上海高二數(shù)學矩陣及其運算(有詳細答案)精品

1、 上海版高二上數(shù)學矩陣及其運算一初識矩陣（一）引入：引例1：已知向量，如果把的坐標排成一列，可簡記為；引例2：2008年北京奧運會獎牌榜前三位成績?nèi)缦卤恚邯勴?國家（地區(qū)）金牌銀牌銅牌中國512128美國363836俄羅斯232128 我們可將上表獎牌數(shù)簡記為：；引例3：將方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列，可簡記為；若將常數(shù)項增加進去，則可簡記為：。（二）矩陣的概念1、上述形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。2、在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由個行向量與個列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做

2、。有時矩陣也可用、等字母表示。3、矩陣中的每一個數(shù)叫做矩陣的元素，在一個階矩陣中的第（）行第（）列數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個數(shù)為。4、當一個矩陣中所有元素均為0時，我們稱這個矩陣為零矩陣。如為一個階零矩陣。5、當一個矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時，這個矩陣稱為方矩陣，簡稱方陣，一個方陣有行（列），可稱此方陣為階方陣，如矩陣、均為三階方陣。在一個階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對角線，如果其對角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。6、如果矩陣與矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么與叫做同階矩陣；如果矩陣與矩陣是同階矩陣，當且僅當它們對應(yīng)位

3、置的元素都相等時，那么矩陣與矩陣叫做相等的矩陣，記為。7、對于方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。（三）、應(yīng)用舉例：例1、下表是我國第一位奧運會射箭比賽金牌得主張娟娟與對手韓國選手樸成賢在決賽中的各階段成績表： 各階段姓名第1組第2組第3組第4組總成績張娟娟26272928110樸成賢29262628109（1）將兩人的成績各階段成績用矩陣表示；（2）寫出行向量、列向量，并指出其實際意義。例2、已知矩陣且，求、的值及矩陣。例3、寫出下列線性方程組的增廣矩陣：（1）； （2）例4、已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對應(yīng)的方程組：（1

4、） （2）例5、已知矩陣為單位矩陣，且，求的值。（四）、課堂練習：1、請根據(jù)游戲“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個階方陣（勝用1表示，輸用 表示，相同則為0）。2、奧運會足球比賽中國隊所在C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下： 中國平新西蘭11 巴西勝比利時10 中國負比利時02巴西勝新西蘭50 中國負巴西03 比利時勝新西蘭01（1）試用一個4階方陣表示這4個隊之間的凈勝球數(shù)；（以中國、巴西、比利時、新西蘭為順序排列）（2）若勝一場可得3分，平一場得1分，負一場得0分，試寫出一個4階方陣表示各隊的得分情況；（排列順序與（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根

5、據(jù)（1）、（2）兩個矩陣確定各隊名次。二、矩陣的三種基本變換（一）、復習引入：引例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對應(yīng)的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對應(yīng)線性方程組解的關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？（1） （2） （3）（4） （5） （6）（二）、矩陣的三種基本變換新課講解：通過上面練習，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個數(shù)加到另一行。 顯然，通過以上三個基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時增廣矩陣的最后一個列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價值1

6、32元，每公斤一元硬幣價值165元，現(xiàn)有總重量為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計462個，問其中一元與五角的硬幣分別有多少個？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”）例2、用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。例3、運用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）說明：（1）符合情況）時，方程組有唯一解，此時兩個線性方程所表示的直線相交； （2）符合情況）時，兩個線性方程所表示的直線平行，此時方程組無解； （3）符合情況）時，兩個線性方程所表示的直線重合，此時方程組有無窮多解。（四）、課堂練習：用矩陣變換方法解下列問題：（1）若方程組的解與相等，求的值。（2）有黑白兩種小球各若干個，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次

