()()()()(fyjjejfjyejhjh h(j )

52、稱為稱為幅頻特性幅頻特性（或（或幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)）；）；( ) )稱為稱為相相頻特性頻特性（或（或相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)）。）。 h(j ) 是是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，( )是是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 頻域分析法步驟：頻域分析法步驟：傅里葉變換法傅里葉變換法對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)法。對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)法。周期信號(hào)周期信號(hào)ntjnntftfe)(ntjnnntjnntjnhfthftfthtye)(e*)()(*)()(若若10)cos(2)(nnnttnaatf)()()(jejhjh則可推導(dǎo)出則可推導(dǎo)出10)(cos| )(|)0(2)(nnnntnjnhahaty例例：某：某lti系

53、統(tǒng)的系統(tǒng)的 h(j ) 和和( ) )如圖，如圖，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。，求系統(tǒng)的響應(yīng)。|h(j)|()10- -1001- -解法一解法一：用傅里葉變換：用傅里葉變換f(j ) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)y(j ) = f(j )h(j ) = 4() h(0) + 4(5) h(j5 5) + (+5) h(-j5 5)+ 4(10) h(j1010) + (+10) h(-j1010) h(j )= = h(j ) ejej( ( ) )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+

54、 5) y(t) = f-1y(j ) = 2 + 2sin(5t)解法二解法二：用三角傅里葉級(jí)數(shù)：用三角傅里葉級(jí)數(shù)f(t)的基波角頻率的基波角頻率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)h(0) =1， h(j) = 0.5e-j0.5， h(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t)三、頻率響應(yīng)三、頻率響應(yīng)h(jh(j ) )的求法的求法1. h(j ) = f h(t) 2. h(j ) = y(j )/f(j )(1)由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。(2

55、)由電路直接求出。由電路直接求出。 例例1：某系統(tǒng)的微分方程為：某系統(tǒng)的微分方程為 y (t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e-t(t)時(shí)的響應(yīng)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解解：微分方程兩邊取傅里葉變換：微分方程兩邊取傅里葉變換j y(j ) + 2y(j ) = f(j ) 21)()()(jjfjyjhf(t) = e-t(t)11)(jjfy(j ) = h(j )f(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 例例2：如圖電路，：如圖電路，r=1，c=1f，以，以u(píng)c(t)為輸出，求其為輸出，求其h(t)。uc(t)us(t)cr解解

56、：畫電路頻域模型：畫電路頻域模型us(j)ruc(j)cj11111)()()(jcjrcjjujujhsch(t)= e- -t (t) 四、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波四、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類：一類是系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類：一類是信號(hào)的信號(hào)的傳輸傳輸，一類是，一類是濾波濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。 1、無(wú)失真?zhèn)鬏?、無(wú)失真?zhèn)鬏?（1）定義定義：信號(hào)：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏敓o(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與是指系統(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有輸入信號(hào)相

57、比，只有幅度的大小幅度的大小和和出現(xiàn)時(shí)間的先后不出現(xiàn)時(shí)間的先后不同同，而沒(méi)有波形上的變化。即，而沒(méi)有波形上的變化。即 輸入信號(hào)為輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘?hào)應(yīng)為，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘?hào)應(yīng)為 y(t) = k f(ttd) 其頻譜關(guān)系為其頻譜關(guān)系為 y(j )=ke j tdf(j ) 系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)h(t)，h(j )的要求是：的要求是： (a)對(duì)對(duì)h(t)的要求的要求： h(t)=k (t td) (b)對(duì)對(duì)h(j )的要求的要求： h(j )=y(j )/f(j )=ke- -j td即即 h(j ) =k ,( )= td

58、k|h(j)| ()0 0 上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)纳鲜鍪切盘?hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐肜硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶條件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)時(shí)，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、寬的信號(hào)時(shí)，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。相頻特性滿足以上條件即可。 (2)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：2、理想低通濾波器、理想低通濾波器 1|h(j)| ()0 0c c- -c c具有如圖所示幅頻、相頻特性具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器理想低通濾波器。 c稱為截止角頻率。稱為截止角頻率。 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：可寫為： dcdt

59、jcctjgjhe)(, 0,e)(2(1)沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) h(t)= - -1g 2 c( )e)e-j-j t td d =)(sadcctt 可見(jiàn)，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。可見(jiàn)，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。(2)階躍響應(yīng)階躍響應(yīng) g(t)=h(t)* (t)= d)()(sind)(dcdctcttth經(jīng)推導(dǎo)，可得經(jīng)推導(dǎo)，可得)(0sin121)(dcttdxxxtgxxxyydsin)si(0稱為正弦積分稱為正弦積分)(si121)(dctttg1t td dcdtg(t)0 0t t特點(diǎn)特點(diǎn)：有明顯失真，只要：有明顯失真，只要 c，則必有振蕩，其過(guò)沖，則必有振蕩，其過(guò)沖

60、比穩(wěn)態(tài)值高約比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截?cái)嘈?yīng)引起的振蕩現(xiàn)。這一由頻率截?cái)嘈?yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為象稱為吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+si()/=1.08953、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件、物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件 就就時(shí)域特性時(shí)域特性而言，一個(gè)而言，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖，其沖激響應(yīng)在激響應(yīng)在t0時(shí)必須為時(shí)必須為0，即，即 h(t)=0 ,t0 即即 響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)響應(yīng)不應(yīng)在激勵(lì)作用之前出現(xiàn)。 就就頻域特性頻域特性來(lái)說(shuō)，佩利（來(lái)說(shuō)，佩利（paley)和維納（和維納（wiener)證證明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足明了物理可實(shí)現(xiàn)的幅頻特性必須滿足 djh2)(