高等數(shù)學(xué)課件：第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2

1、 3.1 3.1 微分中值定理微分中值定理 3.2 3.2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 3.3 3.3 泰勒公式泰勒公式與函數(shù)的高階多項(xiàng)式逼近與函數(shù)的高階多項(xiàng)式逼近 3.4 3.4 函數(shù)的單調(diào)性與凸性函數(shù)的單調(diào)性與凸性 3.5 3.5 函數(shù)的極值與最值的求法函數(shù)的極值與最值的求法 3.6 3.6 弧微分弧微分 曲率曲率 函數(shù)作圖函數(shù)作圖 )()(0 xfxf )()()()()(000 xfxfxUxxUxfo 內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn))( 小小)( 小小0 x0 x統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .定義

2、定義oxy)(xfy ，值值點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極大大在在則則稱稱函函數(shù)數(shù))()(00 xfxxf.)(0值值點(diǎn)點(diǎn)的的極極大大稱稱為為xfx)()(.0)()()(000 xfxxfxxf處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在處處取取得得極極值值且且在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定理定理1 1),16651601,Fermat(定定理理法法國國費(fèi)費(fèi)爾爾馬馬 00)(xxf的的根根把把方方程程 的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為)(xf.或或臨臨界界點(diǎn)點(diǎn)或或穩(wěn)穩(wěn)定定點(diǎn)點(diǎn)）（0)(0 xf：費(fèi)費(fèi)爾爾馬馬定定理理的的幾幾何何意意義義是是函函數(shù)數(shù)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)，且且處處存存在在切切線線，在在點(diǎn)點(diǎn)若若曲曲線線000)(,()(xxfxxfy .此此切

3、切線線必必為為水水平平切切線線oxy0 x0 x)(xfy 則則證證,)(0處處取取極極大大值值在在不不妨妨設(shè)設(shè)xxf, ),(0 xUx ,0)()(0 xfxf即即有有),(00 xxx 00)()(xxxfxf ,0 有有),(00 xxx00)()(xxxfxf .0 質(zhì)質(zhì)，處處可可導(dǎo)導(dǎo)及及極極限限不不等等式式性性在在由由0)(xxf00)()(lim0 xxxfxfxx ,0 )(0 xf )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx ,0 )(0 xf )(0 xf.0)(0 xf故故, )()(0 xfxf 有有證畢證畢定理定理2 2),17191652,Rolle(中中值

4、值定定理理法法國國洛洛爾爾 .0)(),(),()(),(,)( fbabfafbabaxf使使則則至至少少內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在上上連連續(xù)續(xù)在在若若幾何解釋幾何解釋: :端端點(diǎn)點(diǎn)的的高高度度相相等等，軸軸的的切切線線，曲曲線線的的兩兩個(gè)個(gè)于于外外每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都存存在在不不垂垂直直除除端端點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上的的在在xxfyba)(, abxyo)(xfy 則則至至少少處處的的切切線線平平行行曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn))(,( f使使),(ba .軸軸于于 x1 2 )(,(11 f證證只只須須證證明明：應(yīng)應(yīng)用用費(fèi)費(fèi)爾爾馬馬定定理理，.),()( 存存在在一一個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)至至少少在在函函數(shù)數(shù)b

5、axf,連連續(xù)續(xù)在在由由baf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值,)1(mM 若若為為常常值值函函數(shù)數(shù)，則則)(xf，有有0)( xf),(bax ；使使0)( f，若若mM )2(),()(bfaf 至至少少和和則則mM，內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)都都可可取取作作即即 ),(ba，有有一一個(gè)個(gè)不不在在端端點(diǎn)點(diǎn)上上取取得得),(afM 不妨設(shè)不妨設(shè))(xf是是顯顯然然 ，的的極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)由由費(fèi)費(fèi)爾爾馬馬定定理理，.0)( f，使使則則必必Mf )( ),(ba 證畢證畢注意注意:例如例如:,xy 連連續(xù)續(xù)，在在1 , 1 . 0)(1)(-1 f使使內(nèi)內(nèi)不不存存在在，但但在在 . 121,

6、211,)(2xxxxxf又如又如:洛爾定理的條件僅為充分條件，非必要洛爾定理的條件僅為充分條件，非必要條件條件 .內(nèi)內(nèi)不不可可導(dǎo)導(dǎo)，在在)1 , 1( ,)1()1(ff yox1 1 21)(xfy ,條條件件顯顯然然不不滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的.0)(1)(-10 f使使，但但存存在在abxoy)(xfy AB abafbf )()( )( f定理定理3 3),18131736,Lagrange(法國法國拉格朗日拉格朗日 中中值值定定理理,)(上上連連續(xù)續(xù)在在若若baxf內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在),(ba使使則則至至少少),(ba 幾何解釋幾何解釋: :，軸軸的的切切線線垂垂直直于于端端點(diǎn)

7、點(diǎn)外外每每一一點(diǎn)點(diǎn)都都存存在在不不除除的的連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上在在xxfyba)(, .行行于于兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)的的連連線線則則至至少少存存在在一一條條切切線線平平拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式)()(afbf ab 證證使使要要證證),(ba ,)()()(abafbff ,0)()()( abafbff 即即)(xF只只要要找找到到函函數(shù)數(shù),)()()()(abafbffF 使使.)(可可滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的條條件件即即且且xF,)()()()(xabafbfxfxF ,)()()()(abafbfxfxF 則則,)(上上連連續(xù)續(xù)在在由由baxf內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在),(ba內(nèi)內(nèi)可

