第二章一元函數(shù)微分學(xué)

1、高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題一 導(dǎo)數(shù)概念一填空題 1若存在，則= , 2若存在，= .= .3設(shè), 則 4已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為(米)，則物體在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為 5曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為 ，法線(xiàn)方程為 6用箭頭或表示在某一點(diǎn)處函數(shù)極限存在、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系， 極限存在 連續(xù) 可導(dǎo)。二、選擇題 1設(shè),且存在，則= B （A） ( B) (C) (D) 2. 設(shè)在處可導(dǎo)，,為常數(shù)，則 = B （A） ( B) (C) (D) 3. 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是在該點(diǎn)處可導(dǎo)的條件 B （A）充分但不是必要 （B）必要但不是充分 （C）充分必要 （D）即非充分也非必要4

2、設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的切線(xiàn)斜率為3，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 B （A）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)5設(shè)函數(shù)，則 在處 B （A）不連續(xù)。 （B）連續(xù)，但不可導(dǎo)。 (C)可導(dǎo)，但不連續(xù)。 （D）可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。三、設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)取什么值。四、如果為偶函數(shù)，且存在，證明=0。而因?yàn)榇嬖?故,所以=0.五、 證明：雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成三角形的面積為定值。 證: 設(shè)雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)為,則,又因,所以雙曲線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)方程為,故它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為和,所以三角形的面積為定值.高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè)

3、 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題二 求導(dǎo)法則（一）一、 填空題1, = ; , = .2，= ; y =，= .3, = ，= ;4. , = . ， 5. ; ( = .6. = ; ( = .二、 選擇題1已知y= ，則 = B （A） (B) (C) (D)2. 已知y= ，則 = C （A） (B) (C) (D) 3. 已知，則 = A （A） (B) (C) (D)4. 已知，則 = A （A） (B) (C) (D) 5. 已知，則 = D （A）1 （B）2 （C） (D) 6. 已知 ，則 = B （A） (B) (C) (D) 三、 計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2) (3) (4

4、 ) (5) (6) 四、 設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)（1） (2)高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題三 求導(dǎo)法則（二）一、填空題：1， ； ， 2， ； ， 3， 4設(shè)，則 5設(shè)，則 6設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，若函數(shù) 在處連續(xù)，則常數(shù)A = 二、選擇題：1設(shè)，則 D （A） （B） （C） （D）2設(shè)周期函數(shù)在可導(dǎo)，周期為4, 又 , 則曲線(xiàn) 在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為 D （A） （B） （C） （D）3. 已知 ，則 = C （A） (B) (C) (D) 4. 已知，則 = C （A） (B) (C) (D) 三、已知，求： 四、設(shè)時(shí)，可導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足：，求

5、五、 已知，且，證明：六、 證明：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)。高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題四 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、填空題1設(shè)，則= , 2. 設(shè)，則= , 3. 設(shè),則= , 4設(shè) ，則= ，= 。二、選擇題1. 由方程所確定的曲線(xiàn)在（0，0）點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為 A （A） （B）1 （C） （D）2. 設(shè)由方程所確定的隱函數(shù)為，則= A （A） （B） （C） （D）3. 設(shè)由方程所確定的隱函數(shù)為，則= A （A） （B） （C） （D）4. 設(shè)由方程所確定的函數(shù)為，則在處的導(dǎo)數(shù)為 B （A） （B）1 （C）0 （D）5.設(shè)由方

6、程所確定的函數(shù)為，則 B （A） （B） （C）； （D）.三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 ， 2. 3 4. 四、求曲線(xiàn) 在處的切線(xiàn)方程，法線(xiàn)方程高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題五 高階導(dǎo)數(shù)一、 填空題設(shè)，則= , = .2. 設(shè),則 ， 3. 若, 且 存在，則 ，= 4. 設(shè)，則 ， 5設(shè)，且，則= 。6. 設(shè),則 = .7. 設(shè)，則 二、選擇題1若, 則= D （A） （B） （C） （D）2.設(shè)，,則= B （A） （B） （C） （D）3設(shè)則 A （A） （B）（C） （D） 4. 設(shè)，則 A （A） （B） （C） （D）三、設(shè)存在，求下列函數(shù)的二

7、階導(dǎo)數(shù)1 2四、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)1. 2. 或五、設(shè)，求高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題六 函數(shù)的微分一 已知，計(jì)算在處 （1）當(dāng)時(shí)， ，= （2）當(dāng)時(shí),= , = 。 二 （1）函數(shù)在處的近似表達(dá)式為 （2）函數(shù)在處的近似表達(dá)式為 （3）計(jì)算近似值 三 填空（求函數(shù)的微分）1、= 2、= d3、= 4、= 5、= 6、 7、= 8、 四 將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號(hào)內(nèi),使等號(hào)成立。 (1). ( ); (2). ( -cos(3x-2) +C ); (3). ( ); (4). ( ); (5). ( ); (6). ( );(7). ( ); （8）

