[院校資料]高數(shù)定積分習題

1、第6章 定 積 分第6章 定 積 分§6. 1 定積分的概念與性質(zhì)1概念 定積分表示一個和式的極限其中：，；幾何意義：表示，所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和可積的必要條件：在區(qū)間上有界可積的充分條件：（可積函數(shù)類）（1）若在上連續(xù)，則必存在；（2）若在上有界，且只有有限個第一類間斷點，則必存在；（3）若在上單調(diào)、有界，則必存在。2. 性質(zhì)（1） ； （2） ； （3） ； （4） （5） （6）若， 則推論1：若， 則推論2： （7）若， 則（8）若在上連續(xù)，在上不變號，存在一點 特別地，若，則至少存在一點，或，使得 （9）若在上連續(xù)，則其原函數(shù)可導，且（10）若在上連續(xù)，且，則§

2、6. 2 定積分的計算1. 換元法 2. 分部法 ，或3. 常用公式（1）（2），其中，為連續(xù)偶函數(shù)（3），其中（4）（5）（6） （7）（8）（9）（10）§6. 3 廣義積分1. 無限區(qū)間的積分（無窮積分）（1）定義與性質(zhì)，若極限存在，則原積分收斂；，若極限存在，則原積分收斂；，必須右邊兩積分都收斂，原積分才收斂；，具有相同斂散性；，即收斂積分和仍收斂（2）審斂法比較審斂法：設(shè)，則比較法的極限形式：設(shè)，則柯西審斂法：設(shè)，則特別地，絕對收斂與條件收斂：2. 無界函數(shù)的積分（瑕積分）（1）定義與性質(zhì)（），若極限存在，則原積分收斂；（），若極限存在，則原積分收斂；（），兩積分都收斂，原

3、積分才收斂；，具有相同斂散性；，即收斂積分和仍收斂（2）審斂法比較審斂法：設(shè)非負，且，若，則比較法的極限形式：若，則柯西審斂法：若，或，則特別地，§6. 5 典型例題解析1變限積分的求導與應(yīng)用解題思路 （1）利用公式（2）若被積函數(shù)含積分限變量，需用變量代換化為變限積分的一般形式求解；（3）變限積分是由積分限位置變量決定的函數(shù)，它與積分變量無關(guān)。利用變限積分的求導同樣可以分析函數(shù)的特性。例1 求下列函數(shù)的導數(shù)（1）； （2）；（5），求；（6）設(shè)，其中具有二階導數(shù)，且，求（1）解 令，當時，；當時，., （2）解 令，當時，；當時，.; （5）解 （6）解 ， 習題（3）； （4）例

4、2 設(shè)，求（1）將的極大值用表示出來；（2）將（1）的看作的函數(shù)，求為極小值時的值。解（1），令，得當時，極大值為當時，極大值為（2）當時，令，得，故時，為極小值；當時，單調(diào)下降，無極值。2利用定積分定義求和式的極限解題思路 若將積分區(qū)間等分，取，則例3 求下列極限（1） 解法1 其中，將等分，解法2 其中：將等分，（2）解法1 由于 且 ； 故由夾逼定理知 原式解法2 由于，則（4），其中連續(xù)，并求解 原式習題（3）3. 利用定積分的性質(zhì)求極限解題思路 （1）若極限含定積分，可利用定積分的中值定理求解；或利用定積分的估值性質(zhì)建立不等式，用夾逼定理求解；（2）若極限含變限積分，可利用羅必達法、

5、夾逼定理和周期函數(shù)的定積分性質(zhì)求解。例4 求下列極限（1）解法1 ， 解法2 由定積分的第一中值定理有，（2）解 由于，則例5 設(shè)在上連續(xù)，且，求解法1 由于在上連續(xù)，必有，則 解法2 由定積分的第一中值定理有，例6 確定常數(shù)的值，使 解 由于 ， 例7 設(shè)，求解 5利用換元法求定積分解題思路 （1）計算定積分時，必須考慮積分變元的變化范圍和應(yīng)用牛萊公式的條件。（2）應(yīng)用第一類換元法（湊微分法）直接求解；（3）若被積函數(shù)含，分別令，；（4）作變量代換時須相應(yīng)改變積分限。一般地，積分區(qū)間為，令；積分區(qū)間為，令。（5）被積函數(shù)為，或型積分變量代換條件：積分上下限不變或換位，變換前后形式為 ；或 例

6、12 求下列定積分（1）； （2）；（5）； （6） （1）解 （2）解 令，；，（5）解法1 令，；，解法2 利用公式求解（6）解 令，；，例13 求下列定積分（1）； （2）（1）解法1 令，；， 解法2 利用公式 （2）解 令，；，習題（3） （4）（4）解 令，則 6利用分部法求定積分解題思路 一般計算方法與不定積分分部法類似。（1）若被積函數(shù)含，將，取作，其余部分取作；（2）若被積函數(shù)含變限積分，將變限積分取作，其余部分取作；或?qū)⒃e分化為二重積分，再改變積分次序求解。例14 求下列定積分（1）； （2）；（5）設(shè)在上二階連續(xù)可微，求（1）解 （2）解 因為 所以 （5）解 習題（3

