含參變量的積分

1、§12.3 .含參變量的積分教學(xué)目的 掌握含參變量積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理，掌握含參變量正常積分的求導(dǎo)法則教學(xué)要求(1)了解含參變量積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明，熟練掌握含參變量正常積分的導(dǎo)數(shù)的計算公式(2)掌握含參變量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明一、含參變量的有限積分設(shè)二元函數(shù)在矩形域有定義，一元函數(shù)在可積，即積分存在.都對應(yīng)唯一一個確定的積分（值）.于是，積分是定義在區(qū)間的函數(shù)，表為稱為含參變量的有限積分，稱為參變量.定理1.若函數(shù)在矩形域連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間也連續(xù).說明：若函數(shù)滿足定理1的條件，積分與極限可以交換次序.定理2 .若函數(shù)與在矩形域連續(xù)

2、，則函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且，有 ，或 .簡稱積分號下可微分. 說明：若函數(shù)滿足定理2的條件，導(dǎo)數(shù)與積分可以交換次序.定理3 .若函數(shù)在矩形域連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間可積，且.簡稱積分號下可積分. 說明：若函數(shù)滿足定理3的條件，關(guān)于不同變數(shù)的積分可以交換次序.一般情況，含參變量的有限積分，除被積函數(shù)含有參變量外，積分上、下限也含有參變量，即.但，對應(yīng)唯一一個積分（值），它仍是區(qū)間的函數(shù)，設(shè) . 下面給出函數(shù)在區(qū)間的可微性.定理4.若函數(shù)與在矩形域連續(xù)，而函數(shù)與在區(qū)間可導(dǎo)，有，則函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且二、例（I）例1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：，暫時固定，使，顯然，被積函數(shù)與在矩形域都連續(xù)，根據(jù)定理2，有.因為使，所以

3、，有.例2 .求.解：，暫時固定，使，顯然，被積函數(shù)及其關(guān)于r的偏導(dǎo)數(shù)，即 與 在矩形區(qū)域連續(xù)，根據(jù)定理2 ，有=設(shè)（萬能換元），有=從而，.于是， （3）又有 .將在做連續(xù)開拓.令函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，對等式（3）等號兩端求不定積分，有.已知，有 .于是 ， .例3 .證明：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則函數(shù)是微分方程的解，并滿足條件.證明： 逐次應(yīng)用定理4，求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，有=，即函數(shù)是微分方程的解，顯然，當(dāng)時，.例4. 證明：若函數(shù)存在二階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)是弦振動方程的解.證明：根據(jù)定理4，有于是，即是弦振動方程的解例5 .求積分.解法一 應(yīng)用積分號下積分法.解： 函數(shù)的原函數(shù)不是初等函

4、數(shù)，函數(shù)在0與1沒定義，卻有極限 .將函數(shù)在0與1作連續(xù)開拓，即從而，函數(shù)在區(qū)間連續(xù).已知而函數(shù)在閉矩形域連續(xù)，根據(jù)定理3，有.解法二 應(yīng)用積分號下微分法.解： 設(shè) 根據(jù)定理2，有 .兩端求不定積分，有 令 ，有 ，即 于是， 令 ，有 三、含參變量的無窮積分設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義。，無窮積分都收斂，即都對應(yīng)唯一一個無窮積分（值）.于是，是區(qū)間的函數(shù)，表為 ，稱為含參變量的無窮積分，有時也簡稱無窮積分，是參變量.定義 設(shè)，無窮積分收斂，若有則稱無窮積分在區(qū)間I一致收斂。例6 .證明：無窮積分在區(qū)間a,b(a>0)一致收斂.證明：設(shè),求無窮積分（將u看做常數(shù)） 設(shè)有已知有使不等式成立，解得

5、。取于是，有即無窮積分在區(qū)間一致收斂.定理5 （柯西一致收斂準(zhǔn)則）無窮積分在區(qū)間I一致收斂，有.定理6 .若有 ，且無窮積分收斂，則無窮積分在區(qū)間一致收斂。例7. 證明：無窮積分在區(qū)間一致收斂證明： 有 已知無窮積分收斂，根據(jù)定理6，則無窮積分在區(qū)間一致收斂.例8.證明： 無窮積分在R一致收斂證明：，有.已知無窮積分，則無窮積分在R一致收斂。定理7 .若函數(shù)在區(qū)域(a>0)，連續(xù)且 在D有界，即，有則當(dāng)時，無窮積分 在區(qū)間I一致收斂.例9 .證明：無窮積分在區(qū)間一致收斂。證明： 因為有，所以0不是被積函數(shù)的瑕點，因此將被積函數(shù)在0作連續(xù)開拓。首先證明無窮積分在區(qū)間一致收斂由§7

6、.2例6 ，有,有于是，函數(shù)在區(qū)域D有界，根據(jù)定理7，無窮積分在區(qū)間一致收斂，再根據(jù)柯西一致收斂準(zhǔn)則，無窮積分在區(qū)間一致收斂.定理8. 若函數(shù)在區(qū)域，連續(xù)且無窮積分 在區(qū)間一致收斂。則函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。定理9 .若函數(shù)在區(qū)域，連續(xù)且無窮積分 在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間可積，且，即.簡稱積分號下可積分.定理10.若函數(shù)與在區(qū)域，連續(xù)且無窮積分 在區(qū)間收斂，而無窮積分在區(qū)間一致收斂，則函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo)，且即 .簡稱積分號下可微分.四、例（II）例10 .證明：證明： 將被積函數(shù)表積分，即-.已知有 而無窮積分收斂。根據(jù)定理6，無窮積分在區(qū)間一致收斂，根據(jù)定理9，交換積分次序，有例11. 求無窮積分解

7、：§12.1例11證明了無窮積分收斂（條件收斂）因為被積函數(shù)不存在初等函數(shù)的原函數(shù)，所以不能直接求這個無窮積分，為此在被積函數(shù)中引入一個收斂因子，討論無窮積分 顯然，。無窮積分（）的被積函數(shù)及其關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，即與在區(qū)域連續(xù)（連續(xù)開拓），已知無窮積分在區(qū)間一致收斂（見例），下面證明。，無窮積分在區(qū)間一致收斂，事實上有已知無窮積分收斂，由定理，無窮積分在區(qū)間一致收斂，根據(jù)定理10，有從而下面確定常數(shù)C，等式8都成立，有即，對等式（8）等號兩端取極限，有即或，于是.下面證明函數(shù)在右連續(xù)，事實上，已知無窮積分（7）在區(qū)間一致收斂，根據(jù)定理8，函數(shù)在在右連續(xù)，對等式（9）等號兩端取 極限,有 ，即 .于是 例12. 求無窮積分解：顯然，y=0時，=0當(dāng)，設(shè)由例11，有于是，例13 .求無窮積分解： 被積函數(shù)是偶函數(shù)，有由分布公式與例12，有五、函數(shù)和B函數(shù)（一） 函數(shù)函數(shù)稱為函數(shù)函數(shù)的兩個性質(zhì)：1、函數(shù)在區(qū)間連續(xù)2、遞推公式 有（二）函數(shù)函數(shù)稱為函數(shù)的性質(zhì)1.對稱性 2.遞推公式 有即3、事實上，設(shè)，有 （11）由公式（11），在下面有幾個簡單公式：，有 （12）在公式（12）中，令與，有 （13）在公式（13）中，令，有或 ，即六、例（III） 例14.求概率積分與.解：設(shè)有于是例15