8、( ) (9). =d ( ) ; (10). ( );五求下列函數(shù)或隱函數(shù)的微分(1). , 求(2). ，求 (3).，求 高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題七 綜合練習(xí)（一）一、 填空題1設(shè)存在，為常數(shù)，則= 。2若拋物線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn), 則 ， .3.若可導(dǎo)，且，則= .4.若 , 且, 則= .5.若，則 .6. 若則= .二、選擇題1若=，且在（0，）內(nèi)>0，< 0,則在（-，0）內(nèi) A （A）< 0，< 0 （B）< 0，> 0（C）>0，< 0 （D）>0，> 0

9、2設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)自變量在處取得增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)增量的線(xiàn)性主部為0.1，則 D （A） （B）0.1 （C）1 （D）0.53設(shè)，則 C （A） （B） （C） （D）不存在4設(shè)， 則= B （A） （B） （C） （D）.三、設(shè)函數(shù)由方程所確定，求.四、求下列由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù).1. 2. 五、設(shè)，用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題八 綜合練習(xí)（二）一.填空題1.設(shè)存在，則 = .2當(dāng) 時(shí)，兩曲線(xiàn)，相切，切線(xiàn)方程是 3若在（，）內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，當(dāng) 時(shí)，g(x)= 在（，）內(nèi)連續(xù)。4 ，= 5( ) =， d( )

10、 = . 6 若 ，則= ， = 。二選擇題1設(shè)，則其導(dǎo)數(shù)為 C （A） （B） （C） （D）2. C ； ； 3. 設(shè)，且可導(dǎo) 則= C （A） （B）（C）（D）4. 設(shè)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)， A (A) (B) ( C) (D) 5設(shè)函數(shù)則在處 B (A) 不連續(xù) (B) 連續(xù)，但不可導(dǎo)。 (C)可導(dǎo)，但不連續(xù)。 (D)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)也連續(xù)。三 計(jì)算題1設(shè) （其中，為常數(shù)），試求 2已知 ，用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求 。4已知 , 求. 高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題九 微分中值定理一選擇題1 在區(qū)間上，下列函數(shù)滿(mǎn)足羅爾中值定理的是 A (A) （B） （

11、C） （D）2 若在內(nèi)可導(dǎo),、是內(nèi)任意兩點(diǎn)，且，則至少存在一點(diǎn)，使得 C （A） （）； （B） （）；（C） （）；（D） （）3下列函數(shù)在給定區(qū)間上不滿(mǎn)足拉格朗日定理?xiàng)l件的有 B （A）, （B）, （C）, 0,1 （D）,4 若和對(duì)于區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都有, 則在內(nèi)必有 B （A） （B） （C） （D）二填空題1 對(duì)函數(shù)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日定理時(shí),所求的拉格朗日定理結(jié)論中的，總是等于 .2 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn),使得 成立3設(shè),則有 4 個(gè)根,它們分別位于區(qū)間 內(nèi).4設(shè)在閉區(qū)間上滿(mǎn)足拉格朗日定理，則定理結(jié)論中的= 三證明題1 當(dāng)，試證：2 證明： 3 證明方程只有一個(gè)正根.

12、高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題十 洛比達(dá)法則一 填空題1 23= 4=5= 66下列極限能夠使用洛必達(dá)法則的是 C ：（A）； （B） ； （C）； （D）的值， 二、判斷題：（正確的括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)打“×”）1（不存在） × 2 × 三 計(jì)算題1 2 3 45 67 8高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題十一 函數(shù)的單調(diào)性與極值 一 填空題1函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)減少, 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)增加2在區(qū)間 內(nèi)單潤(rùn)減少，在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)增加3函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 。4函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)減少,

13、 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)增加5當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，那么 6函數(shù)，在區(qū)間上的極大值點(diǎn) .二 選擇題1設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足，不存在，則 D (A) 及都是極值點(diǎn) (B) 只有是極值點(diǎn)(C) 只有是極值點(diǎn) (D) 與都有可能不是極值點(diǎn)2下列命題為真的是 D (A) 若為極值點(diǎn)，則 (B) 若，則為極值點(diǎn) (C) 極值點(diǎn)可以是邊界點(diǎn) (D) 若為極值點(diǎn)，且存在導(dǎo)數(shù)，則3設(shè)，是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，有 A （A） （B）（C） （D）4設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得 C （A）在內(nèi)單調(diào)增加 （B）在內(nèi)單調(diào)減少（C）對(duì)任意的有 （D）對(duì)任意的有5當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則必定是函數(shù)的 D (A) 極大值點(diǎn); (B) 極小值點(diǎn);

