[經(jīng)濟學]概率論與數(shù)理統(tǒng)計復旦大學出版社習課件

1、1. 事件之間的關系與運算事件之間的關系與運算事件的包含事件的包含,事件的相等事件的相等;事件的和事件的和(并并);事件的積事件的積(交交);事件的差事件的差;互不相容事件互不相容事件(互斥互斥);對立事件對立事件.nmap )(1) 所有可能的試驗的結果只有有限個；所有可能的試驗的結果只有有限個；(2) 每一個結果出現(xiàn)的可能性相同每一個結果出現(xiàn)的可能性相同.2.古典古典概型概型)()()()(abpbpapbap ,互不相容互不相容ba)()()()(2121nnapapapaaap )()()(bpapbap 互互不不相相容容naaa,21)()()()()()(bcpabpcpbpapc

2、bap 3. 加法公式加法公式)()(abcpacp ,ab )()()(apbpabp )()()(abpapbap 對立事件對立事件)(1)(apap ;0)( p aap0)(:注注; 1)(,p必然事件4. 條件概率條件概率,乘法公式乘法公式,事件的獨立性事件的獨立性)()()(apabpabp 0)( ap條件概率條件概率)()()(abpapabp ,0)( bp)()()(bapbpabp ,0)( ap)()()()(abcpabpapabcp )(21naaap)()()()(11213121 nnaaapaaapaapap乘法公式乘法公式),()()(bpapabp )()

3、(apbap ,獨獨立立與與 ba也也獨獨立立與與與與與與bababa;,21相互獨立相互獨立naaa)()()(1)(2121nnapapapaaap )()()()(2121nnapapapaaap 事件的獨立性事件的獨立性,獨獨立立與與 ba互斥互斥, ab)()()(bpapbap 獨立獨立),()()(bpapabp )()(apbap )()()()()(bpapbpapbap )()(1bpap 試驗試驗 e 的樣本空間是的樣本空間是snbbb,21組成樣本空間組成樣本空間s 的一個劃分的一個劃分.nkbpk, 2 , 1, 0)( nkkkbapbpap1)()()(a任任一一

4、個個事事件件, 0)( ap若若 niiikkkbapbpbapbpabp1)()()()()(5. 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式xvrd.xvrc.)(xf）（初等函數(shù)或分段函數(shù)（初等函數(shù)或分段函數(shù)0)( xf 1)(dxxf, 2 , 1, kxxppkkxp1pkp2p1x2xkx, 2 , 1, 0 kpk1 kkp1. 分布律分布律1. 密度函數(shù)密度函數(shù)),( x xxxpxf)(2. 分布函數(shù)分布函數(shù)1)(,0)(*3 ff)(xf分布函數(shù)分布函數(shù) 的性質的性質:rxxf , 1)(0*1)()0(xfxf )(11afaxpaxp 2* f (x)是是 x 單調(diào)不

5、減的函數(shù)單調(diào)不減的函數(shù);4* f (x)至多有可列個間斷點至多有可列個間斷點,且在其間斷點處右連續(xù)且在其間斷點處右連續(xù), xdttfxf)()()()(xfxf )()(afbfbxap bxakkpbxap badxxfbxap)(0 cxp xxkkpxf)(f (x)的圖形是一條階梯曲線的圖形是一條階梯曲線, 在在 處有跳躍間斷點處有跳躍間斷點,躍度為躍度為 ;kpkxx f (x)是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù),在在 f (x)的連續(xù)點處的連續(xù)點處,有有3. 求概率求概率, 2 , 1 kpxxpkk dxxxfxe)()()(xf4. 期望期望,方差方差kkkpxxe 1)(kkkpxxe 2

6、2)( dxxfxxe)()(22)()(2xexexd 22)()(xexe 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 1)()(kkkpxgxge dxxfxgxge)()()(),(xgy 存存在在)(xge)(xgy )()()1(yxgpyfy )()()2(yfyfyy 5. 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布(1) y 的所有可能取值的所有可能取值;(2) 取這些值的概率取這些值的概率.結合課本的例子結合課本的例子;6. 幾個重要分布幾個重要分布分布名稱分布名稱概率分布概率分布期望期望方差方差分布分布10 xp01pqpqp 110ppq二項分布二項分布),(pnbxnpn