7、稱量的天平恰好平衡，如果每只砝碼質(zhì)量均為克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？第一次稱量第二次稱量（3）解方程組：三、矩陣運算 （對從實際問題中抽象出來的矩陣，我們經(jīng)常將幾個矩陣聯(lián)系起來，討論它們是否相等，它們在什么條件下可以進行何種運算，這些運算具有什么性質(zhì)等問題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容.） 1相等 定義 如果兩個矩陣，滿足： (1) 行、列數(shù)相同，即 ； (2) 對應(yīng)元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作 A = B （由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個mn矩陣相等，等價于元素之間的mn個等式.）例如，矩陣A

8、 =， B = 那么A = B，當且僅當a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因為B, C這兩個矩陣的列數(shù)不同，所以無論矩陣C中的元素c11, c12, c21, c22取什么數(shù)都不會與矩陣B相等.2加法定義2.3 設(shè)，是兩個mn矩陣，則稱矩陣C = 為A與B的和，記作C = A + B = （由定義2.3可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個矩陣，才能作加法運算.） 同樣，我們可以定義矩陣的減法：D = A - B = A + (-B ) =稱D為A與B的差.例1 設(shè)矩陣A =， B =，求A + B，A - B. 例2、矩

9、陣，若，求的值。 矩陣加法滿足的運算規(guī)則是什么？ 設(shè)A, B, C, O都是mn矩陣，不難驗證矩陣的加法滿足以下運算規(guī)則 1. 加法交換律： A + B = B + A； 2. 加法結(jié)合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩陣滿足： A + O = A； 4. 存在矩陣-A，滿足：A -A = A + (-A ) = O . 3數(shù)乘 定義2.4 設(shè)矩陣，為任意實數(shù)，則稱矩陣為數(shù)與矩陣A的數(shù)乘，其中，記為C =A （由定義2.4可知，數(shù)乘一個矩陣A，需要用數(shù)去乘矩陣A的每一個元素.特別地，當 = -1時，A = -A，得到A的負矩陣.） 例3 設(shè)矩陣A =，

10、用2去乘矩陣A，求2A. 數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)則是什么？ 對數(shù)k , l和矩陣A = ，B =滿足以下運算規(guī)則： 1. 數(shù)對矩陣的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩陣對數(shù)的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 數(shù)與矩陣的結(jié)合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 數(shù)1與矩陣滿足： 1A = A. 例4 設(shè)矩陣 A =，B =，求3A - 2B.例5給出二元一次方程組存在唯一解的條件。 4乘法 某地區(qū)甲、乙、丙三家商場同時銷售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣A表示各商場銷售這兩種家用電器的日平均銷售量（單位：臺），用

11、B表示兩種家用電器的單位售價（單位：千元）和單位利潤（單位：千元）： I II 單價 利潤III甲乙丙 A = B = 用矩陣C = 表示這三家商場銷售兩種家用電器的每日總收入和總利潤，那么C中的元素分別為總利潤總收 入 ， 即C = =其中，矩陣C中的第行第j列的元素是矩陣A 第行元素與矩陣B 第j列對應(yīng)元素的乘積之和. 矩陣乘積的定義 設(shè)A=是一個ms矩陣，B=是一個sn矩陣，則稱mn矩陣C =為矩陣A與B的乘積，記作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由矩陣乘積的

12、定義可知：） (1) 只有當左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)時，A, B才能作乘法運算AB； (2) 兩個矩陣的乘積AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)； (3) 乘積矩陣AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素與B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和，故簡稱行乘列的法則. 例6 設(shè)矩陣 A = ， B = ，計算AB. 例7 設(shè)矩陣 A = ，B =， 求AB和BA. 由例6、例7可知，當乘積矩陣AB有意義時，BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時，AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進行矩陣乘法時，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變.

