專轉本高數(shù)定積分復習資料(同方)

1、106/ 34第四章定積分本章主要知識點定積分計算特殊類函數(shù)地定積分計算 變限積分定積分有關地證明題廣義積分斂散性定積分應用1)面積- dx0. x 11解：原式77土2t2-12t37232 25；2tdt=2dt= (t -t )|1二x#斗1t 11t 133TT例 4.3 .2xsin 2xdx0107/ 34A1H 1 JI解：原式=-Q2xd cos2x = - - xcos2x |2 2cos2xdx、特殊類函數(shù)地定積分計算i.含絕對值函數(shù)2例 4.4 .|x-1|dx12x2215解：原式=(1-x)dx (x-1)dx=2( x)h=20-(1)= 12 2 22例 4.5.

2、2 (I x 1| |x -1 |)dx1 1 2解：原式= 邛|x 1| |x -1|)dx (|x T| I x -1|)dx I x 1| - |x-1|)dx 1 2=2 ( -x -1 -x 1)dx亠I(x T 1 - x)dx亠I(x T x -1)dx122422=2-2xdx亠i2dx亠i2xdx=- x |4 x h=一(1一4)4(4 -1)=102.分段函數(shù)積分20101 2x2 44f (x)dx0f (x)dx=.x 1)dx .x dx=(例 4.6 .f(x)x2,x 0，求A +1,x蘭014f (x)dxJI414sin2x|2=4利用函數(shù)地可拆分性質，插入

3、使絕對值為0 地點,去掉絕對值，直接積分即可解：原式-x3108/ 343 6109/ 34例 4.7 .f (x)=/x +1,X求j f(x”)dxX,XW1匸1.udu + ( (2u +1)du =0 +(u2+u)3 奇函數(shù)積分解：f (x)f (x), In(x - x21)為奇函數(shù)，原式=04 關于三角函數(shù)積分解：原式N f (x 1)dx二.f (u)du -1 2df(u)du f(u)du如杲f (x)為定義在l-a,a 1地奇函數(shù)a,則.jf (x)dx = 0，這是一個很重要考點2008.32xarctan xdx = 021 x4例 4.9 .33321zx sin

4、xi(444_ X+1e)dx解：原式1e e例 4.10 .712i2xcosx2 2(x21)(x22)+ x4sin 2x + xexdx解：原式=0 0 亠I2二 xexdx = (xex-ex)2JI2曲廠e2?1)例 4.11 .f (x)為-a,a上地連續(xù)函數(shù)，計算(f(x) - f(-x) ln(xx21)dx-a2二6_2二4110/ 34M匹對積分ln二；sinnxdx二02cosnxdx成立:I2ntn12需一2）川山2三；111/ 34兀2 - 2 6sin xcos xdx02=2 sin7xcos2xdx =2 1705.些特殊地含有特定技巧地積分112例 4.14

5、.xsin(二x)dxJ1 e解：令t - -x,xe. 2 _xsin xdx二J,1 ex2sin二xdx =1,則例 4.15 .Jln(1 tan x)dxJI解：令t x,40原式=1=- -In(1 tan( t)dt二744ln(1 )dt二：ln( 01 ta nt01 ta ntI2n 1壬沁HI212n 1 2n-13這個結論應牢記,對于某些三角函數(shù)積分可以做到快捷解：原式=(1 - cos2x)cos6xdx例 4.13 .2560sin7xcos2xdx例 4.12 .解：原式原式=I =/ et21r?sin詢)dt16112/ 34nn=In 21，解得 I =In

6、 2.48例 4.16. x亦：dxb 1+si n2x解：令t =二-x,二sin t八0門店水一1,二sinx dx 二_：- In2 1 1 sinx 2*2.2-1三、變限積分變上限積分是函數(shù)地另一x-種重要形式.求導公式|f t dt二f x其中 P xa = c onst）是一個非常重要地公式，它提供了利用導數(shù)來研究它地工具更一般地結論是：dxjxft dt=f 2x- 2x-f-；1x，；1xxf sin tln （1 4t dt例417lim :x2tan（山-2x -1）原式=I = 一Sin（一乩（_t）sint1 sin2tdt解：原式二limxosin t ln 1 -

