聚焦位于第一象限的雙一次函數(shù)圖像(精)

1、精品資料歡迎下載聚焦位于第一象限的雙一次函數(shù)圖像一、已知兩條直線交點坐標(biāo)的雙一次函數(shù)圖像問題例 1、已知如圖1 所示，直線l 1 表示某機床公司一天的銷售收入與機床地的銷售量的關(guān)系，直線 l2 表示該公司一天的銷售成本與機床銷售量的關(guān)系。請根據(jù)圖像回答下面的問題：（1）、當(dāng) x=1 時，銷售收入為萬元，銷售成本為利潤（收入 - 成本）為萬元。（2）一天銷售件時，收入成本與銷售成本相等。萬元，（3）直線l1 對應(yīng)的函數(shù)表達式是。直線l2 對應(yīng)的函數(shù)表達式是。（ 4）你能寫出利潤 w 萬元與銷售量 x 件之間的函數(shù)關(guān)系嗎？分析：解答這類函數(shù)圖像問題時，同學(xué)們要能遵循如下的思路問題可能會比較順利的獲

2、得求解。具體的思路為：寫出圖像上能表示的關(guān)鍵點的坐標(biāo)：直線 l1 上的兩個關(guān)鍵點，坐標(biāo)分別為（0，0）和（ 2， 2）；直線 l2 上的兩個關(guān)鍵點，坐標(biāo)分別為（0，1）和（ 2， 2）；結(jié)合圖像設(shè)出函數(shù)的解析式， 把中的關(guān)鍵點分別代入所設(shè)的函數(shù)解析式中， 求出函數(shù)的解析式。充分理解圖像交點的意義：此時，對兩個函數(shù)來說，函數(shù)自變量的值相等，對應(yīng)的函數(shù)值也相等。會根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，比較函數(shù)值的大小。解：因為，直線 l 1經(jīng)過點（ 0， 0），所以，直線l 1 是正比例函數(shù)，設(shè) y1=k 1x，又因為，直線l 1 經(jīng)過點（ 2， 2），所以， 2=2 k1，所以， k1=1，即 y1=x ；因為，直線

3、 l 2經(jīng)過點（ 0， 1），不經(jīng)過原點，所以，直線l 2 是一般地一次函數(shù)，設(shè) y2=k 2x+1 ，精品資料歡迎下載又因為，直線l 2 經(jīng)過點（ 2， 2），所以， 2=2 k2+1，所以， k2=0.5 ，即 y2=0.5 x+1 ；所以，直線l 2 的解析式為：y2=0.5 x+1 ；所以，(1) 、當(dāng)x=1時， y1=x=1 （萬元）； y2=0.5 x+1= 1.5（萬元）；所以，當(dāng)x=1 時，銷售收入為1 萬元，銷售成本為1.5 萬元，利潤（收入 - 成本）為 1-1.5=-0.5（萬元）。（2）仔細觀察圖像，發(fā)現(xiàn)當(dāng)一天銷售2 件時，收入成本與銷售成本相等。（3）根據(jù)上面的解答，

4、知道直線l 1 對應(yīng)的函數(shù)表達式是y1=x ；直線l2 對應(yīng)的函數(shù)表達式是y2=0.5 x+1；（4）根據(jù)利潤=收入 - 成本的原理，所以，w= y1-y2=x- （ 0.5x+1 ） =0.5x-1。例 2、如圖2 所示，OA、BA分別表示甲、乙兩名學(xué)生運動的一次函數(shù)圖像。圖中s 和t 分別表示運動路程和時間，根據(jù)圖像判斷快者的速度比慢者的速度每秒快：(A) 2.5 米(B )2米 (C)1.5米(D) 1米分析：直線 OA 上的兩個關(guān)鍵點，坐標(biāo)分別為（0， 0）和（ 8， 64）；直線 BA 上的兩個關(guān)鍵點，坐標(biāo)分別為（0，12）和（ 8，64）；并且直線 OA 是正比例函數(shù)， 直線 BA

