全微分與鏈式法則

1、 第八章 8.38.3.1、全微分、全微分全微分與鏈式法則8.3.2、鏈式法則、鏈式法則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( xoxa一元函數(shù) y = f (x) 的微分)()(xfxxfyxxf)(常數(shù)a與x 無關,僅與x 有關),(yxfz 對),(),(yxfyxxf 關于x 的高階無窮小 xyxfx),(對 x 的偏增量 對 x 的偏微分 ),(),(yxfyyxfyyxfy),(對 y 的偏增量 對 y 的偏微分 yd8.3.1、全微分、全微分引例引例: 一塊長方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了設面積為 a , 則0yy面積的增量為0000)(yxyyxxa)(00

2、yxyxxyyx 000yxaxy 0yx 關于x,y的線性主部故yxxya00稱為函數(shù)在 的全微分),(00yx0 x變到,0 xx分別由其邊長機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0y變到,0yy多少?0 xx時0, 0yx比 較高22yx階無窮小定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 d 的內點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oybxaz其中 a , b 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關，稱為函數(shù)),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分, 記作ybxafz dd若函數(shù)在域 d 內各點都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f

3、 ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，處全增量則稱此函數(shù)在在d 內可微內可微.一般地一般地ybxa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 偏導數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oybxa下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定義 :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點連續(xù)偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 即定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微可微 ,則該函數(shù)在該點偏導數(shù)yzxz,yyzxxzzd), (), (yf

4、yfzxxz同樣可證,byzyyzxxzzd證證: 因函數(shù)在點(x, y) 可微, 故 , )(oybxaz,0y令)(xoxa必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0lima反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx時例如沿路徑0 xy因此,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 .定理定理2 (充分條件)yzxz,（證略）若函數(shù)),(y

5、xfz 的偏導數(shù),),(連續(xù)在點yx則函數(shù)在該點可微分.yyzxxzzddd于是，全微分例例1. 計算函數(shù)在點 (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(yz,yxeyyxex)d2d(2yxe習慣上,yx ,分別記為yx d,d例例2. 計算函數(shù)的全微分. yxxyz)tan(解解: xzyz)(cos12xyyy12121x)(cos12xyxx23)21(y)(cos2xyyxxyd21)(cos2xyxyyyxd 2yyzxxzzddd例例3.3.計算的近似值. 02. 204. 1解解: 設

6、yxyxf),(,則),(yxfx取, 2, 1yx則)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx內容小結內容小結1. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關系:)( o偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一元復合函數(shù))(),(xuufy求導法則xuuyxydddddd本節(jié)內容本節(jié)內容:一、多元復

7、合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則二、多元復合函數(shù)的全微分二、多元復合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法則8.3.2、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則)(),(ttfz定理定理. 若函數(shù),)(, )(可導在點ttvtu),(vufz 處偏導連續(xù), ),(vu在點在點 t 可導, tvvztuuztzddddddz則復合函數(shù)且有鏈式法則vutt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( 全導數(shù)公式全導數(shù)公式 ),0t令,0,0vu則有to)(tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時,根式前

8、加“”號)tvtvtutudd,dd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 tvvztuuztzdddddd推廣推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. 例如, ),(wvufz 設下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(, )(, )(twtvtu3),(, ),(yxvvxfz當它們都具有可微條件時, 有xz121ffyz22 ffz xyx注

9、意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導,xf表示固定 v 對 x 求導xfxvvfyvvf與不同,v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 口訣口訣 : 連線相乘, 分叉相加, 單路全導, 叉路偏導例例1. 設設,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzd

10、dtvvzddtz求全導數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求 yxyxz2422)3(的偏導數(shù).解解: 設,24,322yxvyxu于是zvuyxyxxzxuuzxvvz,vuz 1vvux6uuvln4yzyuuzyvvz12422)3)(24(6yxyxyxx)3ln()3(4222422yxyxyx1vvuy2uuvln2例例4.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422s

11、in4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(1zyxzyxf例例5. 設 f 具有二階連續(xù)偏導數(shù), ),(zyxzyxfw求.xw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則21,ff機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 多元復合函數(shù)的全微分多元復合函數(shù)的全微分設函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)

12、(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達 形式都一樣, 這性質叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.8.3.3 一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)定理定理1.1. 設函數(shù)),(00yxp),(yxf;0),(00yxf則方程00),(xyxf在點單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxffxydd(隱函數(shù)求導公式)定理證明從略，僅就求導公式推導如下： 具有連續(xù)的偏導數(shù);的某鄰域內某鄰域內可唯一確定一個在

13、點的某一鄰域內滿足,0),(00yxfy滿足條件導數(shù)0)(,(xfxf兩邊對 x 求導0ddxyyfxfyxffxydd0yf,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設yxfxfy在),(00yx的某鄰域內則若f( x , y ) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yf3222yxyyyxyxyxxffffffffyxffxydd)(yxffy2yf二階導數(shù) :)(yxffxxyxxydd則還可求隱函數(shù)的 xxyyxxffffxyyyyxffff)(yxff例例4. 求由方程0 xxeyy解法一解法一 令所確定的y是x的函數(shù)的導數(shù).),(yxfxxeyyxfyfyxe11yeyxffxyddyyx

14、ee11yyxee11解法二解法二 方程兩邊對 x 求導01)dd(ddxyxeexyyyxyddyyxee11定理定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzffxz,的某鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù) ;則方程0),(zyxf在點),(00yx并有連續(xù)偏導數(shù), ),(000yxfz 定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導公式推導如下:滿足;0),(000zyxf,0),(000zyxfz 在點滿足:某一鄰域內可唯一確0),(,(yxfyxf兩邊對 x 求偏導xfzxffxzzyffyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設zyxfyxfz則zfxz00),(000zfzyx的某鄰域內在例例5. 設,04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對 x 求導解法解法2 利用公式設zzyxzyxf4),(222則,2xfxzxffxz兩邊對 x 求偏導)2(22zxxxz2)2()2(z