剛體的定軸動(dòng)課件

1、第第5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 演示實(shí)驗(yàn)演示實(shí)驗(yàn)1、茹科夫斯基、茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅轉(zhuǎn)椅（和車輪和車輪）2、陀螺儀、陀螺儀3 、 質(zhì) 心 運(yùn) 動(dòng)、 質(zhì) 心 運(yùn) 動(dòng)（杠桿杠桿）4、不同質(zhì)量分、不同質(zhì)量分布的等質(zhì)量柱體布的等質(zhì)量柱體滾動(dòng)滾動(dòng)5、車輪進(jìn)動(dòng)、車輪進(jìn)動(dòng)一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒二、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能四、無滑動(dòng)滾動(dòng)四、無滑動(dòng)滾動(dòng) 瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸（補(bǔ)充）（補(bǔ)充）五、進(jìn)動(dòng)五、進(jìn)動(dòng)目目 錄錄一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 zo miri zzzzjtjtlm dddd,2iiizrmj zzj

2、l mrjzd2 :zm外力矩沿外力矩沿z軸分量的代數(shù)和軸分量的代數(shù)和剛體沿剛體沿z軸的角動(dòng)量軸的角動(dòng)量:zl剛體對(duì)剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:zj2、適用于轉(zhuǎn)軸固定于、適用于轉(zhuǎn)軸固定于慣性系慣性系中的情況。中的情況。3、對(duì)于轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心的情況，如果質(zhì)心有加速對(duì)于轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心的情況，如果質(zhì)心有加速度，上式也成立。度，上式也成立。（慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩和慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩和為零為零）1、由關(guān)于定點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理，向過該點(diǎn)、由關(guān)于定點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理，向過該點(diǎn)的固定轉(zhuǎn)軸投影得到。的固定轉(zhuǎn)軸投影得到。 zzzzjtjtlm ddddzfrm)( 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面平面of f/fz rr外力外力

3、對(duì)固定轉(zhuǎn)軸力矩的計(jì)算：對(duì)固定轉(zhuǎn)軸力矩的計(jì)算： fr0 m：沿轉(zhuǎn)軸方向：沿轉(zhuǎn)軸方向0 m：沿轉(zhuǎn)軸反方向：沿轉(zhuǎn)軸反方向轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾條規(guī)律：計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾條規(guī)律：1、對(duì)同一軸可疊加：、對(duì)同一軸可疊加： iijj2、平行軸定理：、平行軸定理：2mdjjc 3、對(duì)薄平板剛體，有、對(duì)薄平板剛體，有垂直垂直軸定理：軸定理：yxzjjj jcjdmc質(zhì)心質(zhì)心 rix z yi xi mi yr221mr241mr常用的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常用的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量232mrj 直徑直徑薄球殼：薄球殼：252mrj 直徑直徑球體：球體：2121mlj 過中點(diǎn)垂直于桿過中點(diǎn)垂

4、直于桿細(xì)桿：細(xì)桿：231mlj 過一端垂直于桿過一端垂直于桿圓柱體：圓柱體：221mrj 對(duì)稱軸對(duì)稱軸【例例】轉(zhuǎn)軸光滑，初態(tài)靜止，求下擺到轉(zhuǎn)軸光滑，初態(tài)靜止，求下擺到 角時(shí)的角加速度，角速度，轉(zhuǎn)軸受力。角時(shí)的角加速度，角速度，轉(zhuǎn)軸受力。解：解：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1、受力分析受力分析2、關(guān)于關(guān)于o軸列軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理轉(zhuǎn)動(dòng)定理231mljo mglom cos2 oojm lg2cos3 【思考思考】為什么不關(guān)于過為什么不關(guān)于過質(zhì)心質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理？軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理？,ddt 由由 求求 ：tdd ddd t,2cos3lg lg sin3 00dd sin23212lg 2212llan nnma

5、mgn sin（1） 平動(dòng)：平動(dòng)：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理nn sinmgnn25 3、求轉(zhuǎn)軸受力求轉(zhuǎn)軸受力 occc,jm（2） 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：關(guān)于質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理關(guān)于質(zhì)心軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理tn cosmgnt41 21212mlj,lnmctc 為什么？為什么？【例例】一長為一長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒，水平放的均勻細(xì)棒，水平放置靜止不動(dòng)，受垂直向上的沖力置靜止不動(dòng)，受垂直向上的沖力f作用，沖量作用，沖量為為f t（ t很短），很短），沖力的作用點(diǎn)距棒的質(zhì)心沖力的作用點(diǎn)距棒的質(zhì)心l遠(yuǎn)，求沖力作用后棒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。遠(yuǎn)，求沖力作用后棒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。解解 （1）質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)0)(cmvtmg