8、可導(dǎo)導(dǎo)，在在上上連連續(xù)續(xù)在在顯顯然然，),(,)(babaxF作輔助函數(shù)作輔助函數(shù):aabafbfafaF )()()()(abbafabf )()(babafbfbfbF )()()()(abbafabf )()(,)()(bFaF 即即根根據(jù)據(jù)洛洛爾爾定定理理，使使0)(),( Fba,)()()()(xabafbfxfxF .)()()(abafbff 即即證畢證畢考察輔助函數(shù)考察輔助函數(shù):abxoy)(xfy AB xabafbf )()( )(xF)(xf)(aF)(bF 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在上上連連續(xù)續(xù)在在),(,)(babaxF.)(的的條條件件滿滿足足洛洛爾爾定定理理xF一一般般

9、地地，作輔助函數(shù)作輔助函數(shù): )(xF)(xf的的直直線線的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo) AB平平行行于于線線段段.)(滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的條條件件則則xFabxoy)(xfy AB 例例如如，：取取線線段段 AB )(xF)(xf y)()()()(afaxabafbf 輔助函數(shù)輔助函數(shù):)()()()(afaxabafbf ,0)()( bFaF)(xFy .)(滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的條條件件顯顯然然，xF.)()(bfaf ),()()()(abfafbf .之之間間與與介介于于其其中中ba ),()()()(ababafafbf 或或.10 ,)()()(hhafafhaf 或或,)(

10、)()(xxxfxfxxf 或或其其它它形形式式：,)()()(abafbff .之之間間與與介介于于其其中中ba Lagrange中值定理中值定理般般一一Rolle中值定理中值定理特特殊殊推論推論1 1, 0)(,)( xfIxIxf且且上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)間間若若.)(,（常常數(shù)數(shù)）有有則則CxfIx 證證,0IxIx 及及（固固定定）取取點(diǎn)點(diǎn)上上應(yīng)應(yīng)用用拉拉氏氏中中值值定定理理，或或在在,00 xxxx,)()()(00 xxfxfxf .0之之間間與與介介于于其其中中xx ，由由已已知知0)( f)()(0 xfxf ),(常常數(shù)數(shù)C .)(,（常常數(shù)數(shù)）有有即即CxfIx 證畢證畢推

11、論推論2 2,)()(,)()(xgxfIxIxgxf 且且上上都都可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)間間和和若若.)()()(,常常數(shù)數(shù)則則CxgxfIx 證證 )()(, xgxfIx,0)()( xgxf，由由推推論論 1，Cxgxf )()(.)()(Cxgxf 即即證畢證畢定理定理4 4）（柯柯西西中中值值定定理理在在與與若若)()(xgxf上上連連續(xù)續(xù)，,ba,0)(),( xgba內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，并并且且在在使使則則至至少少),(ba .)()()()()()(agbgafbfgf Cauchy中值定理中值定理Lagrange中值定理中值定理xxg )(若若Cauchy中值定理中值定理Lagrang

12、e中值定理中值定理Rolle中值定理中值定理特特例例特特例例推推廣廣推推廣廣證證,0)()(: agbg首首先先證證明明用用反反證證法法，,0)()( agbg假假設(shè)設(shè),)()(agbg 即即根根據(jù)據(jù)洛洛爾爾定定理理，.0)(),( gba使使這這與與已已知知條條件件”“0)(),( xgbax.矛矛盾盾,)()()()()()()(xgagbgafbfxfxF 令令滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的條條件件，不不難難驗(yàn)驗(yàn)證證)(xF，使使0)(),( Fba.)()()()()()(agbgafbfgf 即即所所以以，方法方法1證畢證畢方法方法2使使要要證證),(ba ，)()()()()()(a

13、gbgafbfgf 使使即即要要證證),(ba ,0)()()()()()( gafbffagbg令令),()()()()()()(xgafbfxfagbgx 滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的條條件件，不不難難驗(yàn)驗(yàn)證證)(x ，使使0)(),( ba.)()()()()()(agbgafbfgf 即即所所以以，?如如下下證證明明對對嗎嗎,二二式式相相除除中中值值定定理理?xiàng)l條件件，上上都都滿滿足足在在與與Lagrangebaxgxf,)()(思思考考：)()()(),(abfafbfba 使使得得)()()(),(abgagbgba 使使得得,),(使使得得ba )()()()()()(abgabf

14、agbgafbf .)()( gf 例例1 1.), 1 , 0(,)1 , 0(0, 0132:2210210為為常常數(shù)數(shù)其其中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根內(nèi)內(nèi)在在則則方方程程若若證證明明niaxaxaxaanaaaainnn )(xf令令證證,0)0(, f顯顯然然,0)1(, f由由已已知知根根據(jù)據(jù)洛洛爾爾定定理理，.0)()1 , 0( f使使至至少少.)1 , 0(02210至至少少有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根內(nèi)內(nèi)在在即即方方程程 nnxaxaxaa，nnxaxaxaaxf 2210)(xa0212xa 323xa ,11 nnxna例例2 2,1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)xf內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)