7、pq nkqpckxpknkkn, 2 , 1 , 0 )( xpoisson分布分布, 2 , 1 , 0! kekkxpk 分分布布超超幾幾何何nnn1121 nnnnnnnn分布名稱分布名稱概率分布概率分布期望期望方差方差),min(, 2 , 1 , 0nmkccckxpnnknmnkm 222)(21)( xexf正態(tài)分布正態(tài)分布),(2 nx0, x 2 ),(baux均勻分布均勻分布 其它其它01)(bxaabxf2ba 12)(2ab 分布名稱分布名稱概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)期望期望方差方差)(ex指數(shù)分布121000)(xxexfxnmp nkqpcccckxpknkknnn

8、knmnkm, 1 , 0 np knkknppc )1( ekk!說明及注意的問題說明及注意的問題:1* 幾個隨機變量之間的關系幾個隨機變量之間的關系:(1) n 很大很大,n 相對于相對于n 較小較小,(2) n 較大較大, p 很小很小,1)(20 xxxp)()(00abbxap0)(51)(500 xxxx，0)(105 .00)(00 xxxxxxxp)1 , 0()1(nx2* 正態(tài)分布查表正態(tài)分布查表),()2(2 nx120aaxpabbxap00)1()1 , 0()3(22 xnx),()4(2 nx),(22 abanbax , 2 , 1, jipyyxxpijji)

9、,.(.yxvrd, 2 , 1, 0)1( jipij1)2( ijijpjyyp iijpjp ), 2 , 1( jixxp jijp ip ), 2 , 1( i1. 聯(lián)合概率分布聯(lián)合概率分布,邊緣分布邊緣分布 ),(ayxp ijijpayxji ),(xyixxx211y2yjy11p12pjp121p22pjp2.1 ip2ipijp. 1p 2p ip1 p2 pjp ipjp ),.(.yxvrc, 0),()1( yxf2),(ryx 1),()2(dxdyyxf),(yxf dyyxfxfx),()( dxyxfyfy),()(),(dyxp ddxdyyxf),(),(

10、),(00),(200yxfyxyxfyx (3) 在在 f (x, y)的連續(xù)點的連續(xù)點(x0, y0)處處 yxyxf, 1),(0)1(),(, 0),(lim),()3( xyxfxfy),(, 0),(lim),( yyxfyfx1),(lim),( yxffyx, 0),(lim),( yxffyx2. 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)(2) f (x, y) 是是x 和和y 的不減函數(shù)；的不減函數(shù)；),()0,(),(), 0()4(yxfyxfyxfyxf f (x, y)是每個變量的右連續(xù)函數(shù)；是每個變量的右連續(xù)函數(shù)；),(yxf xxyyijijp),.(.yxvrd),.(.yx

11、vrc),(yxf xydsdttsf),(,yyxxp )()(),(yfxfyxfyx 有有,ryx yypxxp 3. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性則稱隨機變量則稱隨機變量x 與與y 相互獨立相互獨立.),.(.yxvrd),.(.yxvrcjiijppp ), 2 , 1,( ji),(2ryx )()(),(yfxfyxfyx 4. 有關正態(tài)分布有關正態(tài)分布),(211 nx),(222121 nyx),(222 nyx 與與y 相互獨立相互獨立),(2iiinx xi1 niia).,(2121iniiiniiaan ni, 1 x1, x2, xn相互獨立相互獨立a1,an不

12、全為零不全為零，),(2 n,11 niixnx記記),(2nnx x2, xn獨立同正態(tài)分布獨立同正態(tài)分布5. 隨機向量的數(shù)字特征隨機向量的數(shù)字特征(1) 數(shù)學期望數(shù)學期望dydxyxxfxe ),()(dydxyxyfye ),()( 11)(ijijipxxe 1iiipx dxxfxx)( 11)(ijijjpyye 1jjjpy dyyfyy)(2) 協(xié)方差協(xié)方差和相關系數(shù)和相關系數(shù))()(),cov(yeyxexeyx )()(),cov(ydxdyxxy )(xye )()(yexe )()(xcecxe )()()(yexeyxe ,)(cce )(1111 niiniixen