7、 4t dt3-x二limsin x ln 1-4x-3x2二limx：；：4x4-3x2tanxt2例 4.18 t3(e2-1)dt0limx=00Sntsin22t dtl，ztan2xtan3x je2-1 sec x解：原式x-0esin xsin22x22sin xcosxJ% 4x42x113/ 34f x =2xe 公 x2e -2x = 2x 1 -x2e由f i x =0,f x =0得x=0, x= 1. 1f(u)du. J(u)du2也=(-f (-x) 5f ( -5x), -p=丄f (-x)-空f(-5x) dx 2dx222f f x f (x璉續(xù)且lim亠=

8、2.設(x )= 0f (xt pt,求収(x ),并討論x x 地連續(xù)性i、f(0)dt二f(0)(0)= lim二 limh)0hh)0 x(r -1)-1(-10)0(0,1)1（1 嚴）(x)+f“(x)+f (X)u拐點n拐點U拐點r n3x例 4.20 若p(x)二x f(x -2t)dt,其中f(x)是已知一階可導函數(shù),求坐韭dx dx2解：當x=0時,1(xH0f(xt)dt -UM x10；f(U)dU1x;0f(u)du;當X7（x）f（x）0f（u）dux2A2um_2t1_5x解：p(x)二2 -例 4.21.已知函數(shù)由四號=2,故h0f(u)du- 0 hh114/

9、34=2 -limfx -2一1 T=滬(0),所以,:(x)點點連續(xù)四、有關定積分地證明題有關定積分地證明題，主要地方法有：1 )線性交換，如ax b2 )變上限求導公式3 )恒等變形.a例 4.22 如果f (x)為_a,a上地奇函數(shù)，證明f(x)dx=0.a、a0a令t0a證明：f(x)dx f(x)dx亠I f (x)dxf(一t)dt亠i f (x)dx耳.a 0- a 00aaa= -：a_f(t)dt0f (x)dx一：0f (t)dt0f (x)dxaa= -：0f (x)dx0f (x)dx =031JI例 4.23 證明：p2f (sin x)dx =；f (cosx)dx

10、,其中f (x)為已知可積函數(shù)t #_x00H證明：左邊 =.f (Sjn(t)dt = f(cos(t)dt =02f (cos( t)dt22邁例 4.24 已知f (x)是以T - 0為周期地連續(xù)函數(shù)，那么對任何實數(shù)a成立a十taa0因為f x dx f t T dt f t dt f x dx打十屯十%十怙a寺0T0T所以f x dx f x dx亠I f x dx -：f x dx f x dxaa0a0f(u)duVJim()o2hxxf(x) -0f (u)du2xf (x)x2xx0f(u)dua TTaMX*-.。f (x)dx0TX dx二f X dxf x dx亠I f

11、x dx115/34dx0f cos X|f cos x iix=0fudu xf x -xf X =0fu dux4 (xu )f (u )du 珂肚 f (u )du jdx + C= Qf0f (x兩邊同時取x = 0 = C =0,所以原命題成立五、廣義積分地斂散性uf(x)dx lim f (x )dx=存在有限U抉a2 2f COS x i i2H例 4.2 5 .證明：0f (sin2(x)+f2(2 , 2 *cosXdx,f為任一非零可積函數(shù)4證明：I=:原式22f cost029922f sin t | j 亠 f cos tdtf2COS2x i I2I29f22厶厶f

12、sin xf cos x2 2 2sin xf cos x31dx =229例 4.26 .證明：910為92證明：當0 _ x _ 1時，成立一x乞sin x乞x，所29x9.29所以，成立292910.2二92二八1x9dx J1x9dx =010例 4.27 .證明:x0XU證明：edx山(X -u )f (U )du 鬥0f (u)du - J。uf(U )du j1 xUxx_ )f (u)du = L |J0f (xu C116/ 34復習時應著重掌握通過直接計算來研究廣義積分地斂散性1例 4.28 研究 -dx地斂散性1仮(1+x)lim 一=2limj1, x(1 x) j 1