13、在例6中矩陣A和B都是非零矩陣（AO, B O ）,但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個零矩陣（AB = O），即兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.因此，當AB = O，不能得出A和B中至少有一個是零矩陣的結(jié)論. 一般地，當乘積矩陣AB = AC，且AO時，不能消去矩陣A，而得到B = C.這說明矩陣乘法也不滿足消去律. 那么矩陣乘法滿足哪些運算規(guī)則呢？ 矩陣乘法滿足下列運算規(guī)則： 1. 乘法結(jié)合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 數(shù)乘結(jié)合律：k（AB）= （k A）B = A（k B

14、），其中k是一個常數(shù).例8：已知，矩陣，求。解：，這可以看作向量經(jīng)過矩陣變換為向量。變換后的向量與原向量關(guān)于直線對稱。練習：已知，矩陣，（1）求；（2）說明矩陣對向量產(chǎn)生了怎樣的變換。練習：計算下列矩陣的乘法（1）；（2）。 例9、已知矩陣，若A=BC，求函數(shù)在1,2 上的最小值.例10：將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式（1）；（2）。例11：若，矩陣就稱為與可變換，設(shè)，求所有與可交換的矩陣。例12、,求練習:設(shè)，求、，猜測并證明。5轉(zhuǎn)置 矩陣轉(zhuǎn)置的定義 把將一個mn矩陣A =的行和列按順序互換得到的nm矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作，即 = 由定義2.6可知，轉(zhuǎn)置矩陣的第行第j列的元素等于矩

15、陣A的第j行第列的元素，簡記為的（，j）元 = A的（j，）元 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算規(guī)則： 1. = A； 2. = +； 3. = k , ( k為實數(shù))； 4. =.高二數(shù)學講義第十八講（130812）課后作業(yè)（本試卷共19題，時間45分鐘，滿分100分）班級： 姓名： 一、選擇題(每小題4分,共15個小題,共60分)1、“兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個矩陣相等”的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件 D、既不充分又不必要條件2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組其中正確的是（ ）A、 B、C、 D、3、若，且，則矩陣_.4、點A（1，2）在矩陣對應(yīng)的變換作用

16、下得到的點的坐標是_5、已知是一個正三角形的三個頂點坐標所組成的矩陣，那么a+b= .6、若點A在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的點為（1，0），那么= .7、若點A在矩陣對應(yīng)的變換作用下下得到的點為（2，4），那么點A的坐標為 .8、已知，若A=B，那么+= .9、設(shè)A為二階矩陣，其元素滿足，i=1，2，j=1，2，且，那么矩陣 A= .10：，且，那么A+AB= 。 11、一個線性方程組滿足，系數(shù)矩陣為單位矩陣，解為1行3列的矩陣，那么該線性方程組為 。12、計算:若矩陣，則_.13、計算：= .14.線性方程組對應(yīng)的系數(shù)矩陣是_，增廣矩陣是_.15、已知矩陣，則_.二、簡答題1.已知，分別計算

17、，猜測；2.將下列線性方程組寫成矩陣形式，并用矩陣變換的方法求解:；.3.若，則_.4、已知矩陣，若A=BC，求函數(shù)在上的最小值. 老師講義2013年暑期高二數(shù)學講義第十八講（130812）矩陣及其運算一初識矩陣（一）引入：引例1：已知向量，如果把的坐標排成一列，可簡記為；引例2：2008年北京奧運會獎牌榜前三位成績?nèi)缦卤恚邯勴?國家（地區(qū)）金牌銀牌銅牌中國512128美國363836俄羅斯232128 我們可將上表獎牌數(shù)簡記為：；引例3：將方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列，可簡記為；若將常數(shù)項增加進去，則可簡記為：。（二）矩陣的概念1、上述形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。2、在矩陣中，水平

18、方向排列的數(shù)組成的向量稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由個行向量與個列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。有時矩陣也可用、等字母表示。3、矩陣中的每一個數(shù)叫做矩陣的元素，在一個階矩陣中的第（）行第（）列數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個數(shù)為。4、當一個矩陣中所有元素均為0時，我們稱這個矩陣為零矩陣。如為一個階零矩陣。5、當一個矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時，這個矩陣稱為方矩陣，簡稱方陣，一個方陣有行（列），可稱此方陣為階方陣，如矩陣、均為三階方陣。在一個階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對角線，如果其對角線的元素均為1，其余元素均

