高中數(shù)學(xué)人教A版必修三教學(xué)案：第二章 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系含答案

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材p84p91，回答下列問題(1)兩個變量之間除了函數(shù)關(guān)系還有其他關(guān)系嗎？提示：相關(guān)關(guān)系(2)當(dāng)兩個變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系時，散點圖有什么特點？提示：當(dāng)兩個變量之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系時，散點圖中的點散布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域(3)求回歸直線方程的主要方法是什么？提示：求回歸直線方程的主要方法是最小二乘法2歸納總結(jié)，核心必記(1)變量之間的相關(guān)關(guān)系變量與變量之間的關(guān)系常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用解析式表示；另一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用解析式來表達(dá)(2)兩個變量的線性相關(guān)

2、散點圖將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中的對應(yīng)點畫出來，得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫做散點圖正相關(guān)在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)負(fù)相關(guān)在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，這條直線的方程叫做回歸直線方程，簡稱回歸方程(3)回歸直線方程回歸直線方程假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)

3、，則所求回歸方程是x，其中是回歸方程的斜率，是截距其中最小二乘法通過求q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2 的最小值而得出回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法問題思考(1)任意兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)是否均可以作出散點圖？提示：可以，不管這兩個統(tǒng)計量是否具備相關(guān)性，以一個變量值作為橫坐標(biāo)，另一個作為縱坐標(biāo)，均可畫出它的散點圖(2)任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸直線方程嗎？提示：用最小二乘法求回歸直線方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點圖來判斷)，否則求出的回歸直線方程無意義(3)根據(jù)及回歸直線方程x，判斷點(，)與

4、回歸直線的關(guān)系是什么？提示：由得，因此點(，)在回歸直線上課前反思通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個知識點：(1)相關(guān)關(guān)系： ；(2)散點圖： ；(3)回歸直線方程及求回歸直線方程的方法步驟： .瑞雪兆豐年，這不禁使我們想到這樣一句諺語：“冬天麥蓋三層被，來年枕著饅頭睡”，意思是冬天“棉被”蓋得越厚，春天小麥就長得越好思考1下雪與小麥豐收有關(guān)系嗎？ 提示：有關(guān)系，但這種關(guān)系具有不確定性思考2若把下雪量和小麥產(chǎn)量看作兩個變量，則這兩個變量之間的關(guān)系是確定的嗎？若不是確定的，那會是什么關(guān)系？名師指津：這兩個變量之間的關(guān)系是不確定的，這兩個變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系思考3怎樣理解兩個變量之間的關(guān)系？ 名師指

5、津：兩個變量間的關(guān)系分為三類：(1)確定性的函數(shù)關(guān)系，如正方形的邊長與面積的關(guān)系；(2)相關(guān)關(guān)系，變量間確實存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機性的，這種關(guān)系就是相關(guān)關(guān)系，例如，某位同學(xué)的“物理成績”與“數(shù)學(xué)成績”之間的關(guān)系；(3)不相關(guān)，即兩個變量間沒有任何關(guān)系講一講1下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是_人的身高與視力的關(guān)系；做自由落體運動的物體的質(zhì)量與落地時間的關(guān)系；降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系嘗試解答題號判斷原因分析不是相關(guān)關(guān)系身高與視力無關(guān)，不具有函數(shù)關(guān)系，也不具有相關(guān)關(guān)系續(xù)表題號判斷原因分析不是相關(guān)關(guān)系自由落體的物體的質(zhì)量與落地時間無關(guān)，不具有相關(guān)關(guān)系相關(guān)

6、關(guān)系降雪量越大，交通事故發(fā)生率越高，不確定性的關(guān)系答案：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系區(qū)別函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是兩個變量間一種不完全確定的關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系練一練1在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？正方形邊長與面積之間的關(guān)系；作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；解：兩變量之間的關(guān)系有三種：函數(shù)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系和不相關(guān)正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因為人的年齡達(dá)到一定時期

7、身高就不發(fā)生明顯變化了，因而他們不具備相關(guān)關(guān)系下表為某地搜集到的新房屋的銷售價格y(單位：萬元)和房屋的面積x(單位：m2)的數(shù)據(jù)：x11511080135105y44.841.638.449.242思考1能否以x為橫坐標(biāo)，以y為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出表示以上數(shù)據(jù)的點？此圖稱為什么圖形？名師指津：能，如圖所示，此圖稱為散點圖思考2從散點圖看應(yīng)怎樣描述房屋的銷售價格與房屋面積之間的變化關(guān)系？ 名師指津：從大體上看，面積越大，銷售價格越高，但不是正比例函數(shù)關(guān)系思考3怎樣認(rèn)識散點圖？名師指津：(1)散點圖與相關(guān)性的關(guān)系：散點圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度根據(jù)散點圖中點的分布趨勢分析兩個變量之