5、 是一次函數(shù)， 利用待定系數(shù)法分別求出函數(shù)的解析式，x 的系數(shù)的差， 就是甲乙的速度的差。解：因為，直線OA 經(jīng)過點（ 0， 0），所以，直線OA 是正比例函數(shù)，設(shè) y1=k 1x，又因為，直線 l 1 經(jīng)過點（ 8， 64），所以， 64=8k 1，所以， k1=8，即 y1=8x,也就是說甲的速度是每秒8 米；因為，直線 BA 經(jīng)過點（ 0， 12），不經(jīng)過原點，所以，直線BA 是一般地一次函數(shù)，設(shè) y2=k 2x+12 ，又因為，直線 BA 經(jīng)過點（ 8， 64），所以， 64 =8 k2+12 ，所以， k2=6.5 ，即 y2=6.5 x+12 ；所以，直線 BA 的解析式為： y2

6、=6.5 x+12,也就是說乙的速度是每秒6.5 米；所以，甲乙的速度之差為 8-6.5=1.5（米）。所以，選擇 C。精品資料歡迎下載二、已知兩條直線交點的某一個坐標(biāo)的雙一次函數(shù)圖像問題例 3、如圖 3 所示，是甲、乙兩個彈簧的長度y（厘米）與所掛重物系圖，當(dāng)所掛重物的質(zhì)量為1kg 時，甲彈簧的長度與乙彈簧的長度的差是分析：在這里，關(guān)鍵是理解圖像交點坐標(biāo)的意義，當(dāng)彈簧掛重物的質(zhì)量等于交點的橫坐標(biāo)時，兩個彈簧的長度是相等。從圖像上看出，甲、乙兩根彈簧圖像的交點的橫坐標(biāo)為1，此時，兩根彈簧的長度是相等的，所以，甲彈簧的長度與乙彈簧的長度的差是0.解：甲彈簧的長度與乙彈簧的長度的差是0.x（ kg

7、）之間的函數(shù)關(guān)。例 4、某單位急需用車，但又不準(zhǔn)備買車，他們準(zhǔn)備和一個體車主或一國營出租車公司其中的一家簽訂月租車合同，設(shè)汽車每月行駛x 千米，應(yīng)付給個體車主的月費用是y1 元，應(yīng)付給出租車公司的月費用是y2 元，應(yīng)付給出租車公司的月費用是y1、y2 分別與x 之間的函數(shù)關(guān)系圖像( 兩條射線) 如圖，觀察圖象回答下列問題：1. 每月行駛的路程在什么范圍內(nèi)，租國營公司的車合算？2. 每月行駛的路程等于多少時，租兩家車的費用相同？3.如果這個單位估計每月行駛的路程為2300 千米，那么這個單位租哪家的車合算分析：本題是考查學(xué)生對一次函數(shù)圖像的識圖能力，和解釋圖像所反映的實際生活問題的意義的能力。在

8、這里，兩條圖像的交點，表示當(dāng)行駛1500 千米時，付給個體車主的月費用和付給出租車公司的月費用是相等的，除這個點外， 所要支付的費用就不會再相等了。圖像在上，就意味著多支付費用。只要理解了這些，本題的解答就顯得那么的容易了。此時，交點的橫坐標(biāo)成為了判斷哪一種方式更合算的分界點。解：1）從圖像上，可以看出，當(dāng) x 1500 時， y1 y2。 所以當(dāng)每月行駛的路程在 x1500 千米的范圍內(nèi)時，租國營公司的車合算。2、 從圖像上，可以看出，兩條圖像的交點，表示當(dāng)行駛1500 千米時，付給個體車主的月費用和付給出租車公司的月費用是相等的，所以每月行駛的路程等于1500 千米時，租兩家車的費用相同。

9、3、 如果這個單位估計每月行駛的路程為2300 千米，因為2300 1500 ，根據(jù) 1）的意義可以知道租國營公司的車合算。例 5、一條高速公路上，一輛轎車和一輛貨車沿相同的路線從程 y（千米）與時間 x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系圖像如圖A 地開往B 地，所行駛的路5 所示，請你根據(jù)圖像，回答下面精品資料歡迎下載的問題：（1）貨車比轎車早出發(fā)小時；轎車追上貨車時，行駛了千米；A 地到 B 地的路程是千米。（2）轎車追上貨車時，轎車行駛了小時。（3）轎車比貨車早到小時。分析：（1）貨車比轎車早出發(fā)的時間，從時間軸上的直線起點的差上找答案，貨車的起點橫軸上的坐標(biāo)為0，轎車在橫軸上的坐標(biāo)為 1，所以，