19、為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。6、如果矩陣與矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么與叫做同階矩陣；如果矩陣與矩陣是同階矩陣，當且僅當它們對應(yīng)位置的元素都相等時，那么矩陣與矩陣叫做相等的矩陣，記為。7、對于方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列所得的矩陣，我們叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。（三）、應(yīng)用舉例：例1、下表是我國第一位奧運會射箭比賽金牌得主張娟娟與對手韓國選手樸成賢在決賽中的各階段成績表： 各階段姓名第1組第2組第3組第4組總成績張娟娟26272928110樸成賢29262628109（1）將兩人的成績各階段成績用矩陣表示；（2）寫出行向

20、量、列向量，并指出其實際意義。解：（1）（2）有兩個行向量，分別為：， 它們分別表示兩位運動員在決賽各階段各自成績； 有五個列向量，分別為 它們分別表示兩位運動員在每一個階段的成績。例2、已知矩陣且，求、的值及矩陣。解：由題意知：解得：，又由解得：， 例3、寫出下列線性方程組的增廣矩陣：（1）； （2）解：（1）； （2）例4、已知線性方程組的增廣矩陣，寫出其對應(yīng)的方程組：（1） （2）解：（1） （2）例5、已知矩陣為單位矩陣，且，求的值。解：由單位矩陣定義可知：， 。（四）、課堂練習：1、請根據(jù)游戲“剪刀、石頭、布”的游戲規(guī)則，作出一個階方陣（勝用1表示，輸用 表示，相同則為0）。解：2、

21、奧運會足球比賽中國隊所在C組小組賽單循環(huán)比賽結(jié)果如下： 中國平新西蘭11 巴西勝比利時10 中國負比利時02巴西勝新西蘭50 中國負巴西03 比利時勝新西蘭01（1）試用一個4階方陣表示這4個隊之間的凈勝球數(shù)；（以中國、巴西、比利時、新西蘭為順序排列）（2）若勝一場可得3分，平一場得1分，負一場得0分，試寫出一個4階方陣表示各隊的得分情況；（排列順序與（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)（1）、（2）兩個矩陣確定各隊名次。解：（1）（2）（3）名次為巴西、比利時、中國、新西蘭。二、矩陣的三種基本變換（一）、復習引入：引例、根據(jù)下列增廣矩陣，寫出其對應(yīng)

22、的線性方程組，并分析這些增廣矩陣所對應(yīng)線性方程組解的關(guān)系，從中你能得到哪些啟發(fā)？（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：這些方程組為；。這些增廣矩陣所對應(yīng)的線性方程組的解都是相同的。（二）、矩陣的三種基本變換新課講解：通過上面練習，我們可以發(fā)現(xiàn)以下三個有關(guān)線性方程組的增廣矩陣的基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個數(shù)加到另一行。 顯然，通過以上三個基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時增廣矩陣的最后一個列向量給出了方程組的解。（三）、應(yīng)用舉例：例1、已知每公斤五角硬幣價值132元，每公斤一元硬幣價值165元，現(xiàn)有總重量

23、為兩公斤的硬幣，總數(shù)共計462個，問其中一元與五角的硬幣分別有多少個？（來自網(wǎng)上“新雞兔同籠問題”）解：設(shè)一元硬幣有個，五角硬幣有個，則根據(jù)題意可得：加到不變 則該方程組的增廣矩陣為，設(shè)、分別表示矩陣的第1、2行，對矩陣進行下列變換：不變不變 加到不變 由最后一個矩陣可知：答：一元硬幣有110個，五角硬幣有352個。例2、用矩陣變換的方法解三元一次方程組的解。解：此方程對應(yīng)的增廣矩陣為：設(shè)此矩陣第1、2、3行分別為、，對此矩陣進行下列變換：加到加到不變 、不變加到加到不變 加到加到不變、不變 交換、不變， 此方程組的解為說明：1、利用矩陣基本變換，將矩陣的每一個行向量所對應(yīng)的方程只有一個變量；