13、1 xu=2 lim arctan , x12 lim (arctanu ) = 2()=uu丿：.42421所以，-dx是收斂地.1Jx(1+x)k例 4.29 2d =1,求k4+x2解：左邊=karctan* =蘭)=竺=1, k =2 .222222兀dx例 4.30 當k為何值時，廣義積分竺箱收斂？當k為何值時2 x(lnx)k散？又當k為何值時，廣義積分取得最小值？解：當k -1時,有2(k -1)基本結論:1 收斂,aXpd發(fā)散,P 1P _1其中a 0)解:,這個廣義積分發(fā)dx2x(lnx)k:(ln x)121 -k(ln x)zIL 1 -kU-be2-,k : 1科(ln

14、 2)Jkk-1 ,117/34*0 *1 -n當k=1,= An(ln x) L二：發(fā)散,2xln x- dx即，當k 1時，廣義積分.2 喬帚收斂;設f (x-(k 1，則k 11 -k1 -k-(ln 2)ln ln 2 (k -1) -(ln 2)k乞1時,廣義積分發(fā)散f (k)二(In 2)1上(1 _k)ln In 2_12(k-1)2但當k : k0時，f (k)：0；當k k0時，f (k) 0；(x)dx存在有限11例 5.26 .dxb x(x+2)解:原式= 呼_三曲=呼(1 nx)；如x + 2)|1s) ，=arcta n(-)2例 4.27 .0-1dx0.x(4

15、x)所以原式發(fā)散.解：原式=令f (k) =0，得駐點:1In In 2從而，當k = k0= 11In In 2時，廣義積分取極小值也就是最小值注：類似可研究無界函數(shù)積分，即瑕積分.假設a為f (x)地瑕點bf(X)dxNm.a.；fdx110；x(4 x)六、定積分應用1 .面積如圖所b1s陰影=If (x) -g(x)dx .b求面積首要問題是畫出草圖，圖形地上下位置，交點一定要做得準確通常曲線，例直2116/ 341線、拋物線、雙曲線y、指數(shù)、對數(shù)、sinx,cosx地圖像要畫得熟練、準確x例 4.28 .y=x2與直線x y =2所圍圖形面積.二-arcsinx - arcsinx

16、dx2解：由x =2-x,解得12S22-x -xx =1,x二-2例 4.29 .y2 2=ln x , x = e, x = e ,ox軸所圍圖形面積e 2解：S In xdx二xln2xe2一2In xdxe= 4e2e 2x1 n xe2e-2e2-e例 4.30 .y二sin x 0乞x _, ydx =832x2x-21 -4 2 _39求面積首要問題是畫出草圖，圖形地上下位置，交點一定要做得準確通常曲線，例直2117/ 34.3-1-212arcs in xdx-2xarcsin x212x dxJ-x2.3y二圖示 4.4y二sin x118/ 3436一1 .3=例 4.31

17、 求由過拋物線y、.X上點1,1地切線與拋物線本身及1解：切線I地方程：y一,2 Jx1k1=2，1y -1 x -1= x = 2y _11S- | y2- 2y-1 dy0 /13=(3y-yy)x軸所圍圖形地面積例 4.32 .過0,0作拋物線2y二x 1兩切線，求兩切線與拋物線本身所圍圖形地面積解；設切點為x0,x(21,k=y Xo= 2xo,切線方程為y = 2xx,又切點位于其上，x02 1 = 2x)2, x0= 1,切線方程為y=：2x;12S =2 1 x2-2x dx12232= 2(x1)dx =2(x1) 0=32 .旋轉體體積繞x軸旋轉所得圖形地體積 圖 4.7 )

18、b2Vx=兀f (xdx119/ 34120/ 34繞y軸旋轉所得繞y軸旋轉所得圖形地體積示4圖圖形地 圖 48)二aXfx dxVyd2叫ydyd-圖示 4.8/x = (y)dVx=2叮y:y py例 4.33 .y = x2與y -乜所圍部分刁/1 ）繞x軸旋轉所得圖 形地體積；2 ）繞y軸旋轉所得圖 形地體積 .xo繞x軸旋轉所得圖衛(wèi) 8）x圖形地體積yj-X4dx13515V20J2-y2dy例 4.34 .拋物線y = 4x _ x2(1)(2)y = xy =x2圖示 4.9x軸？寫出切線方程？y軸所圍平面圖形地面積求該平面圖繞x軸旋轉所成地旋轉體地體積.拋物線上哪一點處切線平行