15、導(dǎo)，在在)1 , 0(使使得得)1 , 0( 證證明明：對對于于點(diǎn)點(diǎn)且且),1 , 0(, 0)1()0(0 xff.)()(0 xff 證證,)()()(0 xxfxfxF 令令內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，連連續(xù)續(xù)，在在在在由由題題設(shè)設(shè)知知)1 , 0(1 , 0)(xF0)()0()0(0 xffF1)()1()1(0 xffF, 0 ),(0 xf ) i (, 0)(0 xf若若,0)1( F則則根根據(jù)據(jù)洛洛爾爾定定理理，,0)()1 , 0( F使使,0)()(0 xff 即即.)()(0 xff 亦亦即即47P練練習(xí)習(xí)冊冊12習(xí)習(xí)題題)ii(, 0)(0 xf若若0000)()()(xxfxfx

16、F 則則)1)(00 xxf ),1 , 0(0 x由由)1)()1()(0020 xxfFxF ,)()1(0 xfF 又又,010 x,0 上上應(yīng)應(yīng)用用零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理，在在函函數(shù)數(shù)1 ,)(0 xxF,0)()1 ,(0 Fx使使, 0)0( F又又滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的條條件件，在在從從而而1 , 0, 0)( xF,0)()1 , 0(), 0( F使使.)()(0 xff 即即,)()()(0 xxfxfxF 證證;0)()1 , 0(11 F使使則則滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的條條件件，在在顯顯然然，1 , 0)(xF,)()(3)(32xfxxfxxF 由由,)()(6)

17、(6)(32xfxxfxxxfxF ,0)0( F滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的條條件件，在在, 0)(1 xF 使使則則)1 , 0(), 0(12 ;0)(2 F,0)0( F滿滿足足洛洛爾爾定定理理的的條條件件，在在, 0)(2 xF 使使故故)1 , 0(), 0(2 .0)( F例例3 3,1 ,0)(上上存存在在三三階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在證證明明：若若xf則則至至少少，設(shè)設(shè)且且)()(,0)1()0(3xfxxFff .0)()1 ,0( F使使例例4 4.)1ln(1, 0:xxxxx 有有證證明明證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(, 0上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在

18、在xxfx )0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111 , 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即型型不不定定式式及及一一 00.定義定義.0)(lim0)(lim)()(00 xgxfxxxxxx，如如果果.)(lim,)(lim)()(00 xgxfxxxxxx或或.)()(lim)(0在在可可能能存存在在、也也可可能能不不存存則則極極限限xgxfxxx .00型型不不定定式式通通常常把把這這種種極極限限稱稱為為 或或.,17041661,HospitalL法法國國數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家家）洛洛必

19、必達(dá)達(dá)（ )( 例如例如:xxxtanlim0)00(320limxxxx ,1 ,不存在不存在 xxxlnlim31lim5 xxx,0 .不存在不存在 洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則：.00型型不不定定式式極極限限的的方方法法或或利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 ;0)()()(,)()2(00 xgxgxfxU都都存存在在且且及及內(nèi)內(nèi)在在定理定理1;0)(lim)(lim)1(00 xgxfxxxx若若）（洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則 );()()(lim)3(0 有有限限或或lxgxfxx).()()(lim)()(lim00 有有限限或或則則lxgxfxgxfxxxx.,00則則仍仍然然成成立立相相應(yīng)應(yīng)條條件件滿

20、滿足足時(shí)時(shí)，該該法法對對其其它它五五種種函函數(shù)數(shù)極極限限 xxxx證明略證明略. )()()(lim)()(lim)()(lim 有限或有限或lxgxfxgxfxgxf,)()(lim,)()(lim,)()(limxgxfxgxfxgxf 一一般般地地，若若法法則則，即即則則可可以以繼繼續(xù)續(xù)使使用用洛洛必必達(dá)達(dá).)()(lim）（有有限限或或 lxgxf型型，而而00仍仍屬屬如如果果)()(xgxf 皆皆是是)()(lim)1()1(xgxfnn 00型型，而而.)()(lim)()(）（有有限限或或 lxgxfnn )()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxf則則.)

21、()(lim)()(lxgxfnn 定理定理2;)(lim)(lim)1(00 xgxfxxxx，;0)()()(,)()2(00 xgxgxfxU都都存存在在且且及及內(nèi)內(nèi)在在）（洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則 若若);()()(lim)3(0 有有限限或或lxgxfxx).()()(lim)()(lim00 有有限限或或則則lxgxfxgxfxxxx.,.;,1000也也可可配配合合交交替替聯(lián)聯(lián)用用與與法法則則法法則則當(dāng)當(dāng)然然可可以以多多次次使使用用條條件件時(shí)時(shí)，洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則滿滿足足相相應(yīng)應(yīng)有有類類似似的的結(jié)結(jié)果果換換成成一一樣樣，可可把把和和定定理理 xxxxxxxxx證明略證明略例例1 1