24、 2、在變換過程中，實際為加減消元的過程，此過程中應(yīng)根據(jù)數(shù)字的特點，運用適當?shù)某绦蜻M行化簡運算。例3、運用矩陣變換方法解方程組：（、為常數(shù)）加到不變解：此方程組對應(yīng)的增廣矩陣為：，設(shè)、分別表示此矩陣的第1、2行，對此矩陣進行下列變換： ）當，即時，以上矩陣可作如下變換：加到不變不變 不變 ，此時方程有唯一解；）當即時，若即時，方程組無解；）當即時且時，方程組有無窮多解，它們均符合。說明：（1）符合情況）時，方程組有唯一解，此時兩個線性方程所表示的直線相交； （2）符合情況）時，兩個線性方程所表示的直線平行，此時方程組無解； （3）符合情況）時，兩個線性方程所表示的直線重合，此時方程組有無窮多解

25、。（四）、課堂練習：用矩陣變換方法解下列問題：（1）若方程組的解與相等，求的值。解： 解得，由題意知：求得：。（2）有黑白兩種小球各若干個，且同色小球質(zhì)量均相等，在如下圖所示的兩次稱量的天平恰好平衡，如果每只砝碼質(zhì)量均為克，每只黑球和白球的質(zhì)量各是多少克？第一次稱量第二次稱量解：設(shè)黑球和白球的質(zhì)量各為、千克，則由題意知：通過矩陣變換解得：黑球每個3千克，白球每個1千克。（3）解方程組：解：即方程組的解為。三、矩陣運算 （對從實際問題中抽象出來的矩陣，我們經(jīng)常將幾個矩陣聯(lián)系起來，討論它們是否相等，它們在什么條件下可以進行何種運算，這些運算具有什么性質(zhì)等問題，這是下面所要討論的主要內(nèi)容.） 1相等

26、 定義 如果兩個矩陣，滿足： (1) 行、列數(shù)相同，即 ； (2) 對應(yīng)元素相等，即aij = bij (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作 A = B （由矩陣相等定義可知，用等式表示兩個mn矩陣相等，等價于元素之間的mn個等式.）例如，矩陣A =， B = 那么A = B，當且僅當a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4 而C = 因為B, C這兩個矩陣的列數(shù)不同，所以無論矩陣C中的元素c11, c12, c21, c22取什么數(shù)都不會與矩陣B相等.2加法定義2.3 設(shè)，是兩個mn矩

27、陣，則稱矩陣C = 為A與B的和，記作C = A + B = （由定義2.3可知，只有行數(shù)、列數(shù)分別相同的兩個矩陣，才能作加法運算.） 同樣，我們可以定義矩陣的減法：D = A - B = A + (-B ) =稱D為A與B的差. 例1 設(shè)矩陣A =， B =，求A + B，A - B. 解 ： A + B = + = = A - B = - =例2、矩陣，若，求的值。解：由A+B=C知：cos cos =tan + tan=-1;1-tan tan=7，知由于，知：從而,有;, 矩陣加法滿足的運算規(guī)則是什么？ 設(shè)A, B, C, O都是mn矩陣，不難驗證矩陣的加法滿足以下運算規(guī)則 1. 加法

28、交換律： A + B = B + A； 2. 加法結(jié)合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩陣滿足： A + O = A； 4. 存在矩陣-A，滿足：A -A = A + (-A ) = O . 3數(shù)乘 定義2.4 設(shè)矩陣，為任意實數(shù)，則稱矩陣為數(shù)與矩陣A的數(shù)乘，其中，記為C =A （由定義2.4可知，數(shù)乘一個矩陣A，需要用數(shù)去乘矩陣A的每一個元素.特別地，當 = -1時，A = -A，得到A的負矩陣.） 例3 設(shè)矩陣A =那么，用2去乘矩陣A，可以得到2A = 數(shù)乘矩陣滿足的運算規(guī)則是什么？ 對數(shù)k , l和矩陣A = ，B =滿足以下運算規(guī)則： 1.

