線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

1、6.5 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、高階線性微分方程的一般理論一、高階線性微分方程的一般理論二、二階常系數(shù)齊線性微分方程的解二、二階常系數(shù)齊線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解一、高階線性微分方程的一般理論一、高階線性微分方程的一般理論 n 階線性方程的一般形式為階線性方程的一般形式為 )()()()(1)1(1)(。xfyxpyxpyxpynnnn 0)( 階齊線性微分方程；階齊線性微分方程；時(shí)，稱為時(shí)，稱為當(dāng)當(dāng)nxf 0)( 階非齊線性微分方程；階非齊線性微分方程；時(shí)，稱為時(shí)，稱為當(dāng)當(dāng)nxf ) , 2 , 1 ( )( 數(shù)數(shù)

2、方方程程；均均為為常常數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，稱稱為為常常系系當(dāng)當(dāng)nixpi ) , 2 , 1 ( )( 系數(shù)方程。系數(shù)方程。不全為常數(shù)時(shí)，稱為變不全為常數(shù)時(shí)，稱為變當(dāng)當(dāng)nixpi 二階線性微分方程的一般形式為二階線性微分方程的一般形式為 )()()(。xfyxqyxpy : 0)( 時(shí)，方程稱為齊方程時(shí)，方程稱為齊方程當(dāng)當(dāng) xf 0)()(。 yxqyxpy) 1 ()2(通常稱通常稱 ( 2 ) 為為 ( 1 ) 的相對(duì)應(yīng)的齊方程。的相對(duì)應(yīng)的齊方程。 我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至自然推廣至 n 階線性方程中。階線性方程中。 6.5.1

3、函數(shù)組的線性無(wú)關(guān)和線性相關(guān)函數(shù)組的線性無(wú)關(guān)和線性相關(guān) )()( 21上有定義。上有定義。在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)ixyxy 21，使得，使得和和若存在不全為零的常數(shù)若存在不全為零的常數(shù)cc 0)()(2211，ixxycxyc )( )( 21上是線性相關(guān)的。上是線性相關(guān)的。在區(qū)間在區(qū)間與與則稱函數(shù)則稱函數(shù)ixyxy )( )( 21上是線性無(wú)關(guān)的。上是線性無(wú)關(guān)的。在區(qū)間在區(qū)間與與否則稱函數(shù)否則稱函數(shù)ixyxy時(shí)，才有時(shí)，才有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 0 21 cc 0)()(2211，ixxycxyc )( )( 21上線性無(wú)關(guān)。上線性無(wú)關(guān)。在區(qū)間在區(qū)間與與則則ixyxy 例例證證 sin cos

4、 無(wú)關(guān)的。無(wú)關(guān)的。線性線性在任何一個(gè)區(qū)間上均為在任何一個(gè)區(qū)間上均為與與證明：證明：xx sin cos 全為零全為零上線性相關(guān)，則存在不上線性相關(guān)，則存在不在某區(qū)間在某區(qū)間與與若若ixx )0( 221，使，使不妨設(shè)不妨設(shè)，的常數(shù)的常數(shù) ccc 0sincos21，ixxcxc tan 21。即即ixcccx 由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故 sin cos線性無(wú)關(guān)的。線性無(wú)關(guān)的。在任何一個(gè)區(qū)間上均為在任何一個(gè)區(qū)間上均為與與xx 例證證 1sin cos 22關(guān)關(guān)的的。線線性性相相在在任任何何區(qū)區(qū)間間上上均均為為與與證證明明： xx ) ,( 1 21時(shí)

5、，有時(shí)，有，則當(dāng)，則當(dāng)取取 xcc 01sincos)1(sincos222221， xxxcxc 1sin cos 22線線性性相相關(guān)關(guān)的的。在在任任何何區(qū)區(qū)間間上上均均為為與與故故 xx定理定理： )()( 21上有定義。上有定義。在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)ixyxy )()(11是是上上線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件在在區(qū)區(qū)間間與與則則ixyxy )(/ )( 21常數(shù)。常數(shù)。上上在區(qū)間在區(qū)間 xyxyi朗斯基朗斯基 ( wronsky ) 行列式行列式 )()( 21上有定義，且有一階上有定義，且有一階在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)ixyxy )()()()( )(),(212121

6、xyxyxyxyxyxyw )()( 21上的朗斯基行列式。上的朗斯基行列式。在區(qū)間在區(qū)間、稱為函數(shù)稱為函數(shù)ixyxy 導(dǎo)數(shù)，則行列式導(dǎo)數(shù)，則行列式朗斯基行列式可以推廣到朗斯基行列式可以推廣到 n 個(gè)函數(shù)的情形。個(gè)函數(shù)的情形。 0)(),( 21，若若ixxyxyw )()(21上上線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)。在在，則則函函數(shù)數(shù)ixyxy 例例 )2 , 0( 1 cossinsincos sin,cos。 xxxxxxxw )2 , 0( sin cos 上線性無(wú)關(guān)。上線性無(wú)關(guān)。在區(qū)間在區(qū)間與與故故 xx 1. 二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)定理定理6.1 疊

