化工問題的建模與數(shù)學分析方法化工數(shù)學6

1、第六章第六章 近似解析方法近似解析方法1、奇異攝動法、奇異攝動法2、試驗函數(shù)法、試驗函數(shù)法3、正交配置法、正交配置法第六章近似解析方法概論解析解與數(shù)值解的比較解析解與數(shù)值解的比較解析解解析解由簡單函數(shù)關(guān)系式直接給出的對應(yīng)關(guān)系由簡單函數(shù)關(guān)系式直接給出的對應(yīng)關(guān)系 結(jié)構(gòu)簡單，計算代價小結(jié)構(gòu)簡單，計算代價小 結(jié)果可靠，直觀，便于應(yīng)用結(jié)果可靠，直觀，便于應(yīng)用 對一般問題難以得到對一般問題難以得到數(shù)值解數(shù)值解以大量數(shù)字對應(yīng)方式給出的函數(shù)關(guān)系以大量數(shù)字對應(yīng)方式給出的函數(shù)關(guān)系 適用性廣，可處理復雜問題和大規(guī)模問題適用性廣，可處理復雜問題和大規(guī)模問題 依賴于計算工具和特定算法，代價較大依賴于計算工具和特定算法，

2、代價較大第六章近似解析方法概論近似近似解析解解析解準確解的近似解析表達式準確解的近似解析表達式局部精確性較差，但整體規(guī)律性好局部精確性較差，但整體規(guī)律性好形式簡單而滿足工程應(yīng)用形式簡單而滿足工程應(yīng)用容易得到容易得到數(shù)學問題的求解原則數(shù)學問題的求解原則首先求準確解析解首先求準確解析解其次求近似解析解其次求近似解析解最后采用數(shù)值解最后采用數(shù)值解第六章 近似解析方法攝動法1 1 攝動法攝動法攝動法攝動法將問題對小參數(shù)進行級數(shù)展開的求解方法將問題對小參數(shù)進行級數(shù)展開的求解方法正則攝動：小參數(shù)直接展開的方法正則攝動：小參數(shù)直接展開的方法奇異攝動：直接展開失效后采用的專門方法或改進方奇異攝動：直接展開失效

3、后采用的專門方法或改進方 法法第六章 近似解析方法攝動法1 1、正則攝動與奇異攝動、正則攝動與奇異攝動例例1 1 最高次項含小參數(shù)的非線性代數(shù)方程的求解最高次項含小參數(shù)的非線性代數(shù)方程的求解設(shè)設(shè)得得2yay2012yyyy2201201012/yyyayyy第六章 近似解析方法攝動法正則攝動只能得到一個根，因為直接展開失去了問題正則攝動只能得到一個根，因為直接展開失去了問題的非線性性質(zhì)。的非線性性質(zhì)。0221023010(1) :( ) :() :22oyaoyyaoyy ya223( )2yaaa第六章 近似解析方法攝動法如果作變換如果作變換 y = u/ ，得得然后對然后對u 直接展開，得

4、到另一個根直接展開，得到另一個根2uau0111uuaua 第六章 近似解析方法攝動法準確解為準確解為當當 0時，其兩個根分別趨于時，其兩個根分別趨于y a和和y 1 ，對應(yīng)，對應(yīng)的兩個攝動解分別稱為正則攝動解與奇異攝動解。的兩個攝動解分別稱為正則攝動解與奇異攝動解。1( )(1)ya1142ay第六章 近似解析方法攝動法例例2 2 小參數(shù)位于非導數(shù)項中的情況小參數(shù)位于非導數(shù)項中的情況設(shè)設(shè)得得0(1)(0)1dyydxy2012( , )( )( )( )y xyxy xyx012010,dydydyyydxdxdx 第六章 近似解析方法攝動法近似解與準確解近似解與準確解極為接近，這種情況下正