6、f tmmgfvc 0質(zhì)心以質(zhì)心以vc0的初速做上拋運(yùn)動(dòng)。的初速做上拋運(yùn)動(dòng)。lfc（2）在上拋過程中棒的轉(zhuǎn)動(dòng)在上拋過程中棒的轉(zhuǎn)動(dòng)tjjflccdd 繞過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸，列轉(zhuǎn)動(dòng)定理：繞過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸，列轉(zhuǎn)動(dòng)定理：lfctjc tjc 212mltfljtflc 在上拋過程中，棒以恒定角在上拋過程中，棒以恒定角速度速度 繞過質(zhì)心軸繞過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。【演示【演示實(shí)驗(yàn)】實(shí)驗(yàn)】 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)（杠桿杠桿） 二、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒二、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒1、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2、幾個(gè)剛體、幾個(gè)剛體繞同一定軸繞同一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)【演示【演示實(shí)驗(yàn)】實(shí)驗(yàn)】茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅茹科夫斯基轉(zhuǎn)椅( (和車輪和車輪) )、陀

7、螺儀、陀螺儀3、關(guān)于過質(zhì)心軸、關(guān)于過質(zhì)心軸若合外力矩為零，則剛體總角動(dòng)量守恒，角若合外力矩為零，則剛體總角動(dòng)量守恒，角動(dòng)量可在這幾部分間傳遞。動(dòng)量可在這幾部分間傳遞。若合外力矩為零，則剛體角動(dòng)量守恒。若合外力矩為零，則剛體角動(dòng)量守恒。若對(duì)過質(zhì)心軸合外力矩為零，則對(duì)該軸剛體若對(duì)過質(zhì)心軸合外力矩為零，則對(duì)該軸剛體角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒。無論質(zhì)心軸是否是慣性系。無論質(zhì)心軸是否是慣性系。三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能力矩的功力矩的功： 21 d dmw不太大剛體的重力勢能不太大剛體的重力勢能：cpmghe 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律：只有保守力做功時(shí)只有保守力做功時(shí)常常數(shù)數(shù) pkee212

8、2122121 jjeewkk 合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功，等于它的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增加功，等于它的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增加用機(jī)械能守恒重解：用機(jī)械能守恒重解： 轉(zhuǎn)軸光滑，初態(tài)靜止，求下擺到轉(zhuǎn)軸光滑，初態(tài)靜止，求下擺到角角時(shí)的角加速度，角速度。時(shí)的角加速度，角速度。lgdtdlg2cos3sin3 解解：桿機(jī)械能守恒桿機(jī)械能守恒比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律簡單！比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律簡單！勢能零點(diǎn)勢能零點(diǎn)繞固定軸繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 223121sin20mljjlmg 桿動(dòng)能的另一種表達(dá)：桿動(dòng)能的另一種表達(dá)：科尼西定理科尼西定理勢能零點(diǎn)勢能零點(diǎn)質(zhì)心動(dòng)能質(zhì)心動(dòng)能繞過質(zhì)心軸繞過質(zhì)心

9、軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 22212121221sin20mljjlmlmgcc 四、剛體的無滑動(dòng)滾動(dòng)四、剛體的無滑動(dòng)滾動(dòng) 瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸（補(bǔ)充）（補(bǔ)充）1、平面平行運(yùn)動(dòng)平面平行運(yùn)動(dòng)只考慮圓柱，球等只考慮圓柱，球等軸對(duì)稱剛體軸對(duì)稱剛體的滾動(dòng)。的滾動(dòng)。質(zhì)心做平面運(yùn)動(dòng)繞過質(zhì)心垂直軸做轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心做平面運(yùn)動(dòng)繞過質(zhì)心垂直軸做轉(zhuǎn)動(dòng)2、無滑動(dòng)滾動(dòng)：、無滑動(dòng)滾動(dòng)：rcpcvca 任意時(shí)刻接觸點(diǎn)任意時(shí)刻接觸點(diǎn)p 瞬時(shí)靜止瞬時(shí)靜止 rarvcc 無滑動(dòng)滾動(dòng)條件：無滑動(dòng)滾動(dòng)條件：【思考思考】下一時(shí)刻下一時(shí)刻p點(diǎn)位置？點(diǎn)位置？cmafmg sin轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的滾得快！轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的滾得快！【演示實(shí)驗(yàn)】【演示實(shí)驗(yàn)】不同質(zhì)量分布的