10、坐標(biāo)的差是1，也就是貨車比轎車早出發(fā)1 個小時；轎車追上貨車時， 行駛的路程， 就是看交點的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)的值，看坐標(biāo)在 y 軸的正半軸上所對應(yīng)數(shù)值是 150，因此，轎車追上貨車時，行駛了150 千米；A 地到 B 地的路程，就是圖上點N 的縱坐標(biāo) 300，所以， A 地到 B 地的路程是 300 千；（2）貨車行駛的路程與時間的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)，設(shè)y=kx ，根據(jù)圖像，知道圖像還經(jīng)過（5， 300），所以， 300=5k，解得： k=60 ，所以，函數(shù)的解析式為： y=60x ，設(shè)交點的坐標(biāo)為（t， 150），所以， 150=60t，解得： t=2.5 ，即貨車行駛2.5小時，兩車相遇 ,

11、 由于貨車比轎車早出發(fā)1個小時 , 所以 , 轎車追上貨車時，轎車行駛了1.5個小時；（3）設(shè)轎車的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b ，把 x=1 ， y=0 和 x=2.5 ， y=150 分別代入上式，得：k+b=0 ，2.5 k+b=150 ，解得： k=100， b=-100 ，所以，函數(shù)的解析式為：y=100x-100 ，當(dāng) y=300 時， 300=100x-100 ，解得： x=4，所以，轎車行駛?cè)逃脮r間為：4（小時），精品資料歡迎下載而貨車走完全程所用的時間為5 小時，所以，轎車比貨車早到1 個小時。解：答案略。三、隱藏兩條直線交點坐標(biāo)的雙一次函數(shù)圖像問題例 6、為迎接2008 年

12、北京奧運會，某學(xué)校組織了一次野外長跑活動，參加長跑的同學(xué)出發(fā)后，另一些同學(xué)從同地騎自行車前去加油助威。如圖5，線段 L1， L2 分別表示長跑的同學(xué)和騎自行車的同學(xué)行進的路程y（千米）隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象。根據(jù)圖象，解答下列問題：（1）分別求出長跑的同學(xué)和騎自行車的同學(xué)的行進路程y 與時間x 的函數(shù)表達式；（2）求長跑的同學(xué)出發(fā)多少時間后，騎自行車的同學(xué)就追上了長跑的同學(xué)？（ 08年宜賓市）分析：解答這類函數(shù)圖像問題時，同學(xué)們要能遵循如下的思路問題可能會比較順利的獲得求解。具體的思路為：寫出圖像上能表示的關(guān)鍵點的坐標(biāo)：直線 l1 上的兩個關(guān)鍵點，坐標(biāo)分別為（0，0）和（ 60， 10

13、）；直線 l2 上的兩個關(guān)鍵點，坐標(biāo)分別為（20，0）和（ 40， 10）；結(jié)合圖像設(shè)出函數(shù)的解析式， 把中的關(guān)鍵點分別代入所設(shè)的函數(shù)解析式中， 求出函數(shù)的解析式。充分理解圖像交點的意義：此時，對兩個函數(shù)來說，函數(shù)自變量的值相等，對應(yīng)的函數(shù)值也相等。解：因為，直線l 1 經(jīng)過點（ 0， 0），所以，直線l 1 是正比例函數(shù)，設(shè) y1=k 1x，又因為，直線l 1 經(jīng)過點（ 60， 10），精品資料歡迎下載所以， 10 =60 k 1，所以， k1= 1 ，即 y1= 1 x；66因為，直線l 2 經(jīng)過點（ 20， 0），不經(jīng)過原點，所以，直線l2 是一般地一次函數(shù)，設(shè) y2=k 2x+b ，所

14、以， 20 k2+b=0又因為，直線 l 2 經(jīng)過點（ 40， 10），所以， 10 =40k 2+b，所以， k2=0.5 ， b=-10 ，即 y2 =0.5x-10 ；所以，長跑的函數(shù)解析式為：1x ,騎車的函數(shù)解析式為：1yyx 1062（ 2）因為，騎自行車的同學(xué)就追上了長跑的同學(xué)的意義就是兩隊相遇的意思，此時，坐標(biāo)的特點是實現(xiàn)了兩個“同” ，即此時函數(shù)的橫坐標(biāo)相同，對應(yīng)的縱坐標(biāo)相同，也就是求兩個y1 x函數(shù)圖像的交點坐標(biāo)，所以，聯(lián)立兩個解析式，得方程組：6，1 x 10y2解得： x=30,y=5, 即長跑的同學(xué)出發(fā)了30 分鐘后，騎自行車的同學(xué)就追上了長跑的同學(xué)。例 7、我邊防局