13、xne)(2211nnxcxcxce , 0)( cd),()(2xdccxd (3) 性質性質)()()(2211nnxecxecxec ),()()(yexexye )()()()(2121nnxexexexxxe ),()()(ydxdyxd )()()()(2121nnxdxdxdxxxd niiniidxnxnd12111x 與與 y 相互獨立相互獨立,x1, x2, xn相互獨立相互獨立)()()(ydxdyxd 0),cov( yx)()()(yexexye xy = 0, (x 與與 y )x 與與 y x 與與 y 相互相互 )(yxd)()(ydxd ),cov(2yx (

14、1) 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理,1nxx獨立同分布，獨立同分布，,)( kxe), 2 , 1(0)(2 kxdk 6. 中心極限定理中心極限定理有有,rx )(21022xdtetx xnnxpnkkn 1lim bxapnkk1nnb0nna0 xpnpnppnn)1(lim (2) 棣莫佛棣莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理),(pnbn ),10( p有有,rx )(21022xdtetx bxap npa0)1 (pnpnpb0)1 (pnp 12,nxxx2( ,)xn 的一個樣本的一個樣本來自總體來自總體 x211( ,)niixxnnn 2(1)n 22221

15、(1)1()niinsxx /xtsn (1)t n /xun (0,1)n相互獨立相互獨立與與 xs2212,nyyy取自取自22(,)n 取自取自112,nxxx21(,)n 兩組樣本相互獨立兩組樣本相互獨立1212()()11wxytsnn 12 (2)t nn222112212(1)(1)2wnsnssnn 其中其中22212212,nyyy取自取自222(,)n 112,nxxx取自取自211(,)n 兩組樣本相互獨立兩組樣本相互獨立22112222/sfs 12(1,1)f nn 當當 時，時，12 2122sfs 12(1,1)f nn12,nxxx相互獨立相互獨立,222212

16、( )nxxxn1,2,in (0,1)ixn(0,1)xn2( )yn ( )/xtt ny n 相互獨立相互獨立,x y22()yn 21()xn 相互獨立相互獨立,x y12/x nfy n 12(,)f n n稱稱 是是無偏估計無偏估計. . ( )e 無偏性無偏性：.21有效有效比比稱稱 ),()(21 dd 如如的無偏估計，的無偏估計，是是 21, 有效性有效性:效的估計量是總體期望的無偏、有x.)(2的無偏估計的無偏估計是總體方差是總體方差xds1. 估計量好壞的標準估計量好壞的標準2. 點估計點估計矩估計法矩估計法niixnx11x),;(.)1(21mxfxvrc 的密度函數(shù)

17、的密度函數(shù)l nimixf121),;( ),;(.)2(21mxpxxpxvrd 概率分布概率分布l nimixp121),;( 似然函數(shù)似然函數(shù)極大似然估計極大似然估計 0ln0ln0ln21mlll 對數(shù)似然方程組對數(shù)似然方程組對數(shù)似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)lln0ln dld21)(0 u3. 區(qū)間估計區(qū)間估計unxunx,(1) 2 已知已知,的置信水平為的置信水平為的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是(2) 2未知未知,的置信水平為的置信水平為1- -的置信區(qū)間的置信區(qū)間)1(),1(ntnsxntnsx)1(nttp niixxsn122)()1(asnbsn22)1(,)1(2 的置信水平為的置信水平為1- -的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是,22 bp,212 apnxu0(1) 提出假設提出假設 (2) 選取統(tǒng)計量選取統(tǒng)計量(5) 下結論下結論.否定域否定域(4) 計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量2 2已知已知, ,關于關于的假設檢驗的假設檢驗(3) 給定給定, 臨界值臨界值00: huu u00: h(1) 提出假設提