7、）； （4）例15 求下列定積分（1）設(shè)，求解法1 解法2 （3）設(shè)在上連續(xù)，且，求解法1 由于，則解法2 習題（2）設(shè)，求7利用公式求定積分解題思路 利用恒等變形和變量替換法將積分或部分積分化為已知公式標準型求解例16 求下列定積分（1）； （2）；（3）； （1）解 其中， （2）解 令，則 其中，令，（3）解法1 解法2 由于，則習題（4），為任意實數(shù)8利用積分區(qū)間的對稱性計算定積分解題思路 （1）若被積函數(shù)是奇、偶函數(shù)，用奇偶函數(shù)的定積分性質(zhì)求解（2）若被積函數(shù)不是是奇、偶函數(shù)作負代換求解；（3）若，為連續(xù)偶函數(shù)，則，注意，可直接驗證，則， 例17 求下列定積分（3）； （3）解 由于

8、為奇函數(shù)，故例19 已知 ，試求值。解 令，則由于為奇函數(shù)，故取，可使積分為，即例18 設(shè)在上連續(xù)，為偶函數(shù)，且，為常數(shù)，證明：（1）；（2）求解證（1） 令，又，故有 解（2） 因為，所以，當時，即。由（1）的結(jié)論有習題（1）； （2）； （4） 9分段函數(shù)及含絕對值號函數(shù)的定積分解題思路：（1）以函數(shù)分段點將積分區(qū)間分為相應(yīng)子區(qū)間，利用定積分的對區(qū)域可加性求解；（2）當被積函數(shù)是給定函數(shù)的復合函數(shù)時，用變量代換化為給定函數(shù)的形式求解；（3）令絕對值表達式為零，去掉絕對值符號，再用分段函數(shù)積分法求解。例20 求下列定積分（1），其中解 設(shè) ，當時，；當時，（2）設(shè)，求解 為偶函數(shù)習題（3）1

9、0含定積分、變限積分方程的求解解題思路 （1）若方程含定積分，令定積分為，方程兩邊再取相同積分限的定積分求解；（2）若方程含變限積分，方程兩邊求導化為微分方程求解；例21 求解下列各題（1）設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求解 設(shè)，則，兩邊取到 的定積分 （2）設(shè)，求，解 兩邊求導 當時，得 （3）已知是連續(xù)函數(shù)，且滿足，求使達到極大與極小值時的取值。解 令，則 ， ， （4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導，其反函數(shù)為，且滿足方程，求解 當時，對等式求導得，又，則 當時，由可知，得，故（5）設(shè)函數(shù)，滿足，且，求解 ，得微分方程 11利用定積分定義，性質(zhì)和幾何意義有關(guān)命題的證明技巧解題思路 （1）利用已知不等式將函數(shù)改寫為和

10、式的極限，再由定積分的定義求證；（2）當函數(shù)單減時，曲邊梯形的面積個窄條矩形面積之和；例22 設(shè)為正值連續(xù)函數(shù)，求證證 利用已知不等式 例23 設(shè)在上連續(xù)，證明解 由定積分的對區(qū)域可加性質(zhì)有則 ，其中，最后一步為對等分，取例24 證明下列各題（1）設(shè)在連續(xù)，且對任意有，（常數(shù)）證明：為周期函數(shù)。證 （2）設(shè)在連續(xù)，且對任意正數(shù)積分與無關(guān)，求證：，為常數(shù)。證 因為與無關(guān)，所以 取， （3）設(shè)，其中在上連續(xù)，單調(diào)遞增，且，證明：在上連續(xù)且單調(diào)遞增。證 當時，顯然連續(xù)，又故在處連續(xù)，從而在上連續(xù)，由于單調(diào)遞增，則，故單調(diào)遞增12應(yīng)用介質(zhì)定理、微分和積分中值定理的命題解題思路 （1）若結(jié)論不含，則將結(jié)

11、論改寫為的形式，左邊設(shè)為輔助函數(shù)，用介質(zhì)定理、微分和積分中值定理求解；（2）若結(jié)論含，將結(jié)論左邊改寫為某微分中值定理的標準形式（右邊含），再由此作輔助函數(shù)（有時需將所含定積分化為積分上限的函數(shù)），用微分和積分中值定理求解；（3）若結(jié)論為含的微分方程，可由觀察法或解方程求出輔助函數(shù)，用微分和積分中值定理求解。例27 設(shè)在上連續(xù)，且，證明方程，在內(nèi)有且僅有一個實根。證 存在性：設(shè)，由題設(shè)知在上連續(xù)，且；由零點定理必有 ，唯一性：，故在內(nèi)單調(diào)增加，零點唯一例28 設(shè)，在上連續(xù)，證明至少，使得（1）；（2），（1）證 由于設(shè)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，由羅爾定理至少，使得，即（2）證法1 設(shè)，顯然，