22、xxx2tancos1lim 求求)(tan)cos1(lim2 xxx xxxx2sectan2sinlim .21 例例2 2123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx266lim1 xxx.23 )00()00(2coslim3xx )00()00(例例3 3xxx1arctan2lim 求求221)1(1limxxx 221limxxx . 1 例例4 4)0, 0(sinlnsinlnlim0 babxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 . 1 )00()( axbxxcoscoslim0 axbbxaxsinsinlim0

23、)( )00(例例5 5xxx3tantanlim2 求求xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( xxxsin3sin3lim2 xxxxxxcos3coslimsin3sinlim22 或或)00()00(xxxcos3coslim2 )00(. 3 注意：洛必達(dá)法則是求不定式極限的一種有效方注意：洛必達(dá)法則是求不定式極限的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例

24、6 6.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 2203tanlimxxx 22031seclimxxx .31 )00()00()00(2203limxxx )0(lnlim)1 xxx求求11lim xxx xx1lim )( 例例7 7 .0 )1,0(lim)2 aaxxx 求求)( aaxxxlnlim1 ,10 ,0.1 ， nnNn 1,1使使，總，總對對),0( n 有有次次直到第直到第逐次應(yīng)用洛必達(dá)法則逐次應(yīng)用洛必達(dá)法則,n xxax limaaxxxlnlim1 aaxnnxnxln)1()1(lim .0 aaxxx22ln)1(lim , 10

25、 a， 結(jié)結(jié)論論：時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x.)(ln xaxxx 記記為為：, x冪冪函函數(shù)數(shù)都都是是指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xa,ln x對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù),正正無無窮窮大大指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)增增長長這這三三個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)之之間間比比較較,.數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)增增長長最最慢慢最最快快，冪冪函函數(shù)數(shù)次次之之，對對 注注 意：意：洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則，才才能能直直接接用用.)()(lim)()(limlxgxfxgxf 才才有有,)()()(lim時(shí)時(shí)非非不不存存在在若若 xgxf則則不不能能推推出出：,)()()(lim 非非也也不不存存在在xgxf此此時(shí)時(shí)洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則失失效效！.須須找找其其他他方方法法,.1不不

26、定定式式極極限限或或只只有有00 lxgxf )()(lim并并且且當(dāng)當(dāng),)(時(shí)時(shí)有有限限或或 xxxxsin)1sin(lim:20例例如如)00( )(sin)1sin(lim20 xxxx但但xxxxcos)1sin(2lim0 )1cos(x.)( 非非不不存存在在則則不不能能斷斷定定：.sin)1sin(lim20也也不不存存在在xxxx,事事實(shí)實(shí)上上)1sinsin(lim0 xxxxx .0 此此時(shí)時(shí)洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則失失效效！xxxxsin)1sin(lim20 xxxxcoslim: 又如又如1sin1limxx ).sin1(limxx )cos11(limxxx . 1

27、 )( )()cos(lim xxxx但但！非非極極限限不不存存在在)( 則則不不能能斷斷定定：.coslim也也不不存存在在xxxx 事事實(shí)實(shí)上上，此此時(shí)時(shí)洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則失失效效！xxxxcoslim ），），不存在（非不存在（非若若 )()(lim)()(xgxfnn.11111lim22 xxxeexxxxxeeee lim例例如如：)( )( )( xxxxxeeee limxxxxxeeee lim ,.2次次時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則應(yīng)應(yīng)用用若若干干則則洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則失失效效！此此時(shí)時(shí)洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則失失效效！xxxxxeeee lim而而)( 沒沒有有結(jié)結(jié)果果！

28、00,1,0,0. ：其其它它不不定定式式二二例例8 1)8 1)xxex2lim 求求)0( 2limxxe . 對于其它類型的不定式對于其它類型的不定式, 不能直接應(yīng)用洛必達(dá)法則不能直接應(yīng)用洛必達(dá)法則,型型 0. 1步驟步驟:,10 .000100 或或2limxexx )( xexx2lim 00 必須先將它化為必須先將它化為 或或 型型, 再用洛必達(dá)法則再用洛必達(dá)法則!)( )0(lnlim)20 xxx)0( xxxln1lim0 )ln(lim20 xxx )00(xxxx210ln1lim xx0lim xxx1lnlim0 )( 101lim xxx. 0 )0(lnlim0

29、xxx)0( .更復(fù)雜更復(fù)雜比原式比原式例例9 9)1sin1(lim0 xxx 求求)( 21211111 通分通分xxxxxsinsinlim0 xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:20sinlimxxxx xxx2cos1lim0 21121111 00 通分通分xxxxxxsincoscossinlim0 2sinlim0 xx )00(. 0 )00()00(步驟步驟:型型00,1,0. 3 01ln0ln0eee.0 例例1010 xxx 0lim求求)0(0 xxxeln0lim xxxelnlim0 2011limexpxxx 0e . 1 x

30、xx1lnlimexp0 )(exp)(xfexf注：注：記作記作 0010 uvveuln)(limexp0 xx )( )0( 例例1111xxx 111lim求求)1( xxxeln111lim xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1212xxxln10)(cotlim 求求)(0 xxxln)ln(cotlimexp0 xxxx1sin1cot1limexp20 xxxxsincoslimexp0 .1 e 1111)1(1lim xxxxxxeln)ln(cot0lim )( )00(.1 e利用洛必達(dá)法則也可計(jì)算數(shù)列的不定式極限利用洛必達(dá)法則也可計(jì)算數(shù)列的不定式