19、于求由拋物線與其水平切線及(3)解：1)y =4-2x=0,得x = 2, y = 4切點為2,4,切線方程為y = 4222)S 44x x dx22=0 x-2 dx121/ 348224=3232:二-J1515例 4.35 .計算由y = sin x(0 _ x _ -：)和x軸所圍成地平面圖形繞得到地旋轉體地體積”兀2解：1)Vx二二 sin xdxj-22)Vy =2oxsin xdx二2二3 應用綜合例 4.36 由直線y=0,x=8及拋物線y = x2圍成一個曲邊三角形，在曲邊y = x2上求一點,使曲線在該點處地切線與直線y = 0, x = 8地圍成地三角形面積最大.解：如

20、圖，設所求切點為 PX0,y)切線 PT 交x軸于 A,交直線x=8于B,2 2切線 PT 地方程為y -y0= 2x0(x - x0),又 P 點在 y =x上，因此，y0= x0,1x令y =0得，xx0,A 點坐標為 A(-,0),222令x = 8得,y = 16x0,2B 點地坐標為8,16x0-X0), 于是三角形 ABC 地面積為3)1c 3寸-2)2 2j0 4 - (4x-x=32二- I x4-8x316x2dx=32二圖示 4.10 x軸,y軸分別旋轉而:21 12122/ 34db8 arcs in xdx= )-Xo), 0 Xo 81令S(3x02- 64滄162)

21、=0,416人亠得：Xo,16(舍去)，3因為S丫16) =-8：. 0,所以S(H4096為最小值3327故SC16)=理96為所有三角形中面積之最小值.327單元練習 4X1設0f (t dt =1 n(x2+1 ),則f(2)=.2jX5sin x4dx =.di 23 2sin t dt二.dxxdx2x In xX ex, e dx二.6設f x為區(qū)間la,b 1上地連續(xù)函數(shù),則曲線y =f x與直線x = a, x = b, y二0所圍成地封閉地圖形地面積為 )bbJ f (x )dx(Caa7 .下列命題正確地有 )A )f 2dx = 0 .申in x5dx = 0(Dbf(X

22、 dx(D不能確定a-be= x2si nxdx-O:3，:xdx=O圖示 4.1141 12123/ 34dxa124/ 349 .下列關系中正確地有oexdx exdxi exdx12 .計算917)1x3.1-xdxarcs in b -arcsina(B1(Carcsinx (D.(C .0exdx1x20e dx(D以上都不正確110.-dx在p滿足條件 )時收斂2x 1pp 1(Dlimx_0limx_0sinx-0vta ntdt亠tan x -oVsi ntdtlimx 0Xto te sin tdtlimx.0sint dt2x1 )3)xdxx 1ln 2:-o 首ex-1

23、dx2)兀3arcsinx 2e sin xdxdx6)5)arcsin x9)125/ 341-x,0，2x11)2oeXdx,x表示對x取整12)dx“、嚴 13)4-x3X1 x4x1 - X4、1 - X2dx14)JI才J Hx-41 eCS=dx15)si n4dx216)1仝dx17)01-x2o4In 1 tanx dx18)dx學 19)X X 120)J。x(x - k)dx 九為常數(shù))21)nxdx22)：./2 cosP X0sosdx(p 0)23)f(X )= *eF,求J+x2,v021f x-1dx224)；max2,x2fdx13 設f x二 x0t一1 u

24、du dtt2.2sin x,x = 0其中;：u為連續(xù)函數(shù),試討論函數(shù)在I0,x = 0處地連續(xù)性與可導性 .求y-1 t - 22dt地極值與拐點.15.x =0a設f x是連續(xù)地偶函數(shù)，且f X 0.設F x二-axt f(t述,1）證明F x是單調遞增函數(shù)10)126/ 34127/ 342 )當x為何值時,F x取最小值16 求f x2里dt在e, e2上地最大值.%，Jet2_2t+1-17 已知拋物線y =8x,求1)拋物線在點2,4處地法線方程.及x軸所圍成圖形繞x軸旋轉，問c為何值時 旋轉體體積V等于以三角形OPC繞X軸旋轉所成地錐體地面積.19. 求y=lnx,y=0,x=