8、間的關(guān)系，可直觀地判斷并得出結(jié)論(2)散點圖與正、負(fù)相關(guān)性的關(guān)系：如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，稱這兩個變量正相關(guān)，即兩個變量具有相同的變化趨勢；如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱這兩個變量負(fù)相關(guān)，即兩個變量具有相反的變化趨勢講一講2下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，判斷兩者是相關(guān)關(guān)系嗎？求回歸直線方程有意義嗎？年平均氣溫()12.5112.7412.7413.6913.3312.8413.05年降雨量(mm)748542507813574701432嘗試解答以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，可得相應(yīng)的散點圖，如圖所示：因為圖中各點并不在一條直線附近，所以兩

9、者不具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程也是沒有意義的用散點圖判斷兩個變量x與y的相關(guān)關(guān)系(1)判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果圖上發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點的位置的影響(2)畫散點圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論練一練2對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，10)，得散點圖；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i1,2，10)，得散點圖.由這兩個散點圖可以判斷()a變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)b變量x與y正

10、相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)c變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)d變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析：選c在從散點圖來看，圖中的點自左上方向右下方分布，說明變量x與y負(fù)相關(guān)；圖中的點自左下方向右上方分布，說明u與v正相關(guān).觀察知識點2中的背景實例思考根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，能否估計出房屋面積為120 m2 時的銷售價格？如何估計？名師指津：能可根據(jù)散點圖作出一條直線，求出直線方程，再進行預(yù)測根據(jù)兩個變量的取值，畫出散點圖后作出一條直線，利用最小二乘法求出此直線方程，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可對另一個變量取值進行估計講一講3一般來說，一個人腳掌越長，他的身高就越高，現(xiàn)對10名成年人的腳掌長x與身高y進行測量，得到數(shù)據(jù)(單位均

11、為 cm)作為一個樣本如下表所示：腳掌長/x20212223242526272829身高/y141146154160169176181188197203(1)在上表數(shù)據(jù)中，以“腳掌長”為橫坐標(biāo)，“身高”為縱坐標(biāo)，作出散點圖后，發(fā)現(xiàn)散點在一條直線附近，試求“身高”與“腳掌長”之間的線性回歸方程x；(2)若某人的腳掌長為26.5 cm，試估計此人的身高(參考數(shù)據(jù)：(xi)(yi)577.5，(xi)282.5)嘗試解答(1)記樣本中10人的“腳掌長”為xi(i1,2，10)，“身高”為yi(i1,2，10)，則7，24.5，171.5，0.7x.(2)由(1)知7x，則當(dāng)x26.5時，7×

12、;26.5185.5(cm)故估計此人的身高為185.5 cm.用線性回歸方程估計總體的一般步驟(1)作出散點圖，判斷散點是否在一條直線附近；(2)如果散點在一條直線附近，用公式求出，并寫出線性回歸方程(否則求出的回歸方程是沒有意義的)；(3)根據(jù)線性回歸方程對總體進行估計練一練32016年元旦前夕，某市統(tǒng)計局統(tǒng)計了該市2015年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如下表：年收入x(萬元)24466677810年飲食支出y(萬元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)如果已知y與x是線性相關(guān)的，求回歸方程；(2)若某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出(參考數(shù)據(jù)

13、：iyi117.7，406)解：(1)由題意可計算得：6，1.83，236，10.98，又iyi117.7，406，b0.17，ab0.81，0.17x0.81.所求的回歸方程為0.17x0.81.(2)當(dāng)x9時，0.17×90.812.34(萬元)，可估計該年收入為9萬元的家庭每年飲食支出約為2.34萬元課堂歸納·感悟提升1本節(jié)課的重點是會作兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，會利用散點圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程難點是了解相關(guān)關(guān)系、線性相關(guān)、回歸直線的概念，了解最小二乘法的思想2本節(jié)課要掌握以下幾類問題：(1)準(zhǔn)確區(qū)分相關(guān)關(guān)系與函數(shù)

14、關(guān)系，見講1.(2)會利用散點圖判斷兩個變量間的相關(guān)關(guān)系，見講2.(3)掌握用線性回歸方程估計總體的一般步驟，見講3.3本節(jié)課的易錯點有兩個：(1)區(qū)分不清相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，如講1；(2)求回歸直線方程中易出現(xiàn)計算錯誤，如講3.課下能力提升(十四)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1變量間的相關(guān)關(guān)系1下列兩個變量之間的關(guān)系，哪個不是函數(shù)關(guān)系()a正方體的棱長和體積b圓半徑和圓的面積c正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和d人的年齡和身高解析：選da、b、c都是函數(shù)關(guān)系，對于a，va3；對于b，sr2；對于c，g(n)(n2).而對于年齡確定的不同的人可以有不同的身高，選d.2下列語句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系