31、極限.lxgxfx )()(lim出出若若用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則能能計(jì)計(jì)算算.)()()(lim 有有限限或或則則顯顯然然，有有l(wèi)ngnfn),( 有有限限或或因此，對于數(shù)列的不定式極限，可先轉(zhuǎn)因此，對于數(shù)列的不定式極限，可先轉(zhuǎn)化為函數(shù)的不定式極限化為函數(shù)的不定式極限 . 利用洛必達(dá)法則對利用洛必達(dá)法則對后者求極限，則前者的極限亦然后者求極限，則前者的極限亦然 .lim13nnn 計(jì)計(jì)算算極極限限例例xxxlim.1limlim xxnnxnxxx1lim )(0 xxxelnlim )lnlimexp(xxx )11limexp(xx ，10 e解解.lim1422nnen 計(jì)計(jì)算算極極限

32、限例例解解22limxxex )0( 22limxxex )( 222limxxxex 21limxxe ,0 .0limlim2222 xxnnexen小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 通通分分uvveuln 由由）泰泰勒勒（Taylor.,17311685英英國國 附近時(shí)，有附近時(shí)，有在在可微，則當(dāng)可微，則當(dāng)在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果00)(xxxxf問題的提出：問題的提出：)()()()(0000 xxoxxxfxfxf 的的線線性性近近似似f)(xL,)()(xLxf 所所產(chǎn)產(chǎn)生生的的誤誤差差是是：).(00 xxxx 高高階階的的無無窮窮小小比

33、比問題問題:)(xpn能能否否用用高高次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式)()()(:xPxfxRnn 使使誤誤差差.)(0階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)具具有有直直到到在在設(shè)設(shè)nxxf,)(xf 可可以以估估計(jì)計(jì)！辦法辦法:盡盡可可能能附附近近與與尋尋找找一一個(gè)個(gè)在在)(0 xfx:次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式接接近近的的 nnnnxxaxxaaxp)()()(0010 )(xpn怎怎樣樣構(gòu)構(gòu)造造很很接接近近！與與附附近近使使得得在在)()(0 xfxPxn？（如如何何確確定定它它的的系系數(shù)數(shù)）0 x)(xfy oxy分分析析)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的

34、切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 xnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 )(xpyn ), 2 , 1 , 0(nk )()(0)(0)(xfxpkkn 如果如果則則.)()(0附附近近有有較較高高的的接接近近程程度度在在與與xxfxPn，假設(shè)假設(shè))()(0)(0)(xfxpkkn ), 2 , 1 , 0(nk nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 ),(00 xfa ),(101xfa ),(! 202xfa ,. )(!0)(xfannn !)(0)(kxfakk ), 1

35、, 0(nk nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 惟惟一一確確定定！完完全全由由)()(xfxPn.)()(0次次泰泰勒勒多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的在在稱稱為為函函數(shù)數(shù)nxxfxPn定理定理1 1）（泰泰勒勒中中值值定定理理)()(0 xUxf在在若若函函數(shù)數(shù)，有有階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則具具有有直直到到)(10 xUxn 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf )()(!)(00)(xRxxnxfnnn ）（ 1拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 其其中中)(0之之間間與與介介于

36、于xx ）（ 1點(diǎn)點(diǎn)帶帶有有在在式式稱稱為為0)(xxf.泰泰勒勒公公式式拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)的的證明略證明略有有時(shí)時(shí)特特別別，當(dāng)當(dāng),00 x)10()!1()(!)0()(1)1(0)( nnknkkxnxfxkfxf稱稱為為帶帶有有拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)的的馬克勞林公式馬克勞林公式 . .注意注意: :即即時(shí)時(shí)）中中，當(dāng)當(dāng)在在（,01 n)()()(00 xxfxfxf )(0之之間間與與在在xx 也也稱稱為為含含有有高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的泰泰勒勒公公式式）（ 1.推推廣廣了了的的微微分分中中值值定定理理馬克勞林馬克勞林( Maclaurin,1698-1746( Maclau

37、rin,1698-1746，英國，英國 ) )，如如果果對對某某一一個(gè)個(gè)固固定定的的 n, 0 M10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn. 0)()(lim0 nnnxxxR.)()()1(0MxfxUxn 有有則則階階泰泰勒勒公公式式可可寫寫為為：表表達(dá)達(dá)式式時(shí)時(shí)，在在不不需需要要余余項(xiàng)項(xiàng)的的精精確確n. )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf .泰泰勒勒公公式式皮亞諾（皮亞諾（Peano,1858-1932,Peano,1858-1932,意大利）意大利）稱稱為為帶帶有有型余項(xiàng)型余項(xiàng)的的有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特特別別，,00 x.)(!)