15、接到情報，近海處有一艘有一只可疑船只A 正向公海方向行駛，邊防局迅速派出快艇B 追趕，如圖7 所示，在圖8 中，直線 l 1、 l 2 分別表示兩船相對于海岸的距離 s（海里）與追趕時間 t（分）之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像回答下列問題：（ 1）哪條線表示 B 到海岸的距離與追趕的時間之間的函數(shù)關(guān)系？（ 2） A 、 B 哪個的速度快？（ 3） 15 分鐘內(nèi) B 能追上 A 嗎？（ 4）如果一直追下去 B 能追上 A 嗎？（5）當(dāng) A 逃到離海岸12 海里的公海時，B 將無法對其進行檢查，照此速度，B 能否在 A逃入公海前將其攔截？精品資料歡迎下載分析：解答這類函數(shù)圖像問題時，同學(xué)們要能遵循如下的

16、思路問題可能會比較順利的獲得求解。具體的思路為：寫出圖像上能表示的關(guān)鍵點的坐標(biāo)：直線 l1 上的兩個關(guān)鍵點，坐標(biāo)分別為（ 0， 0）和（ 10，5）；直線l2 上的兩個關(guān)鍵點，坐標(biāo)分別為（ 0， 5）和（ 10，7）；結(jié)合圖像設(shè)出函數(shù)的解析式，把中的關(guān)鍵點分別代入所設(shè)的函數(shù)解析式中，求出函數(shù)的解析式。解：因為，直線l 1 經(jīng)過點（ 0， 0），所以，直線l 1 是正比例函數(shù)，設(shè) y1=k 1x，又因為，直線l 1 經(jīng)過點（ 10， 5），所以， 5 =10 k1，所以， k1=0.5 ，即 y1=0.5 x；因為，直線 l 2經(jīng)過點（ 0， 5），不經(jīng)過原點，所以，直線l 2 是一般地一次函數(shù)

17、，設(shè) y2=k 2x+5 ，又因為，直線l 2 經(jīng)過點（ 10， 7），所以， 7 =10 k2+5，所以， k2=0.2 ，即 y2=0.2 x+5 ；所以，直線 l 2 的解析式為： y2=0.2 x+5 ；所以，（1）因為 t=0 時， s=0 是 B 船的最大特點，所以，直線l 1 表示 B 到海岸的距離與追趕的時間之間的函數(shù)關(guān)系；（ 2） A 、 B 哪個的速度快，有三種方法來判斷：比較 x 的系數(shù)大?。阂驗椋?B 的 x 的系數(shù)是 0.5 ， A 的 x 的系數(shù)是 0.2 ，所以， B 的速度快；精品資料歡迎下載比較等時間內(nèi)增量的大?。簩τ?B 來說，當(dāng)時間t 從 0 增到 10

18、時，對應(yīng)的函數(shù)值從0 增到 5，增量為5；而對于 A 來說，當(dāng)時間t 從 0 增到 10 時，對應(yīng)的函數(shù)值從5 增到 7，增量為7-5=2 ，所以， B 的速度快；比較圖像的傾斜度：仔細觀察圖像不難看出B 的傾斜度大，所以， B 的速度快；評析：比較 x 的系數(shù)大小，系數(shù)大的速度大；比較等時間內(nèi)增量的大小，增量大的，速度大；比較圖像的傾斜度，與x 軸的夾角大的速度大。（3） 15 分鐘內(nèi) B 能追上 A 嗎？這一問的意思，就是當(dāng)t=15 分時，求出對應(yīng)的函數(shù)值，比較而者的大小。解：當(dāng)t=15時，y1=0.5 x=0.5× 15=7.5y2=0.2 x+5= 0.2 × 15+5=8 ；y1 y2，所以， 15 分鐘內(nèi) B 不能追上A ；（4）如果一直追下去B 能追上 A 嗎？這一問，實際上就是問你，這兩條直線是否有交點的問題， 當(dāng)然，也就是直線是平行還是相交的問題，只有當(dāng)函數(shù)的x 的系數(shù)相等時， 直線是平行的，否則，就一定相交，在這里x 的系數(shù)分別是0.2 和 0.5 ，所以，兩條直線一定相交，所以，一直追下去B 一定能追上A 。（5）當(dāng) A 逃到離海岸12 海里的公海時，B 將無法對其進