15、的是()a瑞雪兆豐年b上梁不正下梁歪c吸煙有害健康d喜鵲叫喜，烏鴉叫喪解析：選d選項a，b，c中描述的變量間都具有相關(guān)關(guān)系，而選項d是迷信說法，沒有科學(xué)依據(jù)題組2散點圖3下列圖形中，兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的是()解析：選b線性相關(guān)關(guān)系要求兩個變量的散點圖大致在一條直線上，且不是函數(shù)關(guān)系4如圖是兩個變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的散點圖，判斷兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系？解：不具有相關(guān)關(guān)系，因為散點圖散亂地分布在坐標(biāo)平面內(nèi)，不呈線形5某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬元)：x24568y3040605070(1)畫出散點圖；(2)從散點圖中判斷銷售金額與廣告費支出成什么樣的關(guān)系？解：

16、(1)以x對應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，以y對應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點圖如圖所示：(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告費支出與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系，并且當(dāng)廣告費支出由小變大時，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關(guān)關(guān)系題組3線性回歸方程的求法及應(yīng)用6下列有關(guān)回歸方程x的敘述正確的是()反映與x之間的函數(shù)關(guān)系；反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系；表示與x之間的不確定關(guān)系；表示最接近y與x之間真實關(guān)系的一條直線a b c d解析：選dx表示與x之間的函數(shù)關(guān)系，而不是y與x之間的函數(shù)關(guān)系且它所反映的關(guān)系最接近y與x之間的真實關(guān)系故選d.7設(shè)有一個回歸方程為1.5x2，則變量x增加一個單

17、位時()ay平均增加1.5個單位by平均增加2個單位cy平均減少1.5個單位dy平均減少2個單位解析：選c兩個變量線性負(fù)相關(guān)，變量x增加一個單位，y平均減少1.5個單位8某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程x中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為()a63.6萬元 b65.5萬元c67.7萬元 d72.0萬元解析：選b樣本中心點是(3.5,42)，則429.4×3.59.1，所以回歸直線方程是9.4x9.1，把x6代入得65.5，故選b.9已知工廠加工零件的個數(shù)x與花費時間y(h)之

18、間的線性回歸方程為0.01x0.5，則加工200個零件大約需要_小時解析：將200代入線性回歸方程0.01x0.5，得y2.5.答案：2.510有人統(tǒng)計了同一個省的6個城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均gdp)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表：人均gdp/萬元1086431患白血病的兒童數(shù)/人351312207175132180(1)畫出散點圖，并判定這兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)通過計算可知這兩個變量的回歸直線方程為23.25x102.15，假如一個城市的人均gdp為12萬元，那么可以斷言，這個城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個斷言是否正確？解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)

19、畫散點圖，如圖所示從圖中可以看出，在6個點中，雖然第一個點離這條直線較遠(yuǎn)，但其余5個點大致分布在這條直線的附近，所以這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系(2)上述斷言是錯誤的，將x12代入23.25x102.15得23.25×12102.15381.15380，但381.15是對該城市人均gdp為12萬元的情況下所作的一個估計，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人能力提升綜合練1(2014·湖北高考)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為bxa，則()aa>0，b>0 ba>0，b<0ca<

20、;0，b>0 da<0，b<0解析：選b由表中數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖，由散點圖可知b<0，a>0，選b.2已知變量x，y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點圖如圖所示，則其回歸方程可能為()a.1.5x2 b.1.5x2c.1.5x2 d.1.5x2解析：選b設(shè)回歸方程為bxa，由散點圖可知變量x、y之間負(fù)相關(guān)，回歸直線在y軸上的截距為正數(shù)，所以b0，a0，因此方程可能為1.5x2.3在2015年5月1日，某市物價部門對本市的5家商場某商品的一天銷售量及其價格進行了調(diào)查，5家商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價格x(元)99.51010.511銷售量y(件

21、)1110865由散點圖可知，銷售量y與價格x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是：3.2xa(參考公式：回歸方程bxa，ab)，則a()a24 b35.6 c40.5 d40解析：選d價格的平均數(shù)是10，銷售量的平均數(shù)是8，由3.2xa知b3.2，所以ab83.2×1040，故選d.4設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位： cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為0.85x85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系b回歸直線過樣本點的中心(，)c若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，

22、則其體重約增加0.85 kgd若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg解析：選d由于回歸直線的斜率為正值，故y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，選項a中的結(jié)論正確；回歸直線過樣本點的中心，選項b中的結(jié)論正確；根據(jù)回歸直線斜率的意義易知選項c中的結(jié)論正確；由于回歸分析得出的是估計值，故選項d中的結(jié)論不正確5假設(shè)學(xué)生在初中的英語成績和高一英語成績是線性相關(guān)的現(xiàn)有10名學(xué)生的初中英語成績(x)和高一英語成績(y)如下：x74717268767367706574y76757170767965776272由此得到的回歸直線的斜率約為1.22，則回歸方程為_解析：將71，72.3，1.22，代入，得72.31.22×7114.32.答案：1.22x14.326對某臺機器購置后的運行年限x(x1,2,3，)與當(dāng)年利潤y的統(tǒng)計分析知x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為10.471.3x，估計該臺機器最為劃