5、則攝動法是奏效的。極為接近，這種情況下正則攝動法是奏效的。20121( )1,( ),( )2yxy xxyxx 2212xxyex第六章 近似解析方法攝動法例例3 3 方程最高階導數(shù)乘小參數(shù)的情況方程最高階導數(shù)乘小參數(shù)的情況當當 0時，方程由二階退化成一階方程，近似解只能時，方程由二階退化成一階方程，近似解只能滿足一個邊值而難以同時滿足兩個邊值。滿足一個邊值而難以同時滿足兩個邊值。 220(1)(0),(1)d ydyydxdxyy第六章 近似解析方法攝動法直接展開得到直接展開得到取取x =1處的邊界條件處的邊界條件 y0 (1) = ，y1 (1) = 0，得到，得到 00(1):0dyo

6、ydx21012( ):dyd yoydxdx 第六章 近似解析方法攝動法在在 x =0 處處因此，近似解不滿足因此，近似解不滿足x =0 處的邊值。處的邊值。10( )xyxe11( )(1)xy xx e112( , )(1)()xxy xex eo1(0, )(1)ye第六章 近似解析方法攝動法分析：分析： x =0 處存在一個邊界層處存在一個邊界層邊界層的存在是小參數(shù)乘最高階導數(shù)問題的特征邊界層的存在是小參數(shù)乘最高階導數(shù)問題的特征第六章 近似解析方法攝動法概念：漸近級數(shù)與收斂級數(shù)概念：漸近級數(shù)與收斂級數(shù)收斂級數(shù)：按變量展開的級數(shù)，如泰勒級數(shù)，三收斂級數(shù)：按變量展開的級數(shù)，如泰勒級數(shù)，三

7、角級數(shù)，冪級數(shù)等，級數(shù)的精度隨項數(shù)的增加而提高；角級數(shù)，冪級數(shù)等，級數(shù)的精度隨項數(shù)的增加而提高；漸近級數(shù)：按參數(shù)展開的級數(shù)漸近級數(shù)：按參數(shù)展開的級數(shù)系數(shù)系數(shù)yn( (x) )是由展開后的問題順序解出的，因此級數(shù)不是由展開后的問題順序解出的，因此級數(shù)不一定收斂，一般只取級數(shù)的一定收斂，一般只取級數(shù)的2 23 3項。項。2012( , )( )( )( )y xyxy xyx第六章 近似解析方法攝動法2、邊界層方法、邊界層方法基本思想：基本思想：放大鏡放大鏡將空間邊界層放大，使分布變平緩，突將空間邊界層放大，使分布變平緩，突出邊界層內(nèi)的作用；出邊界層內(nèi)的作用；慢鏡頭慢鏡頭將時間尺度放大，使變化減緩

8、，突出快將時間尺度放大，使變化減緩，突出快速變化的過程。速變化的過程。歷史來源與發(fā)展：歷史來源與發(fā)展：prandtl邊界層方程，邊界層方程，blasuis匹配方法，匹配方法，plk方法方法第六章 近似解析方法攝動法邊界層方法的求解步驟邊界層方法的求解步驟1 1、外解、外解直接展開直接展開2 2、內(nèi)解、內(nèi)解邊界層放大邊界層放大3 3、匹配、匹配內(nèi)解與外解的銜接內(nèi)解與外解的銜接4 4、合成、合成內(nèi)解與外解的組合內(nèi)解與外解的組合第六章 近似解析方法攝動法例例31、外解、外解220(1)(0),(1)d ydyydxdxyy( )( )( )01( , )( )( )oooyxyxyx第六章 近似解析

9、方法攝動法2 2、內(nèi)解、內(nèi)解邊界層放大，定義內(nèi)部坐標邊界層放大，定義內(nèi)部坐標( )1( )101( ),( )(1)oxoxyxeyxx ex2120d ydyydd第六章 近似解析方法攝動法取取 1 1以保留二階導數(shù)項，得以保留二階導數(shù)項，得令令得得220d ydyydd( )( )( )01( , )( )( )iiiyyy 2( )( )0020iid ydydd第六章 近似解析方法攝動法解出解出0 0階近似階近似常數(shù)常數(shù)c c由匹配條件確定由匹配條件確定2( )( )( )11020iiid ydyydd( )0(0)iy( )0()iycc e第六章 近似解析方法攝動法3 3、匹配、