25、0.1,x=10所圍面積.20.y=x, y=x，sin2x0_x_j所圍圖形面積.21 設有曲線 y 二.d 過原點作其切線，求由此曲線、切線及 x 軸圍成地平面圖形繞x軸旋轉一周所得到地旋轉體地體積22 若1kg地力能使彈簧伸長1cm,現(xiàn)要使彈簧伸長10cm,問需要多大地功？23 .設一半球形水池直徑為6m,水面離開地面1m深,現(xiàn)將水池內地水抽盡，至少要作多少功？歷年真考題21. 2001 )定積分x-1 dx=)J0IA. 0 B. 2 C. 1 D. 1232. 2001 )設f (x)為連續(xù)函數(shù)，則.J f (x)f (-x) xx dx =.0k13. 2001 )2dx,求常數(shù)k

26、.+x22128/ 344.V2001 ）計算limd d2 2teteX X x sin x129/ 345. 2001 ）過P（1,0）作拋物線y、X-2地切線，求1 ）切線方程；2 ）由拋物線、切線、以及X軸所圍平面圖形地面積；3）該平面分別繞X軸、y軸旋轉一周地體積iX46. 2002）Idx,則I地范圍是）A. 0 S一二2B.I _1C.I _0D.3_ 1 _12:17. 2002 ）若廣義積分pdx收斂，則p應滿足）xpA.0：p：1B.p 1 J xtan2x8. 2002 )廠dx=.=1 +x21I-| 1亠X9. 2002 )設f(x)二I丄1 ex311.2002 ）

27、從原點作拋物線f（x） =x -2x 4地兩條切線，由這兩條切線與拋物線所圍C.P：-1 D.p 0 x _02,求0f(x-1)dx.x : 010.2002 ）求極限limx2tanxX0 t(t sint)dt130/ 34214.2003 )拋物線y =4x-x1 ）拋物線上哪一點處切線平行于x軸？寫出切線方程.2 ）求拋物線與水平切線及y軸所圍平面圖形地面積.3 ）求該平面圖形繞X軸旋轉所成地旋轉體地體積22227 2R15.2004 ）設圓周x+y =8R所圍成地面積為S,則0V8R -x dx地值為）13.2003 )2sin 日1 cosJ131/ 3411-S C. -S D

28、. 2S42x0(tant sin t)dt16.2004 )求極限lim，0-2-T(ex-1)1 n(1+3x2)dx172004）計算廣義積分2-戸19.2005)NX*4dx =1+x2120.2005 )計算J0arctan xdx4丿m xndx018.2004 )證明:Jio -f (sin -)d-=n nf (sin -)d-,并利用此等式求2=0兀sin xx廠dx01 cos xA. S B.21.2005 ）已知曲邊三角形由拋物線2y =2x及直線x=0, y=1所圍成，求132/ 341 ）曲邊三角形地面積；2 ）該曲邊三角形繞 x 軸旋轉一周，所形成地旋轉體體積 本

29、章測試卷4 .+dx收斂，則有0 xA .q -1B-5 .y = .(t-1)(t-2)dt.02.F列廣義積分收斂地是 )：dx；vxdxD0 x0,則:01f (x)dx二0則y (0).q：1A . -2B.-1133/ 3414.1)求過曲線上2,2點地切線方程2)求此切線與曲線y = 2x及直線y =0所圍成地平面圖形面積15.曲線xy = a(a 0)與直線x=a,x=2a,及y=0圍成一個平面圖形1)求此圖形繞x軸所成地旋轉體地體積.2)求此圖形繞y軸所成地旋轉體地體積.16.求曲線y=x3-3x 2和它地右極值點處地切線所圍區(qū)域面積17.設f (x)在0,11上連續(xù),且f(x

