新課標(biāo)高中數(shù)學(xué) 2.5.1等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修5

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料2.5等比數(shù)列的前n項和2.5.1等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用從容說課師生將共同分析探究等比數(shù)列的前n項和公式.公式的推導(dǎo)以教材中的“錯位相減法”為最基本的方法,“錯位相減法”也是一種算法,其設(shè)計的思路是“消除差別”,從而達(dá)到化簡的目的.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)還有許多方法,可啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索.例如,根據(jù)等比數(shù)列的定義可得,再由分式性質(zhì),得,整理得.教學(xué)中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù),還應(yīng)給予學(xué)生充分的探索空間.教學(xué)重點 1.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo);2.等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.教學(xué)難點 等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).教具準(zhǔn)備 多媒體課件、投影膠片、

2、投影儀等三維目標(biāo)一、知識與技能1.了解現(xiàn)實生活中存在著大量的等比數(shù)列求和的計算問題；2.探索并掌握等比數(shù)列前n項和公式；3.用方程的思想認(rèn)識等比數(shù)列前n項和公式,利用公式知三求一；4.體會公式推導(dǎo)過程中的分類討論和轉(zhuǎn)化化歸的思想.二、過程與方法1.采用觀察、思考、類比、歸納、探究得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué)；2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用,作好探究性活動.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過生活中有趣的實例,鼓勵學(xué)生積極思考,激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度,培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力；2.在探究活動中學(xué)會思考,學(xué)會解決問題的方法；3.通過對有關(guān)實際問題的解決,體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實際生活的密切聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)

3、的興趣. 教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者.這個故事大家聽說過嗎？ 生 知道一些,踴躍發(fā)言.師 “請在第一個格子里放上1顆麥粒,第二個格子里放上2顆麥粒,第三個格子里放上4顆麥粒,以此類推.每一個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒的2倍.直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”這就是國際象棋發(fā)明者向國王提出的要求.師 假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g,按目前世界小麥年度產(chǎn)量約60億噸計.你認(rèn)為國王能不能滿足他的要求？生 各持己見.動筆,列式,計算.生 能列出式子：麥粒的總數(shù)為1+2+22+263=?師 這是一個什么樣的問題？你們計算出結(jié)果了

4、嗎？讓我們一起來分析一下.課件展示：1+2+22+2 63=?師 我們將各格所放的麥粒數(shù)看成是一個數(shù)列,那么我們得到的就是一個等比數(shù)列.它的首項是1,公比是2,求第1個格子到第64個格子所放的麥粒數(shù)總和,就是求這個等比數(shù)列的前64項的和.現(xiàn)在我們來思考一下這個式子的計算方法：記s=1+2+22+23+2 63,式中有64項,后項與前項的比為公比2,當(dāng)每一項都乘以2后,中間有62項是對應(yīng)相等的,作差可以相互抵消.課件展示：s=1+2+22+23+2 63,2s=2+22+23+263+264,-得2s-s=2 64-1.264-1這個數(shù)很大,超過了1.84×10 19,假定千粒麥子的質(zhì)

5、量為40 g,那么麥粒的總質(zhì)量超過了7 000億噸.而目前世界年度小麥產(chǎn)量約60億噸,因此,國王不能實現(xiàn)他的諾言.師 國王不假思索地給國際象棋發(fā)明者一個承諾,導(dǎo)致了一個很不幸的后果的發(fā)生,這都是他不具備基本的數(shù)學(xué)知識所造成的.而避免這個不幸的后果發(fā)生的知識,正是我們這節(jié)課所要探究的知識.推進(jìn)新課合作探究師 在對一般形式推導(dǎo)之前,我們先思考一個特殊的簡單情形：1+q+q2+qn=？師 這個式子更突出表現(xiàn)了等比數(shù)列的特征,請同學(xué)們注意觀察.生 觀察、獨立思考、合作交流、自主探究.師 若將上式左邊的每一項乘以公比q,就出現(xiàn)了什么樣的結(jié)果呢？生 q+q2+qn+q n+1.生 每一項就成了它后面相鄰的

6、一項.師 對上面的問題的解決有什么幫助嗎？師 生共同探索：如果記sn=1+q+q2+qn,那么qsn=q+q2+qn+q n+1.要想得到sn,只要將兩式相減,就立即有(1-q)sn=1-qn.師 提問學(xué)生如何處理,適時提醒學(xué)生注意q的取值.生 如果q1,則有.師 當(dāng)然,我們還要考慮一下如果q1問題是什么樣的結(jié)果.生 如果q1,那么sn=n.師 上面我們先思考了一個特殊的簡單情形,那么,對于等比數(shù)列的一般情形我們怎樣思考？課件展示：a1+a2+a3+an=？教師精講師 在上面的特殊簡單情形解決過程中,蘊含著一個特殊而且重要的處理問題的方法,那就是“錯位相減,消除差別”的方法.我們將這種方法簡稱

