函數曲線的凹凸性91655

1、6.6 6.6 曲線的凹凸性與拐點及漸近線曲線的凹凸性與拐點及漸近線 曲線的凹凸性定義曲線的凹凸性定義 凹凸性的判定凹凸性的判定 曲線的拐點及其求法曲線的拐點及其求法 漸近線漸近線 小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方abc定義定義的（或凸?。┑模ɑ蛲够。┥系膱D形是（向上）凸上的圖形是（向上）凸在在那末稱那末稱如果恒有如果恒有的（或凹?。┑模ɑ虬蓟。?/p>

2、上的圖形是（向上）凹上的圖形是（向上）凹在在那末稱那末稱恒有恒有點點上任意兩上任意兩如果對如果對上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設設ixfxfxfxxfixfxfxfxxfxxiixf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹在在那末稱那末稱的的或凸或凸內的圖形是凹內的圖形是凹且在且在內連續(xù)內連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abab遞增遞增)(xf abba0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(

3、),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內內若在若在一階和二階導數一階和二階導數內具有內具有在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 證證20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之間之間與與在在xx )()()(000 xxxfxfxf即即)()()(000 xxxfxfxf ),(0bax 任取任取 泰勒公式泰勒公式),(bax 處的切線處的切線在在曲線曲線0)(xxfy 0 20)(! 2)(xxf ),(bax 0)( xf若若)()()(000 xxxfxfxf 10010()()

4、()()(1)f xf xfxxx 20020()()()()(2)f xf xfxxx 1100120()()2 ()()(2)f xf xf xfxxxx (1)(2)02 ()f x 01112()()().22f xf xxxf 即即例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線0 ,(時，時，當當0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0 .)0 , 0(點點是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點點注意到注意到,三、曲線的拐點及其求法連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱

5、為曲線的拐點曲線的拐點.1 1、定義、定義注意注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2 2、拐點的求法、拐點的求法, 0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內二階可導的鄰域內二階可導在在設函數設函數;)(,(,)()1(000即為拐點即為拐點點點變號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 方法方法1:1:例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0

6、 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為0000( )()()limxxfxfxfxxx 不不妨妨0 00( )fxx 在在兩側異號，兩側異號，0 x是拐點。是拐點。方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐點的拐點線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內三階可導的鄰域內三階可導在在設函數設函數xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐點的拐點內內求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cos

7、sinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 內曲線有拐點為內曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的拐點的拐點是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點點不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4.3的拐點的拐點求曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導點是不可導點yyx , 0,)0 ,( y內內但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內內在在.), 0上是凸的上是凸的曲線

8、在曲線在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 四、漸近線定義定義: :.)(,)(一條漸近線一條漸近線的的就稱為曲線就稱為曲線那么直線那么直線趨向于零趨向于零的距離的距離到某定直線到某定直線如果點如果點移向無窮點時移向無窮點時沿著曲線沿著曲線上的一動點上的一動點當曲線當曲線xfyllppxfy 1.1.鉛直漸近線鉛直漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線垂直于垂直于 x000lim( )lim( )( )xxxxf xf xyfxxx 如如果果或或那那么么就就是是的的一條鉛直漸近線一條鉛直漸近線.例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條: :. 3, 2 xx2.

9、2.水平漸近線水平漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線平行于平行于 xlim( )lim( )()( )xxf xf xbybbxbfy 如如果果或或是是常常量量那那么么就就是是的的例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy一條水平漸近線一條水平漸近線.3.3.斜漸近線斜漸近線lim ( )0 1lim ()0( ,)()(xxf xf xaaxbaxbyaxbbyf x 如如果果（）或或是是常常量量那那么么就就是是的的斜漸近線求法斜漸近線求法:( )lim,xf xax lim ( ).xf xbax.)(的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是曲線就是曲線那么那么

10、xfybaxy 一條斜漸近線一條斜漸近線.:, 的的公公式式下下面面求求計計算算ba由由(1)式和式和0)()(1lim baxxfxx,為為無無窮窮大大x )(limxbaxxfx,后后求求出出a)(limaxxfbx xxfax)(lim axxfx)(lim0,)1(ba式式可可確確定定代代入入將將有有即即從而從而注意注意:( )(1) lim;xf xx如如果果不不存存在在,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜漸近線不存在斜漸近線可以斷定可以斷定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的漸近線的漸近線求求 xxxxf解解)., 1()

11、1 ,(:d )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲線的鉛直漸近線是曲線的鉛直漸近線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是曲線的一條斜漸近線是曲線的一條斜漸近線 xy的兩條漸近線如圖的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)( xxxxf的漸近線，的漸近線，曲線曲線)2)(1(| xxxxy共有共有)(b)(a選擇題選擇題:1條條.)(d2條條.)(c3條條.4條條.五、小結曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點

12、拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點的求法拐點的求法1, 2.三種漸近線的求法三種漸近線的求法.思考題思考題設設)(xf在在),(ba內二階可導，且內二階可導，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，則，則,(0 x)(0 xf是否一定為是否一定為曲線曲線)(xf的拐點？舉例說明的拐點？舉例說明.思考題解答思考題解答例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲線并不是曲線)(xf的拐點的拐點.不一定！不一定！一、一、 填空題：填空題：1 1、 若函數若函數)(xfy 在在 （ba,） 可導， 則曲線） 可導， 則曲線)(xf在在( (ba,) )內取凹的充要條件是內取

13、凹的充要條件是_._.2 2、 曲線上曲線上_的點，稱作曲線的拐點的點，稱作曲線的拐點 . .3 3、 曲線曲線)1ln(2xy 的拐點為的拐點為_._.4 4、 曲線曲線)1ln(xy 拐點為拐點為_._.二、二、 求曲線求曲線xeyarctan 的拐點及凹凸區(qū)間的拐點及凹凸區(qū)間 . .三、三、 利用函數圖形的凹凸性，證明不等式：利用函數圖形的凹凸性，證明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲線四、求曲線 2sin2cot2ayax的拐點的拐點 . .練練 習習 題題五、五、 試證明曲線試證明曲線112 xxy有三個拐點位于同一直線有三個拐點位于同一直線上上 . .六、六、 問問a及及b為何值時，點為何值時，點(1,3)(1,3)為曲線為曲線23bxaxy 的拐點？的拐點？七、七、 試決定試決定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲線的拐點處使曲線的拐點處的法線通過原點的法線通過原點 . .一、一、1 1、),()(baxf在在 內遞增或內遞增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界點；、凹凸部分的分界點；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4