D19連續(xù)函數(shù)的運算71634

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、連續(xù)函數(shù)的運算法則一、連續(xù)函數(shù)的運算法則 第九節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)的反函數(shù)也連續(xù)單調(diào)遞增. xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運算法則一、連續(xù)函數(shù)的運算法則定理定理1. 在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運算, 結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減)

2、(證明略)在1, 1上也連續(xù)單調(diào)(遞減)11xoy22遞增.xsinxarcsin目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.xye在),(上連續(xù)其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.證證: 設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點 x.)(00ux,)(連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)0uufy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點 x又如又如, 且即xyoxylnexy 11單調(diào) 遞增,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *

3、rx因此xy1sin在*rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xy1sinxyo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 . 設(shè))()(xgxf與均在,ba上連續(xù), 證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則 , 可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間

4、為1, 1(端點為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域為znnx,2因此它無連續(xù)點而目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 由此可見當(dāng)0e,xa時, 有)1ln(x1e xxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 x

5、x36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1,41,)(xxxxx例例5. 設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時連續(xù); 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類間斷點 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時xfx在點 x = 1 不連續(xù) , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運算四則運算結(jié)果仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí),)(0連續(xù)在點若xxf是否連在問02)(, )(xxfxf續(xù)? 反例, 1,1)(xf x 為有理數(shù) x 為無理數(shù))(xf處處間斷,)