7、為“錯位相減法”.師 在解決等比數(shù)列的一般情形時,我們還可以使用“錯位相減法”.如果記sn=a1+a2+a3+an,那么qsn=a1q+a2q+a3q+anq,要想得到sn,只要將兩式相減,就立即有(1-q)sn=a1-anq.師 再次提醒學(xué)生注意q的取值.如果q1,則有.師 上述過程如果我們略加變化一下,還可以得到如下的過程：如果記sn=a1+a1q+a1q2+a1q n-1,那么qsn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,要想得到sn,只要將兩式相減,就立即有(1-q)sn=a1-a1qn.如果q1,則有.師 上述推導(dǎo)過程,只是形式上的不同,其本質(zhì)沒有什么差別,都是用的“錯位相減法”

8、. 形式上,前一個出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個基本量：a1,q,an,sn,n中a1,q,an,sn四個；后者出現(xiàn)的是a1,q,sn,n四個,這將為我們今后運用公式求等比數(shù)列的前n項的和提供了選擇的余地. 值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果q1”的前提下得到的.言下之意,就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q1時,我們才能用上述公式.師 現(xiàn)在請同學(xué)們想一想,對于等比數(shù)列的一般情形,如果q1問題是什么樣的結(jié)果呢？ 生 獨立思考、合作交流.生 如果q1,sn=na1.師 完全正確.如果q1,那么sn=nan.正確嗎？怎么解釋？生 正確.q1時,等比數(shù)列的各項相等,它的前n項的和等于它的任一項的n倍.師 對了,這就是

9、認(rèn)清了問題的本質(zhì).師 等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)還有其他的方法,下面我們一起再來探討一下：合作探究思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義,我們有：,再由合比定理,則得,即,從而就有(1-q)sn=a1-anq.(以下從略)思路二：由sn=a1+a2+a3+an得sn=a1+a1q+a2q+a n-1q=a1+q(a1+a2+a n-1)=a1+q(sn-an),從而得(1-q)sn=a1-anq.(以下從略)師 探究中我們們應(yīng)該發(fā)現(xiàn),sn-s n-1=an是一個非常有用的關(guān)系,應(yīng)該引起大家足夠的重視.在這個關(guān)系式中,n的取值應(yīng)該滿足什么條件？生 n1.師 對的,請同學(xué)們今后多多關(guān)注這個關(guān)系式：sn-s

10、n-1=an,n1.師 綜合上面的探究過程,我們得出：或者例題剖析【例題1】 求下列等比數(shù)列的前8項的和：(1),；(2)a1=27,a9=,q0.合作探究師生共同分析：由(1)所給條件,可得,求n8時的和,直接用公式即可.由(2)所給條件,需要從中獲取求和的條件,才能進(jìn)一步求n8時的和.而a9=a1q8,所以由條件可得q8= =,再由q0,可得,將所得的值代入公式就可以了.生 寫出解答：(1)因為,所以當(dāng)n8時,.(2)由a1=27,可得,又由q0,可得,于是當(dāng)n8時,.【例題2】 某商場今年銷售計算機(jī)5 000臺,如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%,那么從今年起,大約幾年可使總

11、銷售量達(dá)到30 000臺(結(jié)果保留到個位)？師 根據(jù)題意,從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系,從中抽象出等比數(shù)列,并明確這是一個已知sn=30 000求n的問題.生 理解題意,從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系,并找出等比數(shù)列中的基本量,列式,計算.解：根據(jù)題意,每年的銷售量比上一年增加的百分率相同,所以,從今年起,每年銷售量組成一個等比數(shù)列an,其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,sn=30 000.于是得到,整理得1.1n=1.6,兩邊取對數(shù),得nlg1.1=lg1.6,用計算器算得5(年).答：大約5年可以使總銷售量達(dá)到30 000臺.練習(xí)：教材第66頁,練習(xí)第1、2、3題.課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：1.等比數(shù)

12、列前n項和公式的推導(dǎo)；特別是在推導(dǎo)過程中,學(xué)到了“錯位相減法”.2.等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.因為公式涉及到等比數(shù)列的基本量中的4個量,一般需要知道其中的3個,才能求出另外一個量.另外應(yīng)該注意的是,由于公式有兩個形式,在應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)題意所給的條件,適當(dāng)選擇運用哪一個公式.在使用等比數(shù)列求和公式時,注意q的取值是至關(guān)重要的一個環(huán)節(jié),需要放在第一位來思考.布置作業(yè)課本第69頁習(xí)題2.5 a組第1、2、3題.板書設(shè)計等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式情境問題的推導(dǎo) 一般情形的推導(dǎo) 例1練習(xí)：(學(xué)生板演) 例2練習(xí)：(學(xué)生板演)習(xí)題詳解（課本第66頁練習(xí)）1.(1).(2).2

13、.設(shè)這個等比數(shù)列的公比為q,s10=(a1+a2+a5)+(a6+a7+a10)=s5+q5s5=s5(1+q5)=50,同理,s15=s10+q10s5.因為s5=10,所以由得q5=-1=4q10=16,代入,得s15=s10+q10s5=50+16×10=210.另解：因為等比數(shù)列中,s5,s10-s5,s15-s10也成等比數(shù)列,已知s5=10,s10-s5=50-10=40,所以s15-s10=,s15=160+50=210.3.該市近10年內(nèi)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成一個等比數(shù)列,首項a1=2 000,公比q=1.1, 設(shè)近10年內(nèi)每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值是s 10,則s10=3.