10、匹配prandtlprandtl匹配原理匹配原理0 0階近似的匹配方法階近似的匹配方法得得0 0階內(nèi)解階內(nèi)解( )( )0lim( , )lim( , )oixyxy ( )( )100( )(0)ioycye ( )110( )()iyee e第六章 近似解析方法攝動法4 4、合成、合成加法合成法加法合成法合成解外解內(nèi)解公共部分合成解外解內(nèi)解公共部分高階近似的匹配高階近似的匹配van dyke匹配原理匹配原理 n項外解的項外解的m項內(nèi)部展開項內(nèi)部展開 m項內(nèi)解的項內(nèi)解的n項外部展開項外部展開 11/( )()( )xxy xee eo第六章 近似解析方法攝動法匹配后的兩項近似內(nèi)解匹配后的兩項

11、近似內(nèi)解合成后的兩項近似解合成后的兩項近似解( )111112y ( )()(1)()()iee eeeee eo 111/2y( , )1(1)()(1)()xxxx eexe eo第六章 近似解析方法攝動法3 3、時間邊界層、時間邊界層剛性問題剛性問題（stiff equs)剛性問題：具有不同時間尺度的變化問題；剛性問題：具有不同時間尺度的變化問題；特點：特點：快步驟與慢步驟共存快步驟與慢步驟共存 擬穩(wěn)態(tài)近似與定常態(tài)近似擬穩(wěn)態(tài)近似與定常態(tài)近似計算難點：數(shù)值振蕩，多步計算難點：數(shù)值振蕩，多步gear 方法方法奇異攝動：慢鏡頭分析，給出完整的結(jié)果奇異攝動：慢鏡頭分析，給出完整的結(jié)果第六章 近似

12、解析方法攝動法例例慢時間尺度解（慢時間尺度解（ 0 0）擬穩(wěn)態(tài)近似擬穩(wěn)態(tài)近似( , , )dxf x ydt( , , )dyg x ydt 0,;0,xy 第六章 近似解析方法攝動法快時間尺度解快時間尺度解定常態(tài)近似定常態(tài)近似( , )0f x y ( , )dyg x ydt/ t( , , )dxf x yd( , , )dyg x yd第六章 近似解析方法攝動法合成與匹配合成與匹配von dyke匹配原理匹配原理例例：催化劑的平行失活問題：催化劑的平行失活問題反應(yīng)快、失活慢，二者均需要考慮反應(yīng)快、失活慢，二者均需要考慮()ainaadcvf ccvkc addadak c ad 第六章

13、 近似解析方法攝動法無量綱化無量綱化1 1、先求內(nèi)解，內(nèi)解可完全確定、先求內(nèi)解，內(nèi)解可完全確定1(1)dxxxydt dyxydt (0)0(0)1xy，第六章 近似解析方法攝動法令令1dxxxyd dyxyd ( )( )( )01( , )( )( ).iiixxx ( )( )( )01( , )( )( ).iiiyyy第六章 近似解析方法攝動法得到兩項近似內(nèi)解得到兩項近似內(nèi)解( )201()(1)2ixe( )0( )1iy22( )222121(1)( )(1)848816iexeeee 2( )11( )24iey第六章 近似解析方法攝動法2 2、直接展開求外解，外解不滿足初值，

14、含任意常數(shù)、直接展開求外解，外解不滿足初值，含任意常數(shù)3 3、內(nèi)、外解匹配確定外解任意常數(shù)、內(nèi)、外解匹配確定外解任意常數(shù)得到外解得到外解( )( )00(0)lim( )1oiyy( )( )( )111( )1(0)lim( )4ioidyyyd第六章 近似解析方法攝動法( )0( )011ooxy( )( )001lnooyyt()()01()402(1)oooyxy ()()01()20(1)oooyyy第六章 近似解析方法攝動法4 4、合成含有快、慢尺度的統(tǒng)一解、合成含有快、慢尺度的統(tǒng)一解( )( )2200( )201( )()(1)4ootoyy tyeoy 2( )0( )222