38、0()(0)(nknkkxoxkfxf 馬克勞林公式馬克勞林公式 . .稱稱為為帶帶有有皮亞諾型皮亞諾型 余項(xiàng)余項(xiàng)的的解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe.cos)(2階階馬馬克克勞勞林林公公式式的的求求函函數(shù)數(shù)例例nxxf )2cos()0(),2cos()()()( nfnxxfnn , 1)0(,0)0(, 1)0(,0)0()4( ffff) 10()!22()222cos()!2() 1(! 4! 21cos22242 nnn

39、xnnxnxxxx)()!2()1(!4!21cos2242nnnxonxxxx 解解 常用函數(shù)的馬克勞林公式常用函數(shù)的馬克勞林公式);(!212nnxxonxxxe ;)()!12()1(!5!3sin121253 nnnxonxxxxx;)()!2()1(!4!21cos2242nnnxonxxxx )1()1ln(nx1)1(!)1( nnxn;)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx 馬克勞林公式馬克勞林公式 . .帶帶有有皮亞諾型皮亞諾型 余項(xiàng)余項(xiàng) 的的帶帶有有拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng)的的 馬克勞林公式馬克勞林公式 . . nkkkkxx11)1()1ln(.)1)(

40、1()1(11 nnnnx )0(之之間間與與介介于于x 2!2)1(1)1(xxx ;)(!)1()1(nnxoxnn )(R 2111xxx . )(nnxox 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(tan xf 0)(tan xf abBA 為為銳銳角角 為為鈍鈍角角 單單調(diào)調(diào)遞遞增增)(xf單單調(diào)調(diào)遞遞減減)(xf定理定理1 1，內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)，在在在在若若),(,)(babax

41、f，若若0)(),()1( xfbax則則;,)(上嚴(yán)格單調(diào)遞增在baxf，若若0)(),()2( xfbax則則;,)(上嚴(yán)格單調(diào)遞減在baxf0)(),()3( xfbax，若若;,)(上單調(diào)遞增在baxf0)(),()4( xfbax，若若.,)(上單調(diào)遞減在baxf證明略證明略注意：注意：的的逆逆命命題題不不成成立立，、 )2()1(例例如如，,),()(3上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增在在 xxf.0)0( f但但僅僅是是函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)遞遞增增導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)大大于于（或或小小于于）零零.并并非非必必要要條條件件（或或減減）的的充充分分條條件件，即即定理定理2 2，內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)，在在在在若若

42、),(,)(babaxf上嚴(yán)格單調(diào)遞增（減）在則,)(baxf 0)(),( xfbax) i ()ii(.0)(),( xfba內(nèi)內(nèi)的的任任何何子子區(qū)區(qū)間間上上在在,0)(）（ xf或或無無窮窮多多個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)，內(nèi)內(nèi)有有有有限限個(gè)個(gè)在在函函數(shù)數(shù)這這說說明明),()(:baxf但但只只要要這這些些駐駐點(diǎn)點(diǎn)不不充充滿滿的的任任何何子子區(qū)區(qū)間間，),(ba即即只只要要這這些些駐駐點(diǎn)點(diǎn)僅僅是是孤孤立立的的點(diǎn)點(diǎn)，.則則不不會(huì)會(huì)影影響響其其單單調(diào)調(diào)性性定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.利用導(dǎo)數(shù)求

43、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟：的的定定義義域域；確確定定)(.1xf確確定定可可能能的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)：求求,)(.2xf ；駐駐點(diǎn)點(diǎn)或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)間間；定定義義域域分分成成若若干干用用可可能能的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)把把函函數(shù)數(shù).3.)()(.4的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定，便便可可在在每每個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的符符號(hào)號(hào)判判斷斷xfxf 例例1 1解解.31292)(23的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx單調(diào)遞增區(qū)間為：單調(diào)遞

44、增區(qū)間為：， 1 ,(. 2 , 1 );, 2 00)1 ,()(xf )2 , 1()(xf), 2(x12列表討論：列表討論：單調(diào)遞減區(qū)間為：單調(diào)遞減區(qū)間為：3129223 xxxy例例2 2解解.)(32的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定函函數(shù)數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf,0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf.), 0)(上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增在在 xf時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)遞遞減減；在在0 ,()( xf32xy .導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在：不不等等式式的的單單調(diào)調(diào)性性可可以以證證明明有有關(guān)關(guān)利利用用函函數(shù)數(shù),)()(,xgxfax 時(shí)時(shí)

45、通通常常要要證證明明：當(dāng)當(dāng),0)()()( xgxfxF往往往往改改作作證證明明：,0)( aF如如果果,)(0)(axxF 就就先先證證：.0)()( aFxF由由此此斷斷定定，的的符符號(hào)號(hào)不不易易確確定定如如果果)(xF ：可可以以試試探探？是是否否成成立立0)( xF例例3 3.)1ln(,0 xxx 有有證明：證明：, )1ln()(xxxF 令令xxxF 1)(, )0( x上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增，在在), 0)( xF, 0)0( F時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)0()( FxF,0)1ln( xx即即證證0 . )1ln(, 0 xxx 有有亦即亦即例例4 4.)1ln()1(1,0

46、xxexx 有有證明：證明：),1ln()1(1)(xxexFx 令令證證, 0)0( F),0()1ln(1)( xxexFx, 0)0( FxexFx 11)(, 1, 0( xex)111 x而而,0 上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增，在在), 0)( xF時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)0()( FxF上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增，在在這這又又說說明明), 0)( xF，0 x, 0)0()( FxF.)1ln()1(1, 0 xxexx 有有即即問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy

47、1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC定義定義,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxf, ,21baxx 若若恒恒有有,2)()()2(2121xfxfxxf 的的，上上是是在在則則稱稱,)(baxf向向上上凸凸；簡簡稱稱上上凸凸當(dāng)當(dāng)?shù)鹊忍?hào)號(hào)不不成成立立時(shí)時(shí)，.,)(的的上上是是在在稱稱baxf嚴(yán)嚴(yán)格格上上凸凸)(xfy 1x2xxyo)(1xf.)(2xf221xx .)2(21xxf 2)()(21xfxf 幾何意義幾何意義: :上凸函數(shù)上凸函數(shù)曲線弧在曲線弧在的圖形的圖形:弦的上方弦的上方 .,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxf, ,21baxx 若若恒恒有有

48、,2)()()2(2121xfxfxxf 的的，上上是是在在則則稱稱,)(baxf向向下下凸凸當(dāng)當(dāng)?shù)鹊忍?hào)號(hào)不不成成立立時(shí)時(shí)，.,)(的的上上是是在在稱稱baxf嚴(yán)嚴(yán)格格下下凸凸)(xfy 1x2xxyo)(1xf.)(2xf221xx .)2(21xxf 2)()(21xfxf 幾何意義幾何意義: :下凸函數(shù)下凸函數(shù)曲線弧在曲線弧在的圖形的圖形:弦的下方弦的下方 .；或或簡簡稱稱下下凸凸凹凹,),()(可可導(dǎo)導(dǎo)在在若若baxf曲曲線線則則),(0bax .)(,()(00處處有有切切線線在在點(diǎn)點(diǎn)xfxxfy xyo0 x0 x,)(的的下下方方在在整整個(gè)個(gè)曲曲線線xfy 切切線線上上凸凸，)(

49、xf)(xfy )(xfy ,)(的的上上方方在在整整個(gè)個(gè)曲曲線線xfy 切切線線,)(下下凸凸xf既既可可以以看看成成上上線線性性函函數(shù)數(shù)baxxf )(,函函數(shù)數(shù)凸凸函函數(shù)數(shù)又又可可以以看看成成下下凸凸因因?yàn)闉閷λ匝?，中中的的等等?hào)號(hào)總總是是成成立立的的！定定義義定理定理 1 1),(,),(,)(baxbabaxf 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在如如果果,0)()1( xf,0)()2( xf.,)(是是下下凸凸函函數(shù)數(shù)在在則則baxf;,)(是是上上凸凸函函數(shù)數(shù)在在則則baxf證明略證明略例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 解解

50、,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y的的；凹凹為為下下凸凸在在曲曲線線)(), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線凸凸性性區(qū)區(qū)間間的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)注意注意:3xy o為為上上凸凸的的；在在曲曲線線0 ,( 定義定義 2在在其其上上一一點(diǎn)點(diǎn)如如果果曲曲線線)(xfy ,)(,(00的的兩兩側(cè)側(cè)有有不不同同的的凸凸性性xfxM則則稱稱.)()(,(00的的為為曲曲線線點(diǎn)點(diǎn)xfyxfxM 拐拐點(diǎn)點(diǎn)注意注意: 拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.2. 曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的拐點(diǎn)及其求法定理定理 2 2,),()(0內(nèi)內(nèi)二二階階可可

51、導(dǎo)導(dǎo)在在如如果果 xUxf的的的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線則則點(diǎn)點(diǎn))()(,(00 xfyxfx .0)(0 xf必必要要條條件件是是證明略證明略.2 的的逆逆命命題題不不成成立立定定理理,)(4xxf 例如：例如：,4)(3xxf ,12)(2xxf ，0)0( f.)()0 , 0(4的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)不不是是但但xxf 4xy o.)(點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)也也可可能能是是拐拐當(dāng)當(dāng)然然xf ,)(3xxf 例例如如：,92)(,31)(3532 xxfxxf,0)(無無解解 xf, 0)(0 xfx時(shí)時(shí)，但但當(dāng)當(dāng), 0)(0 xfx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng).)()0 , 0(3的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是即即xxf 3x

52、y o,)0(不不存存在在f , f, f:)(0 xxfy的的可可能能拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)曲曲線線 .)(0)(00不不存存在在或或xfxf 方法方法1:1:不不存存在在，或或且且內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(0)(,)()(0000 xfxfxUxf ,)()1(0變變號(hào)號(hào)兩兩近近旁旁若若xfx ;)()(,(00的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線則則點(diǎn)點(diǎn)xfyxfx ,)()2(0不不變變號(hào)號(hào)兩兩近近旁旁若若xfx .)()(,(00的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)不不是是曲曲線線則則點(diǎn)點(diǎn)xfyxfx 例例2 2.)1()(32的的凸凸性性及及拐拐點(diǎn)點(diǎn)討討論論xxxf 解解)0( x，令令0)( xf,

