復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法

1、第三節(jié) 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法本節(jié)內(nèi)容簡(jiǎn)介二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則本節(jié)重點(diǎn)：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)的求導(dǎo)法。本節(jié)難點(diǎn)：連鎖法的運(yùn)用教學(xué)方式：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)手段：面授與多媒體課件相結(jié)合教學(xué)時(shí)數(shù)：3學(xué)時(shí)一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.復(fù)合函數(shù)的中間變量均是二元函數(shù)定理：若z=f(u,v)在點(diǎn)(u,v)可微，而 在 點(diǎn)（x,y）都存在偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)（x,y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有公式：( , ),( , )ux y vx y ( , ),( , )zfx yx y (1)z (2)yzzuzvxuxv xzuzvuyv y 為了記憶和正確使用上述公式，可畫(huà)出變量關(guān)系圖：z-u-

2、x表示 z-v-x表示 兩式相加得公式（1）；z-u-y表示 z-v-y表示 兩式相加得公式（2）,zuux ,zvv x ,zuuy ,zvv y xy z=esin(),zzxyxy例 設(shè)求u, v=x+y, z=e sin ,uxyv解：設(shè)則由公式得：xy sincos( sincos ) =e ysin(x+y)+cos(x+y) uuuzev yeveyvvxxysincos( sincos ) =e sin()cos()uuuzev xevexvvyxxyxy22v1 z=(x2 ) , u=x2 , v=xy, z=uzz , lnuvxyvvzzyxyyvuuu例 設(shè)求解： 設(shè)

3、則，uvv 2 , 2, , yxyuxyxx 122122z2lnx =2x(2 )(2 )ln(2 ) vxyxyzuzvvuxuu yuxv xy xyy xyxy 12122( 2)ln =-2xy(x2 )(2 )ln(2 )vvxyxyzzuzvvuuu xyuyv yyx xyxy 2.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)( , ),( ),( ), ( ),( )zf u vut vtzfttt設(shè)而則是 的一元函數(shù)。 由函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖 dzdz , dtdtz duz dvu dtv dt得：稱為全導(dǎo)數(shù)。222t22 z=u,sin ,dz 2cosdt =2e sincos(2sin

4、cos )ttttdzvue vtdtz duz dvuveutu dtv dttetett例 設(shè)而求解：3222x-2y2sin22 dz cos23dt =e(cos6 )(cos6 )xyxyttz dxz dyetetx dty dtttettx-2y3dz練 設(shè)z=e,而x=sint,y=t ,求dt解：3. .復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)222x w=f(x,y,z)=e,sin ,yzwzyxx例 設(shè)而求解：結(jié)構(gòu)圖 w是x,y 的函數(shù):,:,wfyy zxx將 看成常數(shù)將看成常數(shù)222222222xxx =2xe2 ecos =2e(cos )yzyzyzwf dx

5、fzxx dxzxzyxxyzx 4復(fù)合函數(shù)是抽象函數(shù) ,zyxz例 設(shè)z=f(,xy),f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求yx z1 x fufvffyuxv xy uv x解： 設(shè)u=,v=xy,則z=f(u,v)y2zfufvxffxyuyv yyuv 2121212122 f, , , z1 , xfffffuvu vzxfyffxfyyy 設(shè)得 221212 ,zz 22, 22xyzyxy fxfx yfyf2222z例 設(shè)z=f(x y ,x +y ),f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求x解：1212 ,zz 2, 2xyxyxyzyxfyefyfxef22xyz練 設(shè)z=f(x +y ,e ),f

6、具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求x解：返回一、隱函數(shù)的求導(dǎo)法設(shè)z=f(x,y)是由方程f(x,y,z)=0惟一確定的隱函數(shù)， 則將z=f(x,y,z)代入f(x,y,z)=0,即f(x,y,f(z,y)=0.兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)（用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法）得：0,fyxyzzff如果=f ,=f ,=f 連續(xù)，且fxzyyz 0, f0fz, =- xf xzzxzzzfffxyfzfy 2 ,zzyx y 222z例 設(shè)x +y +z =4z,求x222xyz f(x,y,z)=x +y +z -4z f =2x, f =2y, f24z解： 設(shè)z2x242z2 y242 xzyzfxxfzzfyyfzz 2

7、222311()()()()(2)22(2)x =()(z-2)(2)2(2)zxxxzx yyxyzy zzyzxyxyyzzz 2()zzx yxy 亦可用得出同樣結(jié)果。22xyz 1 , f(x,y,z)=xyz-xsin8 f =yz-2xy, f =xz-x +cosy, fzyyyxy2z練 （ ）設(shè)xyz-x y+siny=8,求x解：設(shè)22cosxzyzfzyzxyxfxyfzxzxyyfxy z(2) 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z,1x f(x,y,z)=2sin(x+2y-3z)-(x+2y-3z)zy若證明證：設(shè)2cos(23 ) 12 2cos(23 )23