高中數(shù)學必修四導學案：2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料2.4平面向量的數(shù)量積2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義【學習目標】1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題；【自學新知】知識回顧：（1）兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量 與,作,則（）叫與的夾角.說明：（1）當時,與同向；（2）當時,與反向；（3）當時,與垂直,記；新知梳理：1平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與,它們的夾角是,則 叫與的數(shù)量積,記作 ,即有× = ,（）. 并規(guī)定向量與任何向量的數(shù)量積為 .思考感悟：1、向量數(shù)量積是一個向量還

2、是一個數(shù)量？它的符號什么時候為正？什么時候為負？2、兩個向量的數(shù)量積與實數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？（1）兩個向量的數(shù)量積是一個 ,不是向量,符號由 的符號所決定.（2）向量的數(shù)量積寫成·；符號“·”既不能省略,也不能用“×”代替.（3）在實數(shù)中,若,且,則b=0；但是在數(shù)量積中,若¹,且×=0,不能推出=.因cosq有可能為0.2“投影”的概念： 作圖： 定義：|cosq叫做向量在方向上的投影.思考感悟：投影不是向量,是一個數(shù)量。當q為銳角時投影為 值；當q為鈍角時投影為 值,當q為直角時投影為 ；當q=0°時投影為|；當q =180&

3、#176;時投影為-|3向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積×等于 與 |cosq的乘積.4. 兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設,為兩個非零向量,(1) Û× = (2)當與同向時,× = ,當與反向時,× = 特別的：×=|2或； |×|；cosq = 5.平面向量數(shù)量積的運算律交換律： × = × 數(shù)乘結(jié)合律：()× =(×) = ×()分配律：( +)× = × +×說明：（1）一般地,(·) （·） （2）··

4、 對點練習1下列敘述不正確的是（ ）a. 向量的數(shù)量積滿足交換律 b. 向量的數(shù)量積滿足分配律c. 向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 d. ×是一個實數(shù)2|=3,|=4,向量+與-的位置關系為（ ）a.平行 b.垂直 c.夾角為 d.不平行也不垂直3.已知|=,=(cos,sin), ·=9, 則, 的夾角為 （ ） a.150º b.120 º c.60 º d.30 º4.已知,則向量在向量方向上的投影是_,向量在向量方向上的投影是_?！竞献魈骄俊康淅觯豪?證明：變式1已知|=6,|=4,與的夾角為60o,求：（1）(+2)·

5、(-3). （2）|+|與|-|. 例2已知|=12,|=9,求與的夾角。變式2已知|=3, |=4, 且與不共線,k為何值時,向量+k與-k互相垂直. 【課堂小結(jié)】 【當堂達標】1下列命題中：若,且·=·,則=；若=,則34;(·)·=·(·), 對任意向量,都成立；2·2=(·)2 ；正確命題的個數(shù)為_ 2若|2sin15°,|4cos375°、,夾角為30°,則·為（） a bcd3若|=|=|,則與+的夾角為（ ） a30° b60° c150&#

6、176; d120°4.已知、均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|+ 3| =（ ）a b c d4【課時作業(yè)】1.已知|=1,|=,且(-)與垂直,則與的夾角是（ ）a.60° b.30° c.135° d.°2. 若向量的夾角為,則向量的模為 3向量、滿足（）·（2+）=4,且|=2, |=4,則與夾角的余弦值等于 4、在rtabc中,c90°,ab5,ac4,求·.5已知|=8, |=10, |+|=16,求與的夾角.6*.向量互相垂直,向量互相垂直,求與夾角。7*.已知|=3,|=3,與夾角為,求使向量的夾角為銳角時,的取值范圍。8(