53、51 x得得不不存存在在，)0(f 343192910)( xxxf349)15(2xx )0( x31323235 xx3132)1(32)( xxxxf349)15(2)(xxxf x)51,( ), 0( )0 ,51( 51 0)(xf )(xf 0不不存存在在非拐點(diǎn)非拐點(diǎn))25156,51(3 拐拐點(diǎn)點(diǎn)列表討論：列表討論：.xyo151 .32)1(xxy .方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線是是則則而而且且的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)三三階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在若若xfyxfxxfxfxxf 證證000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 0)(l

54、im0 xxxfxx ),(0 xUo 由由極極限限的的局局部部保保號(hào)號(hào)性性，.)()(00同同號(hào)號(hào)與與使使得得xfxxxf , 0)(0 xf不妨設(shè)不妨設(shè), 000 xxxx0)( xf,)( xf, 000 xxxx0)( xf.)( xf.)()(,(00的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線xfyxfx 證畢證畢例例3 3.2 , 0cossin內(nèi)的拐點(diǎn)內(nèi)的拐點(diǎn)在在求曲線求曲線 xxy 解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令,431 x得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為：內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為：在在2 , 0 . )0,47(),0,

55、43( .472 x.)0,43( )0,47( xxycossin )()(0 xfxf )()()()()(000 xfxfxUxxUxfo 內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn))( 小小)( 小小0 x0 x統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .定義定義oxy)(xfy ，值值點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極大大在在則則稱稱函函數(shù)數(shù))()(00 xfxxf.)(0值值點(diǎn)點(diǎn)的的極極大大稱稱為為xfx)()(定理定理1 1 ( (可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件) )由由費(fèi)費(fèi)爾爾馬馬定定理理，點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)且且

56、取取得得極極值值在在若若函函數(shù)數(shù)0)(xxf，則則0)(0 xf.)(0的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)是是即即xfx注意：注意：.極極值值點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)卻卻不不一一定定是是例如例如,)(3xxf , 0)0( f.0 不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x3xy xyo.在在的的點(diǎn)點(diǎn)可可能能取取得得極極值值此此外外，函函數(shù)數(shù)在在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存,)(xxf 例如例如,不不存存在在，)0(f .0 點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極小小值值但但函函數(shù)數(shù)在在 xxyoxy 函數(shù)的可能極值點(diǎn)：函數(shù)的可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn) .結(jié)結(jié) 論論定理定理2 2( (極值的第一充分條件極值的第一充分條件) )，連連續(xù)續(xù)

57、在在設(shè)設(shè)0)(xxf，可可導(dǎo)導(dǎo)在在),(0 xU,)(0)(00不不存存在在或或xfxf )()1xf若若，當(dāng)當(dāng)),(00 xxx 0 ，當(dāng)當(dāng)),(00 xxx0 ;)()(00 xfxxf值值點(diǎn)點(diǎn)有有極極大大在在則則),0( ),0( )( 小小,),()()20不不變變號(hào)號(hào)在在若若 xUxf 0)(xxf在在則則.點(diǎn)點(diǎn)沒沒有有極極值值xyoxyo0 x0 x , 0)(0 xf兩兩側(cè)側(cè)的的符符號(hào)號(hào)不不同同，在在0)(xxf . )()(00 xfxxf點(diǎn)點(diǎn)有有極極值值在在)(0 xf ,不不存存在在xyo0 x xyo0 x xyoxyo0 x0 x , 0)(0 xf )(0 xf,不不

58、存存在在3)()(0 xxxf 兩兩側(cè)側(cè)的的符符號(hào)號(hào)不不變變，在在0)(xxf .)(0點(diǎn)點(diǎn)沒沒有有極極值值在在 xxfxyo0 x 證證,0)(,),()1(00 xfxxx ,)(00單單調(diào)調(diào)遞遞增增在在xxxf ;)()(),(000 xfxfxxx ,0)(),(00 xfxxx 又又,)(00單單調(diào)調(diào)遞遞減減在在 xxxf;)()(),(000 xfxfxxx .)()(),(00 xfxfxUx 故故.)()(00 xfxxf點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極大大值值在在即即.)2(同理可證同理可證證畢證畢例例1 1.)1()(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù)xxxf 解解,),( 函函數(shù)數(shù)的的定定

59、義義域域?yàn)闉?132)1(32)( xxxxf31325xx )0( x，令令0)( xf,52 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論：列表討論：不不存存在在，)0(f x)0 ,( ),52( )52, 0(052)(xf )(xf 不不存存在在0極極小小值值0極極大大值值325453 .xyo152.32)1(xxy 定理定理3 3 ( (第二充分條件第二充分條件) ),)(0二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)xxf，0)(0 xf0)(0 xf若若.)()(00 xfxxf值值點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極大大在在則則,)0( )( 小小證證，已已知知0)(0 xf，0)(0 xf由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義，000)()(lim)

60、(0 xxxfxfxfxx 0)(lim0 xxxfxx ,0 根根據(jù)據(jù)極極限限的的保保號(hào)號(hào)性性，),(,00 xUx .0)(0 xxxf有有,0)(0 xf且且,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx ,0)( xf時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 xx ,0)( xf，根根據(jù)據(jù)定定理理 2.)()(00 xfxxf點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極大大值值在在.0)(0的的情情形形同同理理可可證證 xf證畢證畢例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4(4)( fxxf取得極大