15、22220( )4011( )12211(1)()48816(1)tootttttox teyytteeeeeoy第六章 近似解析方法攝動法第六章 近似解析方法攝動法4 4、移動的空間邊界層問題、移動的空間邊界層問題 非線性色譜過程的濃度前沿非線性色譜過程的濃度前沿非線性吸附效應(yīng)與擴散效應(yīng)之間的競爭作用非線性吸附效應(yīng)與擴散效應(yīng)之間的競爭作用移動的空間邊界層的形成移動的空間邊界層的形成求解思路求解思路外解外解非線性色譜問題的激波解非線性色譜問題的激波解內(nèi)解內(nèi)解采用跟隨激波的移動坐標系，放大邊界層采用跟隨激波的移動坐標系，放大邊界層匹配與合成匹配與合成第六章 近似解析方法攝動法問題問題22aaaa

16、ccnvdkczzc 1aan kcnkc( ,0)0acz(0, )aincc第六章 近似解析方法攝動法1 1、外解、外解由特征線法由特征線法濃度激波位置濃度激波位置xs由匹配條件確定由匹配條件確定 ( )( )a( )ooonccn cd ctxa (o)( ,0)0,(0, )1xtcc( )( , )0daxssoexxcx txx第六章 近似解析方法攝動法2 2、邊界層內(nèi)解、邊界層內(nèi)解積分得積分得3、匹配、匹配1( )sxxt( )( )2( )( )211iiinaidcdcd cundcdd( )(0)(1)iccandcu cn uc( )( )lim( , )lim( )si

17、xxosx tccc第六章 近似解析方法攝動法由以上由以上prandtlprandtl匹配條件得激波間斷關(guān)系匹配條件得激波間斷關(guān)系解得激波軌跡解得激波軌跡邊界層內(nèi)解邊界層內(nèi)解111/1/anssanun ccnccexp(ln1)acsccsn kdaxkxtdak( )( )2(1/(111lnln(0)(0)iiansscsscacsssncckccccknkccccc 第六章 近似解析方法攝動法第六章 近似解析方法攝動法4 4、0 0階近似合成解階近似合成解( )( )( )( , )( , )oisisssscx tccxxc x tcxxxxxx第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法2 2

18、試驗函數(shù)方法試驗函數(shù)方法 思想：用已知的、含待定參數(shù)的簡單函數(shù)近似代替準思想：用已知的、含待定參數(shù)的簡單函數(shù)近似代替準確解，用積分形式的方程或點近似方程代替微分方程，確解，用積分形式的方程或點近似方程代替微分方程，確定不定參數(shù)。確定不定參數(shù)。以犧牲一些局部的精確性為代價，換取對問題整以犧牲一些局部的精確性為代價，換取對問題整體規(guī)律性的把握，在一定的近似范圍內(nèi)解決問題。體規(guī)律性的把握，在一定的近似范圍內(nèi)解決問題。要點：試驗函數(shù)的選擇要點：試驗函數(shù)的選擇殘差處理方法殘差處理方法第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法1 1、試驗函數(shù)與方程殘差試驗函數(shù)與方程殘差 例例1 落石問題落石問題分析：分析：下落速度從

19、零增加到末速度下落速度從零增加到末速度2(0)0dvmmgvdtvmgv第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法設(shè)試驗函數(shù)為設(shè)試驗函數(shù)為 是待定參數(shù)，代入方程得到殘差是待定參數(shù)，代入方程得到殘差 若要求在若要求在t=時刻方程成立，時刻方程成立，r()=0，得，得/(1)tavve/2( )(1)ttvr tegge0.7,( )0.63amvvg第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法由準確解由準確解特點：方程只在一個點滿足，近似解特點：方程只在一個點滿足，近似解“八九不離十八九不離十”例例2 催化劑顆粒有效系數(shù)計算催化劑顆粒有效系數(shù)計算 0.745mg2()( )0(1)1,(0)0ssddyxx r ydxd