14、(C) 駐點(diǎn); (D) 以上都不對(duì)三求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值四證明題：證明 高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題十二 函數(shù)的極值與最大值和最小值一填空題1當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在處取得極 值時(shí)，其極 值為 .2函數(shù)在上的最大值為 ，最小值為 3. 在 處取得最大值 , 在 處取得最小值 .二. 選擇題1如果在達(dá)到極大值,且存在，則 A (A) ; (B) ; (C) ; (D) 0yx2設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示，則有 C （A）一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)（B）兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)（C）兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)（D）三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)3函數(shù)在定

15、義域內(nèi) A （A）無(wú)極值 （B）極大值為 （C）極小值為 （D）為非單調(diào)函數(shù)4若函數(shù)的極大值點(diǎn)是，則函數(shù)的極大值是 D (A) (B) (C) (D)5在上沒(méi)有 A （A）極大值 （B）極小值 （C）最大值 （D）最小值6函數(shù)在內(nèi)的最小值是 D （A）0 （B）1 （C）任何小于1的數(shù) （D）不存在7函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 D （A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在8設(shè)有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵絲，將其分為兩斷，分別構(gòu)成圓形和正方形，若記圓形面積為S1，正方形面積為，當(dāng)最小時(shí)， C (A) (B) (C) (D) 三求下列函數(shù)的極值四. 某地區(qū)防空洞的截面積擬建成矩形加半圓如下圖，截面的面積為m2，

16、問(wèn)底寬為多少時(shí)才能使截面的周長(zhǎng)最小，從而使建造時(shí)所用的材料最省高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題十三 曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)一 填空題1曲線(xiàn)的凸(向上凸)區(qū)間是_，凹(向下凸)區(qū)間是 .2若曲線(xiàn)在處有拐點(diǎn)，則與應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系 。3當(dāng) , ， 時(shí), 點(diǎn)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。4若曲線(xiàn)在處取得極值，點(diǎn)是拐點(diǎn)，則 ， ， ， 二選擇題1. 曲線(xiàn)在區(qū)間內(nèi) B （A）凹且單調(diào)增加 （B）凹且單調(diào)減少 （C）凸且單調(diào)增加 （D）凸且單調(diào)減少2若二階可導(dǎo)，且，又時(shí)，則在內(nèi)曲線(xiàn) C （A）單調(diào)下降，曲線(xiàn)是凸的 （B）單調(diào)下降，曲線(xiàn)是凹的（C）單調(diào)上升，曲線(xiàn)是凸的 （D）單調(diào)上升，曲線(xiàn)是凹的

17、3曲線(xiàn)的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為 C (A) 0 （B）1 （C）2 （D）3三證明題：利用函數(shù)的凹凸性證明 四作函數(shù)的圖形 解：（1）所給函數(shù)的定義域?yàn)镽，= =（2）的零點(diǎn)為， 的零點(diǎn)為， 這些點(diǎn)把定義域分成四個(gè)部分 (3) 在各個(gè)區(qū)間，得符號(hào)，相應(yīng)的曲線(xiàn)的升降性及凹凸性，以及拐點(diǎn)，如下表： x000圖形拐點(diǎn)極大值拐點(diǎn) （4），所以，是函數(shù)的水平漸進(jìn)線(xiàn)。 （5）描點(diǎn)作圖（略）高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題十四 曲率 一、填空題1拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的曲率 ，曲率半徑 .2曲線(xiàn)，在處的曲率 ，曲率半徑 .3曲線(xiàn)在點(diǎn)的曲率為 二、選擇題：橢圓 在長(zhǎng)軸端點(diǎn)的曲率 B （A）0

18、 （B） （C） （D）不存在三、計(jì)算題：1求曲線(xiàn)上曲率最大的點(diǎn)及該點(diǎn)處的曲率半徑解：， 令 ， 且可知 當(dāng)時(shí)取得最大值。 曲率半徑 1 汽車(chē)連同載重共5噸，在拋物線(xiàn)拱橋上行駛，速度為21.6（公里/小時(shí)）橋的跨度為10米，拱的矢高為0.25米，求汽車(chē)越過(guò)橋頂時(shí)對(duì)橋的壓力。解：取橋頂為原點(diǎn)，豎直向下為y軸的正方向，則拋物線(xiàn)的方程為橋端點(diǎn)（5，0.25）在拋物線(xiàn)上，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為， ，所以 所以在橋頂處拋物線(xiàn)的曲率半徑為，向心力為 所以汽車(chē)越過(guò)橋頂時(shí)對(duì)橋的總壓力為 高等數(shù)學(xué)()練習(xí) 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 系 專(zhuān)業(yè) 班 姓名 學(xué)號(hào) 習(xí)題十五 綜合練習(xí)一填空題1函數(shù)在上滿(mǎn)足羅爾定理的條件,由羅爾定理確定的 。 2極限 。3在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)減少；在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)增加。4在 處取得極小值5在的最大值點(diǎn)為 。6曲線(xiàn)的凸區(qū)間是 , 凹區(qū)間是 拐點(diǎn)是 。二