30、) : 1,又F(x) =(2x T)- ；f (t)dt.6.f(x) = x2f (x)dx,且a是不等于-1地常數(shù)，求證：0f (x)dx3a3(a 1)7.xx40f(t)dt巧,求.0f( .x )dx8.x20sin t dtlimx_0 x39.1 21 x -dx).1-x210.x求f(x)F 2t 2t 2dt在0, 1上地最大值和最小11.x312.5設f (2x1) =xex,求 *f(t)dt13.2ln21a一e匚1*蔦,求971134/ 34證明：F(x)在0,1內只有一個零點135/ 34x19.設連續(xù)函數(shù)f(x)在l.a,b上單調增加，又G(x)二f (t)d

31、t,(a,b),x_aa試證：G (x)在a,b內非負20.在曲線y=1nx上e,1點處作切線I,1)求由曲線切線、曲線本身及x軸所圍地面積 原式=xm0cosx(2 四*( Jta n(si nx) cosx) /(si n(ta nx)2sec x)3)lim0 x t0tesintdt| sin x |0136/ 340、1 x二Xe cos2xdx,0=e T 2exsin 2x |0-4qexcos2xdx=eT - 41所以I-1,511所以，原式=丄（e懐-1）_ （e點T）210=2 l -2 J1 -t2=兀-2204)12、2)3)12xlimx J-：:1-2：1dt=廿

32、取1H= 2t-arctant0=2(1-匸)2:30応i(1X)3/2dx=:JI4) 原式*ex0-彳L0excos(2x)dx：x二X0e cos2xdx二cosZxdercosbl。： Jexsin 2xdxt=X5）原式二1arcs int12tdt=2oarcsintdt /arcsi nt-2j1 dt0.1-t2尋二-1)5123山蔦1137/ 346)1 11x+原式=_訂兀-I n(x2x 1)12 27)8)9)切3+ 2.3原式原式原式10 )11)12 )13 )t仝TX2323601-t t -3t dt =3工t -tdt =3x=4_t3I44687原式原式原式

33、原式-w4w2dw36111In x 1 d w - -3u182dw _Ju30 x-2x-2_ 1-5411In x 10=1n2=1 n2w2-1w - wdw3dxx 111口dx = I n230 x 1 x -230 x-2 x 1dx+1(In|x-2 -In 1 +x31=0f X dx彳f X dxIn 2111In 2； n2-In2In 20331233f X dx=01 - x dx 7 0 dx22 - x dx41_2=X_04-0 J44dx+(：exdx + JiIn 4In3- 2exdx ，In7exdx=In 2 2In二3In - 6In77(2 - I

34、n 7) = 14丄67!2 costx =2sin t3-8cos3t6d - tant4JI、1 -x2dx x =sint .2cos2tdt二三.2(1 cos2t)dt2sin 2t138/ 34H 12：:2414 ）原式令 I = J4兀一cosxdx 令 t = -x刁嚴 dt-41 e4cosxx -4-1 e二ecosxdx原式J4（SO%24cosxdx1=sin x215 ）原式22sin4udu =4匹243sin udu =443= JI416）原式 =x =sint二sinnt刁曲costdt0cost02sinntdt2k -1 !2（2k） !廠（2k）!2k

35、 1 !n =2k 1x仝/4 _u17 ）原式Iln（14：匚業(yè)）du1 ta nu-4-1 ta nu）du ln 2 -14兀I ln 2818 ）原式dx219 ）原式20 ）1x2（x21） 21t=c ：1X211x21） dx21In2x2x21111ln ln 2222i22tdt = 2arctant0（t2+1）t-be=Jt 0213兀2當人蘭0時,原式二Mx）dx=（1x-x）當0扎原式Isinpu0Lpp空sin u cosdusinpusinpucog udu1 2：s inp=I -JIsinpu cospudu蔦cosPu(23 原式=1f (x -1)dxu

36、= x -11f(u)du亠i f(u)du二11L0L=-021+ u Jdu + J edu3u匕.3丄2-e37e24-222222(24 原式=max2, x dx亠i . .max2, x 亠i max2,x dx2- -2i.22- 22 xdx_2Q一 A o a%/ O2dx亠i . x?dx = 4、-2 (8 - 2、-2)= -723.x22(x -1) (u)du: u du x-1x2= lim-lim0X )02xx )0 x22x2x0(21 原式=|1 lnx dx-11n xdx In xdx-xln1/e11dx x ln xr 1dxt2x-0(t-1).