14、187×104(億元).備課資料數(shù)學(xué)神童維納的年齡20世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家諾伯特·維納,從小就智力超常,三歲時就能讀寫,十四歲時就大學(xué)畢業(yè)了.幾年后,他又通過了博士論文答辯,成為美國哈佛大學(xué)的科學(xué)博士.在博士學(xué)位的授予儀式上,執(zhí)行主席看到一臉稚氣的維納,頗為驚訝,于是就當(dāng)面詢問他的年齡.維納不愧為數(shù)學(xué)神童,他的回答十分巧妙：“我今年歲數(shù)的立方是個四位數(shù),歲數(shù)的四次方是個六位數(shù),這兩個數(shù),剛好把十個數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了,不重不漏.這意味著全體數(shù)字都向我俯首稱臣,預(yù)祝我將來在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里一定能干出一番驚天動地的大事業(yè).”維納此言一出,四座皆驚,大家都被他

15、的這道妙題深深地吸引住了.整個會場上的人,都在議論他的年齡問題.其實這個問題不難解答,但是需要一點數(shù)字“靈感”.不難發(fā)現(xiàn),21的立方是四位數(shù),而22的立方已經(jīng)是五位數(shù)了,所以維納的年齡最多是21歲；同樣道理,18的四次方是六位數(shù),而17的四次方則是五位數(shù)了,所以維納的年齡至少是18歲.這樣,維納的年齡只可能是18、19、20、21這四個數(shù)中的一個.剩下的工作就是“一一篩選”了.20的立方是8 000,有3個重復(fù)數(shù)字0,不合題意.同理,19的四次方等于130 321,21的四次方等于194 481,都不合題意.最后只剩下一個18,是不是正確答案呢？驗算一下,18的立方等于5 832,四次方等于1

16、04 976,恰好“不重不漏”地用完了十個阿拉伯?dāng)?shù)字,多么完美的組合！這個年僅18歲的少年博士,后來果然成就了一番大事業(yè)：他成為信息論的前驅(qū)和控制論的奠基人.數(shù)學(xué)王子高斯高斯(17771855),高斯是德國數(shù)學(xué)家,也是科學(xué)家,他和牛頓、阿基米德,被譽為有史以來的三大數(shù)學(xué)家.高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一,在歷史上影響之大,可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列,有“數(shù)學(xué)王子”之稱.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才.1795年進(jìn)入格丁根大學(xué)學(xué)習(xí).第二年他就發(fā)現(xiàn)正十七邊形的尺規(guī)作圖法.并給出可用尺規(guī)作出的正多邊形的條件,解決了歐幾里得以來懸而未決的問題.高斯的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域,在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、非歐幾何、復(fù)

17、變函數(shù)和微分幾何等方面都作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn).他還把數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測量學(xué)和磁學(xué)的研究,發(fā)明了最小二乘法原理.高斯的數(shù)論研究,總結(jié)在算術(shù)研究(1801)中,這本書奠定了近代數(shù)論的基礎(chǔ),它不僅是數(shù)論方面的劃時代之作,也是數(shù)學(xué)史上不可多得的經(jīng)典著作之一.高斯對代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)是證明了代數(shù)基本定理,他的存在性證明開創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新途徑.高斯在1816年左右就得到非歐幾何的原理.他還深入研究復(fù)變函數(shù),建立了一些基本概念,發(fā)現(xiàn)了著名的柯西積分定理.他還發(fā)現(xiàn)橢圓函數(shù)的雙周期性,但這些工作在他生前都沒發(fā)表出來.1828年高斯出版了關(guān)于曲面的一般研究,全面系統(tǒng)地闡述了空間曲面的微分幾何學(xué),并提出內(nèi)蘊曲面理

18、論.高斯的曲面理論后來由黎曼發(fā)展.高斯一生共發(fā)表155篇論文,他對待學(xué)問十分嚴(yán)謹(jǐn),只是把他自己認(rèn)為是十分成熟的作品發(fā)表出來.其著作還有地磁概念和論與距離平方成反比的引力和斥力的普遍定律等.高斯最出名的故事就是他十歲時,小學(xué)老師出了一道算術(shù)難題：“計算123+100？”.這可難為初學(xué)算術(shù)的學(xué)生,但是高斯卻在幾秒后將答案解了出來,他利用算術(shù)級數(shù)(等差級數(shù))的對稱性,然后就像求得一般算術(shù)級數(shù)和的過程一樣,把數(shù)目一對對的湊在一起：1100,299,398,4952,5051,而這樣的組合有50組,所以答案很快的就可以求出是：101×505 050.1801年高斯有機(jī)會戲劇性地施展他的優(yōu)勢的計算技巧.那年的元旦,有一個后來被證為小行星并被命名為谷神星的天體被發(fā)現(xiàn),當(dāng)時它好像在向太陽靠近,天文學(xué)家雖然有40天的時間可以觀察它,但還不能計