20、xyy第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法設(shè)試驗函數(shù)設(shè)試驗函數(shù)要求方程積分滿足，得要求方程積分滿足，得121011( )(1)(1)sxssdyx r y dxrdxr2( )(1)y xaa x1202(1)( )sax r y dx2(1)(1)2(1)sar第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法取取s=0，r(y)=y ，得得準確解準確解 1 時，相差甚微（時，相差甚微（1%左右）左右） ， 越大相差越大。越大相差越大。原因：快速反應(yīng)濃度分布空心化，偏離拋物分布。原因：快速反應(yīng)濃度分布空心化，偏離拋物分布。22662a233tanh第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法改進，對于快速反應(yīng)，采用以下蛋白型試驗函

21、數(shù)改進，對于快速反應(yīng)，采用以下蛋白型試驗函數(shù)仍要求方程積分滿足，確定參數(shù)仍要求方程積分滿足，確定參數(shù)xp2( )10ppppxxxxy xxxx61px 第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法準確解準確解 ，說明試驗函數(shù)越接近真實，結(jié)果越，說明試驗函數(shù)越接近真實，結(jié)果越準確。準確。 例例3 試井問題試井問題拭井：反求地層參數(shù)的工業(yè)試驗方法，壓力變化方程拭井：反求地層參數(shù)的工業(yè)試驗方法，壓力變化方程221122 10.82(1)6xpdydxx1/第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法1()fcpprrrrkt10:tpp=1:rpp=2wr rpqrrhk1uuxx xx第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法分析：影

22、響半徑分析：影響半徑rr( ) ，漏斗型分布，擬穩(wěn)態(tài)假設(shè)，漏斗型分布，擬穩(wěn)態(tài)假設(shè)無窮遠邊值的有限化無窮遠邊值的有限化積分平均近似積分平均近似擬穩(wěn)態(tài)試驗函數(shù)擬穩(wěn)態(tài)試驗函數(shù)( , , )0u r p t 0 x rux11111rrruuuxdxxxdxxxxxxlnauaxb第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法由邊界條件由邊界條件影響半徑為待定函數(shù)，代入積分的壓力方程，得影響半徑為待定函數(shù)，代入積分的壓力方程，得準確解準確解( )lnar tux2drrd41r11ln(41)ln0.722au1ln0.8092u第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法小結(jié)：試驗函數(shù)法小結(jié)：試驗函數(shù)法試驗函數(shù)的選擇試驗函數(shù)的選

23、擇盡可能接近真實盡可能接近真實事先滿足初始與邊界條件事先滿足初始與邊界條件方程殘差的處理方程殘差的處理 點近似點近似 積分平均近似積分平均近似 加權(quán)積分近似加權(quán)積分近似第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法2 2、空間平均近似、空間平均近似 例例：球形顆粒上的不定常擴散球形顆粒上的不定常擴散 采用采用拋物型試驗函數(shù)拋物型試驗函數(shù): 221()uuxxxx( ,0)0u x00 xux(1, )1ut 212( , )( )( )auxaax第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法代入方程，令空間積分為代入方程，令空間積分為0 0，得，得系數(shù)系數(shù)a a由初始條件確定，定義空間平均濃度，得由初始條件確定，定義空間平

24、均濃度，得由初值為由初值為0 0 151512( )1,( )aaeaae 123( )( )5auaa123(0)(0)05aa12555,1exp( 15 ),exp( 15 )222aaa 第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法近似解與準確解的比較：近似解與準確解的比較：長時間后準確，短時間內(nèi)偏離。長時間后準確，短時間內(nèi)偏離。原因：滲透區(qū)的存在，偏離拋物型試驗函數(shù)。原因：滲透區(qū)的存在，偏離拋物型試驗函數(shù)。255( , )1exp( 15 )exp( 15 )22auxx 1 exp( 15 )au 第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法改進改進取滲透型試驗函數(shù)取滲透型試驗函