29、數(shù)對矩陣的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩陣對數(shù)的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 數(shù)與矩陣的結(jié)合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 數(shù)1與矩陣滿足： 1A = A. 例4 設(shè)矩陣 A =，B =，求3A - 2B. 解 先做矩陣的數(shù)乘運算3A和2B，然后求矩陣3A與2B的差. 3A = 2B = 3A - 2B = -= 例5給出二元一次方程組存在唯一解的條件。解：原方程組可以表示成，其中是三個列向量，由平面分解定理可知，當向量不平行時，向量可表示成向量的線性組合，且系數(shù)唯一，那么對應(yīng)的方程組有存在唯

30、一解，即。 4乘法 某地區(qū)甲、乙、丙三家商場同時銷售兩種品牌的家用電器，如果用矩陣A表示各商場銷售這兩種家用電器的日平均銷售量（單位：臺），用B表示兩種家用電器的單位售價（單位：千元）和單位利潤（單位：千元）： I II 單價 利潤III甲乙丙 A = B = 用矩陣C = 表示這三家商場銷售兩種家用電器的每日總收入和總利潤，那么C中的元素分別為總利潤總收 入 ， 即C = =其中，矩陣C中的第行第j列的元素是矩陣A 第行元素與矩陣B 第j列對應(yīng)元素的乘積之和. 矩陣乘積的定義 設(shè)A=是一個ms矩陣，B=是一個sn矩陣，則稱mn矩陣C =為矩陣A與B的乘積，記作 C = AB.其中cij =

31、ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = (= 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ). （由矩陣乘積的定義可知：） (1) 只有當左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)時，A, B才能作乘法運算AB； (2) 兩個矩陣的乘積AB亦是矩陣，它的行數(shù)等于左矩陣A的行數(shù)，它的列數(shù)等于右矩陣B的列數(shù)； (3) 乘積矩陣AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素與B的第j列對應(yīng)元素的乘積之和，故簡稱行乘列的法則. 例6 設(shè)矩陣 A = ， B = ，計算AB. 解 AB = = = 在例6中，能否計算BA？ 由于矩陣B有2列，矩陣A有3行，B的列數(shù)A的行數(shù)，所以BA是無意

32、義的. 例7 設(shè)矩陣 A = ，B =， 求AB和BA. 解 AB = = = BA = = = 由例6、例7可知，當乘積矩陣AB有意義時，BA不一定有意義；即使乘積矩陣AB和BA有意義時，AB和BA也不一定相等.因此，矩陣乘法不滿足交換律，在以后進行矩陣乘法時，一定要注意乘法的次序，不能隨意改變. 在例6中矩陣A和B都是非零矩陣（AO, B O ）,但是矩陣A和B的乘積矩陣AB是一個零矩陣（AB = O），即兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.因此，當AB = O，不能得出A和B中至少有一個是零矩陣的結(jié)論. 一般地，當乘積矩陣AB = AC，且AO時，不能消去矩陣A，而得到B = C.這說明矩陣

33、乘法也不滿足消去律. 那么矩陣乘法滿足哪些運算規(guī)則呢？ 矩陣乘法滿足下列運算規(guī)則： 1. 乘法結(jié)合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 數(shù)乘結(jié)合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一個常數(shù).例8：已知，矩陣，求。解：，這可以看作向量經(jīng)過矩陣變換為向量。變換后的向量與原向量關(guān)于直線對稱。練習：已知，矩陣，（1）求；（2）說明矩陣對向量產(chǎn)生了怎樣的變換。練習：計算下列矩陣的乘法（1）；（2）。 解：略解（1）1行1列；（2）n行n列。例9、已知矩陣，若A=BC，求函數(shù)在1,2 上的最小值.解: BC=, 又 A=BC，x1,2 當a時，函數(shù)在1,2上的最小值為. 當1a2時，函數(shù)在1,2上的最小值為.當a1時，函數(shù)在1,2上的最小值為點評：（1）本題運用了行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則及兩個矩陣相等的充要條件；（2）求含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，通常需要分類討論. 例10：將下列線性方程組寫成矩陣乘法的形式（1）；（2）。解：（1）；（2）。例11：若，矩陣就稱為與可變換，設(shè)，求所有與可交換的矩陣。解：設(shè)與可交換的