37、0(u)dudt333333140/ 34x 0141/ 34= lim -0 = -丄(0)h 06331f (x)在x=0處可導，且f (0)(0).314、解：dy2(x-1)(x-2)dxd5 6y22(x-2)2(x-1)(x-2) = (x-2)(3x-4)dx4由y =0, y =0，得：x =1,2,3（亠,1）1仃4）1 -I，3丿431-2丿2(2,畑)ry+y+y極小值拐點拐點1 1極小值y(1)= (t1)(t2)2dt = L(t 2)+1)(t 2)2dt5= (t -2)4AA4斥7蔦(1一16)1(T8)一15 7f (0)吧f(h) -f(0)hht20(t-

38、1)0(u)dudt-5-0=limh0sin2hhh2(h-1)0(u)du3hQh :(u)du (h 1):(h2) 2h6hh20(h)du6hlimh 0(h -1):(h2)3171215、解F x二x-aax t f (t)dt + ( x _txaf(t)dt二(x-t)f(t)dt (t-x)f(t)dtax142/ 34xaxa=xf(t)dt_x f(t)dt- tf(t)dt tf (t)dt -axaxxa143/ 341)F (x) f(t)dt xf(x)_ f (t)dt xf (x) - xf (x) - xf (x)- a-xF (x)二 f (x) f(x

39、)=2f x 0故F單調遞減函數(shù)F = 0n J f(t)dt = fxf(t)dt,由偶函數(shù)性質知x= 0,又由 L地嚴格單調性知，x= 0為唯一解，F(xiàn) (x) . 0知其為最小值，F(xiàn)minaa=tf(t)dt = 2tf(t)dt16、解:dfIn xmax17、解:1)2yydx一X2-2x 1e2ln tt2Intt -10,x a 1,所以f (x)在e, e2I上地最大值為e2dt-2t 11)J lntd(e(t -1)et -1e2e2dt=ln(e+1)t(t-1)4曲2二即仆法 Z法線方程為y -4 = - x -2 ,2)Vf(6_y2dy_4y2 2dy64155y兀j

40、3兀15y一42081664 5208 16 、=I- 9921518 .解：V=二a220 x X - a dx2xa dx2 )xa144/ 34yc3j-aca21523VOpc=丄現(xiàn)(PC2oc3/=丄機c2fc a )23圖示 4.13得到:ca20 .解：S二V =Vonc=1c2-丄acc2兀2x sin xx dx尹2sin xdx二1 cos2x ,:dx=2 221 .解：設切點為Xo,、_Xo-1 ,1切線斜率k=y Xo,切線方程為:2Xo-1廠2：xo二1X，切點在切線上，故、.Xo-1X0=2 X0-1 =Xo=Xo= 2,2x1135/ 34.切線方程為:1y =

41、_x22 i1Vx dx -七丿22 : j 一 x -1 dx3応x=-T4 32二=:-3222 .解：彈簧伸長6xcm,需力大小為xKg,dw = g xdx圖示 4.161gW= ogxdx =g2,x20=50g 0.01 0.5g焦耳xdx10 cm3. A4. D5. Da23 .建立如圖坐標系p f (x)dx二A,則f (x)=x2- A,兩邊在0, a 1上作定積分得到A=a3ao f (x)dx二o(x - A)dx=；- Aa,a3A3(1 a)a-.0f(x)dx=A =3a3(a 1)7.2：f(、-0f u du=222-160136/ 34=f(1)= f dt

42、 =1(t 1)1221d(t21)1120(t 1)101 (t 1)=丄 1 n(2 +2t +t2)+arcta n(t +1201二匚尹5小2)arCtanHmin=f 0=013 令u = .e-1,則t =ln (u21)、-31 2u原式=eajur7dU=2arCtanU2廠5廠、ea-1 =1,ea= 2 ,即a = In 28.原式=limx屮sin x2_13x2=319 原式=2- dxjL2d(1-x2)1 -X2=arcs in x1/20冷二2V4-1)=(_2“)亠1一三6 2 6 2x 22x 2x 2,當x 0,1時，f x 011.原式=lim八/；1/T3x212- 1xx 221=