7、加原理疊加原理是二階齊線性微分方程是二階齊線性微分方程和和若若 )( )( 21xyxy 0)()( yxqyxpy的解，則它們的線性組合的解，則它們的線性組合)()(2211xycxyc 也是方程也是方程 (2) 的解，的解，)2( ) ( 21。不一定相互獨(dú)立不一定相互獨(dú)立為任意常數(shù)為任意常數(shù)、其中其中cc6.5.2 線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)證證 )2( )()()( 2211中，得中，得，代入方程，代入方程令令xycxycxy ) )()()() )()(22112211 xycxycxpxycxyc)()()(2211xycxycxq )()()()()

8、(22112211xycxycxpxycxyc )()()(2211xycxycxq )()()()()(1111xyxqxyxpxyc )()()()()(2222xyxqxyxpxyc 000， )2( )()()( 2211的解。的解。為方程為方程即即xycxycxy 0)()()(1)1(1)( yxpyxpyxpynnnn ) ., 2 , 1 ( )( 階齊線性微分方程階齊線性微分方程是是若若nnixyi 的解，則它們的線性組合的解，則它們的線性組合 niiixycxy1)()(也是方程也是方程 (2) 的解。的解。 ) ( ) , 2 , 1 ( 。不不一一定定相相互互獨(dú)獨(dú)立立為

9、為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中nici )2(在什么情況下，疊加所得可以成為方程在什么情況下，疊加所得可以成為方程 (2) 的通的通解？解？(2) 二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu) )()( 21是二階齊線性方程是二階齊線性方程、若若xyxy (2) 0)()( yxqyxpy的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則)()()(2211xycxycxy 是方程是方程 (2) 的通解。的通解。 0)()()( ，則方程，則方程若若 xqxpxh 0)()()( yxqyxpyxh 。必有一解必有一解xey )()( ，即可得證。，即可得證。的特點(diǎn)：的特點(diǎn)：由函數(shù)由函數(shù) xxx

10、xeeee 例例解解 0)1( 的通解。的通解。求方程求方程 yyxyx 01)1( ，所以，所以，因?yàn)橐驗(yàn)?xx xey 是原方程的一個(gè)解。是原方程的一個(gè)解。又容易看出：又容易看出： 也是原方程的一個(gè)解。也是原方程的一個(gè)解。xy 而而 )1( 1 ,， xeeexexwxxxx 0, 1 線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。與與，從而，從而，故，故由題意由題意xxexexwx 由疊加原理，原方程的通解為由疊加原理，原方程的通解為 21。xecxcy )()( 21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)、xyxy )( )( 21常數(shù)常數(shù)xyxy 0)()( )( 1的一個(gè)解，的一個(gè)解，是方程是方程如果已知如果已知 yxqyxpy

11、xy ? )( )( 21xyxy線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的解解如如何何求求出出方方程程的的一一個(gè)個(gè)與與 0)()( )( 1的一個(gè)非零解。的一個(gè)非零解。是方程是方程如果已知如果已知 yxqyxpyxy ),()()( )( )( 1212則則線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的解解：是是方方程程的的與與若若xcxyxyxyxy )()()(12，xyxcxy 代入方程中，得代入方程中，得 0)()()(2()()()(111111。 xcyxcyxpyxcyxqyxpy 1是方程的解，故得是方程的解，故得因?yàn)橐驗(yàn)?y 0)()()(2(111。 xcyxcyxpy )( xc關(guān)鍵是求出關(guān)鍵是求出怎么做？怎么做？

12、)( ，則有，則有令令xcz 0)(2(111。 zyxpyzy關(guān)于關(guān)于 z 的一階線性方程的一階線性方程即即 0 )(2111。 zyyxpyz故有故有 1)(d)(21d)(2111， xxpxyyxpyeyexcz兩邊積分，得兩邊積分，得 d1)(d)(21， xeyxcxxp )( 1線性無(wú)關(guān)的解線性無(wú)關(guān)的解與與xy d )()()()(21d)(112。 xyexyxyxcxyxxp 0)()( 的通解為的通解為從而，方程從而，方程 yxqyxpy )()(2211。xycxycy 關(guān)于關(guān)于 z 的一階線性方程的一階線性方程定理定理6.3 0)()( )( 1的一個(gè)非零解，的一個(gè)非零

13、解，是方程是方程若若 yxqyxpyxy d )()(21d)(12xyexyxyxxp )( 1線性無(wú)關(guān)的解，且線性無(wú)關(guān)的解，且是方程的與是方程的與xy )()(2211xycxycy 為原方程的通解。為原方程的通解。則則（劉維爾公式）（劉維爾公式） 例例解解 02 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 0121 ，所以，方程有解，所以，方程有解因?yàn)橄禂?shù)滿足：因?yàn)橄禂?shù)滿足： )(1。xexy 由劉維爾公式由劉維爾公式 d)()(2d)2(2，xxxxxexeeexy 故原方程的通解為故原方程的通解為 )(2121。xcceexcecyxxx 2. 二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階非齊線性微分