25、數(shù)由空間平均近似由空間平均近似2( )1( )papxxvx611( )ppdxdx( )12 3px 第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法短時間解短時間解準確解準確解2( )11( )paapxxvuxxx231( )( )1( )2 334apppuxxx2 33.464au63.385u第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法3 3、邊界層動量積分方法、邊界層動量積分方法問題：問題：prandtl邊界層方程，非線性邊界層方程，非線性pde方程組方程組y=0: u=v=0; y: u=u, v=0 x0: u=u, v=022uuuuvxyy0uxy第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法方法要點：方法要點：在邊界

26、層內(nèi)用積分形式的動量方程代替微分方程在邊界層內(nèi)用積分形式的動量方程代替微分方程選擇滿足邊界條件的多項式或其它函數(shù)為試驗函數(shù)選擇滿足邊界條件的多項式或其它函數(shù)為試驗函數(shù)第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法1）邊界層積分動量方程的推導）邊界層積分動量方程的推導邊界層厚度邊界層厚度 (x)是一個待定的函數(shù)是一個待定的函數(shù) 22 () ()uu uuuuvxyy 000 ()()uu uu dyuuvxy 00()yduu uu dyvdxy第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法2）試驗函數(shù)的選?。┰囼灪瘮?shù)的選取滿足以下邊界條件滿足以下邊界條件取取( , )( )aux yfu220:0 ,0uyuy=:,0uyu

27、uyd=32( )fabcd第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法代入動量積分方程得到確定邊界層厚度代入動量積分方程得到確定邊界層厚度 (x)的方程的方程準確解準確解331( )22f30.142dvdxu( )4.64vxxu( )5.0vxxu第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法4、加權(quán)余量法（、加權(quán)余量法（galerkin方法）方法） 殘差加權(quán)積分為殘差加權(quán)積分為0的近似方法的近似方法權(quán)函數(shù)的選擇權(quán)函數(shù)的選擇點近似點近似積分平均近似積分平均近似矩量積分近似矩量積分近似最小二乘近似最小二乘近似( )( )0vrwdv xx第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法galerkin方法方法 galerkin方法應(yīng)用最

28、廣，其物理基礎(chǔ)為變分原理方法應(yīng)用最廣，其物理基礎(chǔ)為變分原理( )0biayr xdxa1( ,)( )nniiiiyx aax( )( )01,2,biar xx dxin第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法例例：催化劑有效系數(shù)計算：催化劑有效系數(shù)計算取試驗函數(shù)取試驗函數(shù)方程殘差方程殘差22210(0)0,(1)1nydyyx dxxyy21(1),yazzx 2( , )1(1)4nr z aaaz 第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法由由galerkin方法方法n=2時時1100( , )( , )(1)0yr z adzr z az dza1201(1)(1)04naazz dz 12091(1)(

29、1)040.7005( 2.86)aazz dza 第六章 近似解析方法試驗函數(shù)法準確解準確解 0.446比較：空間平均近似法比較：空間平均近似法 =0.384 11222001(1)10.4633ay duazdza 12091(1)040.865( 3.468)aazdza 第六章 近似解析方法正交配置法3 正交配置法正交配置法 galerkin法的特點法的特點精度高精度高積分計算量大積分計算量大改進改進用高斯積分公式進行用高斯積分公式進行g(shù)alerkin法的積分運算法的積分運算正交配置法（正交配置法（finlayson 1972, villadsen 1978)第六章 近似解析方法正交配

30、置法1 1、以待定參數(shù)為未知量的正交配置法、以待定參數(shù)為未知量的正交配置法 例：催化劑顆粒問題例：催化劑顆粒問題設(shè)設(shè)殘差殘差galerkin法確定參數(shù)法確定參數(shù)a 的方程的方程111 (1)inniiyza z 22221111( , )(1)1 (1)4nniiiniiiirzaizi zza za第六章 近似解析方法正交配置法采用采用gauss求積公式來計算求積公式來計算galerkin積分積分取取n個個jacobi正交多項式的根為節(jié)點，得到正交多項式的根為節(jié)點，得到 110( , )(1)01,2,jnrzz zdzjna110( )()mjjjf z dzw f z11( ,)01,2