12、在上滿足柯西條件，且，所以，證法2 令，設(shè)，顯然在上連續(xù)，又，由羅爾定理，在內(nèi)至少存在一點，使，即 例29 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且滿足，（），證明：至少存在一點，使得證 由于結(jié)論為微分方程型，而端點函數(shù)值的被積函數(shù)即為方程的解，故設(shè)，由積分中值定理至少存在一點，使得 又在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由羅爾定理有，使得 例30 設(shè)在上連續(xù)，求證：在內(nèi)至少存在兩點，使得證法1 令，則，且，又由積分中值定理有 ，于是，對在，上分別應(yīng)用羅爾定理得，；，證法2 令，則，且若在內(nèi)無零點，則在內(nèi)不變號，矛盾，故必有，由羅爾定理有，使得 證法3 ， ， 若只有一個零點，則在及內(nèi)定號。在及內(nèi)同號，不妨設(shè)，則，矛盾在及內(nèi)

13、異號，不妨設(shè)，；，則 ，矛盾故在內(nèi)至少存在兩點，使得13定積分不等式的證明解題思路 常用定理：定積分的比較定理，估值定理，函數(shù)單調(diào)性判別法，微分與積分中值定理，泰勒公式；常用不等式：，柯西不等式常用等式：，（1）利用換元法、分部法或周期函數(shù)的定積分性質(zhì)直接求證；（2）若僅知被積函數(shù)連續(xù)：作輔助函數(shù)，將結(jié)論所含定積分化為變限積分，移項使右邊為零，左邊即為輔助函數(shù)，再用函數(shù)單調(diào)性或求證。（3）若已知被積函數(shù)可導，且至少有一端點：將函數(shù)化為變限積分，即，或求證； （4）若已知被積函數(shù)二階可導：將被積函數(shù)按泰勒公式展開并縮放，利用定積分比較定理求證。例32 設(shè)，（1）當為正整數(shù)，且時，證明：；（2）求

14、證（1），； ，（2），由夾逼準則 例33 設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明：當時，證法1 由定積分對區(qū)域的可加性和中值定理有 證法2 令，則， ，故證法3 令，則， 故時， 例35設(shè),在上連續(xù)，且滿足關(guān)系式，證明：.證 設(shè)，則， 由于，故 例36 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，證明：證法1 證法2 由拉格朗日定理有， ， 例37 設(shè)在上有連續(xù)二階導數(shù)，且，證明：證 在內(nèi)必有最大值。設(shè)，由拉氏定理有 從而 其中最后一步運用了公式，）例38 證明下列不等式（1）設(shè)在上有連續(xù)導數(shù)，且，證明：證 ，（3）證明：，證 令，由柯西不等式 （4）設(shè)在上連續(xù)，且，證明：證 ， 兩邊積分 注意：一般地，若，在上連續(xù)，則

15、有習題（2）設(shè)在上連續(xù)，且，證明例39 證明下列各題（1）設(shè)在上連續(xù)且，證明：證 ，（2）若，證明：證法1 將在展開為一階泰勒公式，并注意到 左邊得證其中，將，分別在處展開為一階泰勒公式，并注意到，有 右邊得證證法2 由左邊不等式，設(shè) 故單調(diào)不減， 左邊得證由右邊不等式，設(shè) 故單調(diào)不減， 右邊得證綜上所述 14廣義積分的計算解題思路 分清積分的類型。一般將無窮積分，瑕積分化為常義積分，再取極限求解；混合型廣義積分則須拆分積分區(qū)間，按無窮積分和瑕積分分別求解。例40 計算下列廣義積分（1）； （2）；（5）； （7），（1）解法1 其中，解法2 令，則（2）解 （5）解 ，由定積分周期函數(shù)的性質(zhì)有（7）解 ；習題（3）； （4）；（6）；例41 計算下列廣義積分（已知）（1）； （2）（1）解 令，則（2）解 15廣義積分審斂法技巧解題思路 熟記各種審斂法，注意求極限的主部原則和等價無窮小的應(yīng)用例42 討論下列廣義積分的斂散性（1）；（3）； （4）；（5）； （1）解 利用柯西審斂法 由于，故原積分收斂（3）解 利用柯西審斂法， ， 收斂故 收斂（4）解 利用柯西審斂法，原式 收斂 收斂 ，原積分收斂（5）解 ，收斂 收斂，收斂 絕對收斂故由比較法知原積分收斂。習題（6）（為正常數(shù)）（6）解 由于 當，即時，原積分收斂；當，即時，原積分發(fā)散例44 設(shè)