14、方程解的結(jié)構(gòu)(1) 解的性質(zhì)解的性質(zhì)是方程是方程若若 )(* xy)()()(xfyxqyxpy )( 1是其對(duì)應(yīng)的齊方程是其對(duì)應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解，而的一個(gè)特解，而xy0)()( yxqyxpy的一個(gè)特解，則的一個(gè)特解，則)(*)(1xyxyy 是原方程的一個(gè)特解。是原方程的一個(gè)特解。是方程是方程若若 )( 1xy)()()(1xfyxqyxpy )( 2是方程是方程的一個(gè)特解，而的一個(gè)特解，而xy)()()(2xfyxqyxpy 的一個(gè)特解，則的一個(gè)特解，則)()(21xyxyy 是方程是方程)()()()(21xfxfyxqyxpy 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。（定理（定理6.7）是方程是方

15、程與與若若 )( )( 21xyxy)()()(xfyxqyxpy 的任意兩個(gè)特解，則的任意兩個(gè)特解，則)()(21xyxyy 是其對(duì)應(yīng)的齊方程是其對(duì)應(yīng)的齊方程0)()( yxqyxpy的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。是方程是方程若若 )(i)(* 21xyxyy )(i)()()(21xfxfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。 )( 1是方程是方程的一個(gè)特解，則的一個(gè)特解，則xy )( 2是方程是方程的一個(gè)特解；的一個(gè)特解；xy)()()(2xfyxqyxpy （p.328定理定理6.8）是方程是方程若若 )(* xy)()()(xfyxqyxpy )( 是其

16、對(duì)應(yīng)的齊方程是其對(duì)應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解，而的一個(gè)特解，而xy0)()( yxqyxpy的通解，則的通解，則)(*)(xyxyy 是方程是方程 (1) 的通解。的通解。) 1 ()2(由性質(zhì)由性質(zhì)1 以及通解的概念立即可以得知該定理成立。以及通解的概念立即可以得知該定理成立。6.4.3 二階線性微分方程的常數(shù)變易法二階線性微分方程的常數(shù)變易法(例例6.45略略) )(* )()()( xyxfyxqyxpy的特解的特解求方程求方程 )()()( 2211是齊方程的通解：是齊方程的通解：設(shè)設(shè)xycxycxy 0 yxqyxpy)()()2( )( )( 2211為待定的可微函數(shù)。為待定的可微函數(shù)。

17、，令令xccxcc )()()()()( 2211是非齊方程的解：是非齊方程的解：設(shè)設(shè)xyxcxyxcxy )()()(，xfyxqyxpy ) 1 (則有則有 )()()()()()()()(22221111，xyxcxyxcxyxcxyxcy 令令 0)()()()(2211， xyxcxyxc)3(于是于是 )()()()(2211。xyxcxyxcy 對(duì)上式兩邊關(guān)于對(duì)上式兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 )()()()()()()()(22221111。xyxcxyxcxyxcxyxcy ) 1 ( 式，得式，得的表達(dá)式代入的表達(dá)式代入、將將yyy )()()()()()()()(222

18、21111xyxcxyxcxyxcxyxc )()()()()(2211xyxcxyxcxp )()()()()()(2211xfxyxcxyxcxq 這兩部分這兩部分為零。為零。即即 )()()()()(2211。xfxyxcxyxc )4(聯(lián)立聯(lián)立 (3)、(4) 構(gòu)成方程組構(gòu)成方程組 0)()()()(2211， xyxcxyxc )()()()()(2211。xfxyxcxyxc )( 2，則，則和和xc解此方程組，再積分，并取積分常數(shù)為零，即可得到解此方程組，再積分，并取積分常數(shù)為零，即可得到)(1xc )()()()()(*2211xyxcxyxcxy )()()( 的一個(gè)特解。的

19、一個(gè)特解。為方程為方程xfyxqyxpy 例例解解 22 的通解。的通解。求方程求方程xxeyyy 該方程所對(duì)應(yīng)的齊方程為該方程所對(duì)應(yīng)的齊方程為 02。 yyy它就是我們剛剛講過(guò)的例題，由劉維爾公式得其通它就是我們剛剛講過(guò)的例題，由劉維爾公式得其通解為解為 21。xxexcecy 由常數(shù)變易法，解方程組由常數(shù)變易法，解方程組 0 )( )(21， xxxexcexc 2)( )(21。xxxxexexexcexc 21xxexyey ) 1 ()2( ) 1 ()2(，得，得 2)(2，xxc 兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得 )(22。xxc ) 1 ( 式，得式，得代入代入 2)(21，xxc 兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得 32)(31。xxc 故原