31、,niknkkkkw rz zjna第六章 近似解析方法正交配置法上式是關(guān)于上式是關(guān)于n個殘差項個殘差項rnj的線性代數(shù)方程組，由于的線性代數(shù)方程組，由于 得到充分必要條件得到充分必要條件上式為上式為n個節(jié)點上的配置方程，可定出個節(jié)點上的配置方程，可定出n個參數(shù)個參數(shù)a。因此，當采用高斯積分公式來計算因此，當采用高斯積分公式來計算galerkin積分時，積分時，galerkin方法就成為高斯節(jié)點上的配置方法，二者的誤方法就成為高斯節(jié)點上的配置方法，二者的誤差就是高斯積分誤差，具有差就是高斯積分誤差，具有2n1階代數(shù)精度。相應(yīng)的階代數(shù)精度。相應(yīng)的方法稱為正交配置法。方法稱為正交配置法。1det(

32、)0jkkw z-( , )01,2,n jnjrrzjn=la a第六章 近似解析方法正交配置法jaccobi正交多項式的概念正交多項式的概念( 0,1)區(qū)間上的特征值問題的非零解區(qū)間上的特征值問題的非零解n次正交多項式在次正交多項式在(0,1)區(qū)間的區(qū)間的n個根就是配置節(jié)點個根就是配置節(jié)點。例例：催化劑有效系數(shù)的計算：催化劑有效系數(shù)的計算babab-+ -+=22( 1)21 (2)(1)0dydyxxxn nydxdx1( , )( , )0(1)( )( )0()nmxxpx px dxnmbaa ba b-=第六章 近似解析方法正交配置法用高斯積分公式來代替用高斯積分公式來代替gal

33、erkin積分公式計算殘差，單積分公式計算殘差，單點近似點近似z1=1/3，仍取，仍取n=2, =3，解出，解出 111110( )(1)( )0rzz dzw rz-=2111()1(1)04nr zaaz 0.6771( 3.32)a第六章 近似解析方法正交配置法正交配置解正交配置解galerkin方法方法 0.463 差別源于高斯積分的微小誤差。差別源于高斯積分的微小誤差。小結(jié)：小結(jié)：galerkin法：通過殘差加權(quán)積分為零確定參數(shù)法：通過殘差加權(quán)積分為零確定參數(shù)正交配置法：殘差在正交節(jié)點上直接為零確定參數(shù)正交配置法：殘差在正交節(jié)點上直接為零確定參數(shù)二則差別僅為高斯積分近似誤差二則差別僅

34、為高斯積分近似誤差1 0.6771(1),0.476yz 第六章 近似解析方法正交配置法2 2、以節(jié)點函數(shù)值為未知量的正交配置法、以節(jié)點函數(shù)值為未知量的正交配置法取正交節(jié)點上的函數(shù)值取正交節(jié)點上的函數(shù)值yi=yi(x)為待定參數(shù)，代替為待定參數(shù)，代替ai，試試驗函數(shù)取為驗函數(shù)取為n次多項式次多項式lagrangian插值函數(shù)插值函數(shù)+=11( )( )nni iiyxyl x+-+=-+-=-llll111111,1111() ()() ()( )() ()() ()njiinijiiiiiiinijxxxxxxxxxxl xxxxxxxxxxx第六章 近似解析方法正交配置法以節(jié)點函數(shù)值為待定參數(shù)，意義明確，插值函數(shù)已知，以節(jié)點函數(shù)值為待定參數(shù)，意義明確，插值函數(shù)已知，便于求導便于求導導數(shù)的離散導數(shù)的離散1111( )jjnniiji ixxiixxdl xdyya ydxdx+=輊輊犏=犏犏犏臌臌邋ddx=y ya ya y22ddx=y yb b y y第六章 近似解析方法正交配置法因此，對于任意的微分方程因此，對于任意的微分方