10、等質(zhì)量柱體滾動(dòng)不同質(zhì)量分布的等質(zhì)量柱體滾動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理純滾動(dòng)條件純滾動(dòng)條件（運(yùn)動(dòng)學(xué)條件運(yùn)動(dòng)學(xué)條件）2sinmrjmgrc 【例例】兩個(gè)質(zhì)量和半徑兩個(gè)質(zhì)量和半徑都相同，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不都相同，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同的柱體，在斜面上作同的柱體，在斜面上作無滑動(dòng)滾動(dòng)，哪個(gè)滾得無滑動(dòng)滾動(dòng)，哪個(gè)滾得快？快？ mgfrc cjrf rac xy3、軸對(duì)稱、軸對(duì)稱剛體無滑動(dòng)滾動(dòng)剛體無滑動(dòng)滾動(dòng)中的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸中的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸cpabdefv 時(shí)刻時(shí)刻t 接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)p 瞬瞬時(shí)靜止；時(shí)靜止； 在時(shí)間在時(shí)間( (tt+ t) )內(nèi)內(nèi)，以以p點(diǎn)為原點(diǎn)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平動(dòng)坐標(biāo)系；建立平動(dòng)坐標(biāo)系；

11、時(shí)間時(shí)間( (t t+ t) )內(nèi)，內(nèi)，剛體的運(yùn)動(dòng)（質(zhì)心平動(dòng)、剛體的運(yùn)動(dòng)（質(zhì)心平動(dòng)、繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)）可以看成：繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)）可以看成：繞過繞過 p 點(diǎn)且垂直于點(diǎn)且垂直于固定平面的轉(zhuǎn)軸的無滑動(dòng)滾動(dòng)。固定平面的轉(zhuǎn)軸的無滑動(dòng)滾動(dòng)。接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)p ：瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心繞繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的形式？瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的形式？ 雖然雖然p點(diǎn)瞬時(shí)靜止，但有加速度，所以除了點(diǎn)瞬時(shí)靜止，但有加速度，所以除了力矩力矩mp外，還外，還應(yīng)考慮慣性力矩。應(yīng)考慮慣性力矩。 下面證明：下面證明：對(duì)于無滑動(dòng)滾動(dòng)的對(duì)于無滑動(dòng)滾動(dòng)的軸對(duì)稱剛體，軸對(duì)稱剛體，接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)p的加速度沿過的加速度沿過p點(diǎn)的半徑方向，

12、因此，點(diǎn)的半徑方向，因此，關(guān)于過關(guān)于過p點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸，慣性力矩等于零。點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸，慣性力矩等于零。 慣性力作用在質(zhì)心上，方向與慣性力作用在質(zhì)心上，方向與p點(diǎn)的加速度點(diǎn)的加速度方向相反。方向相反。 ppjm :pj關(guān)于過關(guān)于過p點(diǎn)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量點(diǎn)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸對(duì)稱剛體，繞軸對(duì)稱剛體，繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理：瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理：24證明：證明：pcpaaa :pap點(diǎn)相對(duì)慣性系的加速度點(diǎn)相對(duì)慣性系的加速度:pa p點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的加速度點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的加速度rcpcvca pnptpaaa 按切、法向分解按切、法向分解：無滑動(dòng)滾動(dòng)：無滑動(dòng)滾動(dòng)：,cptvv cptaa pnptcpaaaa p點(diǎn)加速度沿半徑方向點(diǎn)加速度沿半徑方向appna pnccaaa 過過p點(diǎn)轉(zhuǎn)軸慣性力矩等于零點(diǎn)轉(zhuǎn)軸慣性力矩等于零25【例例】兩個(gè)質(zhì)量和半徑兩個(gè)質(zhì)量和半徑都相同，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不都相同，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同的柱體，在斜面上作同的柱體，在斜面上作無滑動(dòng)滾動(dòng)，哪個(gè)滾得無滑動(dòng)滾動(dòng)，哪個(gè)滾得快？快？關(guān)于瞬轉(zhuǎn)軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理重解：關(guān)于瞬轉(zhuǎn)軸列轉(zhuǎn)動(dòng)定理重解： mgfrcp pjmgr sin2mrjjcp 2sinmrjmg