空間直線的方程

1、復習2 平面與點的相關位置平面與點的相關位置1.平面與點的相關位置2. 點到平面的距離3 兩平面的相關位置兩平面的相關位置1.兩平面的相關位置2. 兩平面的交角(垂直)3.兩平行平面的距離4 空間直線的方程空間直線的方程00pvpvll 在空間給定一點 與一個非零向量 ,則通過點 且與向量 平行的直線 就唯一確定.與直線平行的任意一個非零向量都稱為直線的方向向量,簡稱為方向矢.1.直線的參數(shù)方程4.1直線方程的各種形式0000, ,lp xyzvx y zl 已知直線 通過點,方向向量為下面我們來推導直線 的方程:oxyz0ppv0rrl00rrtvrrtvlt 或 稱為直線 的向量式參數(shù)方程

2、,其中 為參數(shù).000, , ,x y zxyzt x y z用向量的坐標可以將上式表示成 l稱為直線 的坐標式參數(shù)方程.000 xxxtyyytzzzt即 222, ,0,lvx y zlxyz說明:(1)方向數(shù) 直線 的方向向量 的坐標稱為直線 的方向數(shù),且 :;x y z常用來表示直線的方向數(shù)cos ,cos,cos;lv (2)方向角與方向余弦 直線 的方向向量 的方向角 , , 與方向余弦分別稱為直線的方向角與方向余弦0000001, ttppvrrp ptvvvltpptrrp p(3) 的幾何意義 參數(shù) 對應的點 到定點的距離與方向矢 的長度的比值, 特別地當時 正好等于直線 上

3、參數(shù) 對應的點 到定點 的距離.0. 1, 2,12210.lpxyzl 例1 已知直線 通過點,且垂直于平面 :,求直線 的參數(shù)方程與方向余弦00000000, , ,p xyzvx y zlp x y zlp pvxxyyzzxyz 對于由點與方向向量 =確定的直線 點在直線 上的充要條件是,即 稱為直線的標準方程 或稱為對稱式方程.2.直線的標準方程直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)0000000x,y,zxxyyzzyz注: :, ,當當方方向向向向量量的的某某個個坐坐標標為為零零時時，比比如如時時，方方程程仍仍然然寫寫為為00000000x,y,zxxyyzzz當當方方向向向向量量的的

4、某某兩兩個個坐坐標標為為零零時時，比比如如時時，方方程程也也仍仍然然寫寫為為, ,0000 xxyyzzyz此此時時理理解解為為二二平平面面的的交交線線( (考考慮慮其其幾幾何何意意義義) )理理解解為為交交線線 0000yyxx11112222. ,.p x y zp xyzl例2 求通過兩點和的直線 的方程111212121xxyyzzxxyyzz 稱為直線的兩點式方程.0. 2, 1,01:0:1,.lpll例3 已知直線 通過點, 的方向數(shù)為求直線 的標準方程21101xyz 3.直線的一般式方程 空間直線可以看作兩平面的交線，因此空間直線的方程可以由通過它的兩個平面的方程所組成的方程

5、組來表示。xyzo12l111112222211112222111222 :0 :00 0:laxb yc zda xb yc zdlaxb yc zda xb yc zdabcabcl 設通過直線 的兩個相異平面為則直線 的方程可表示成其中此方程稱為空間直線 的一般式方程.121111222212121211111112222222, ,0, ,lna b cna b cnnln lnlnnlbccaabvnnbccaab 由于平面與相交成直線 因此它們的法向量不共線,即 ,又因為 ,所以 即上述直線方程所表示的直線 的一個方向向量為00210. ,10.xyzlxzll 例4 已知直線 :

6、求通過原點且與直線 平行的直線 的標準方程1212. 1,1,12,3,4.ppppzxoyl例5 已知兩點,求通過直線且平行于 軸的平面 與坐標面的交線的方程4.直線的射影式方程111222333,0 00,lozoxoyxoy yoz zoxa xb yca yb zca xb zclxoy yozzox 設通過直線 分別平行或通過軸軸軸,也就是分別垂直于坐標面的三個平面的方程為 則上述平面分別稱為直線 對坐標面的射影平面.1112220 ()0llla xb yca yb zc 因為直線 的一般式方程可由通過 的任意兩個平面的方程聯(lián)立組成,因此直線 的方程也可由它的三個射影平面的方程中任

7、取兩個不同的方程聯(lián)立組成,例如 不重合這種由直線的兩射影平面的方程聯(lián)立組成的直線方程稱為直線的射影式方程., ,x y z直線的射影式方程是一般式方程的特殊形式射影式方程的特點是方程中關于變數(shù)缺少其中一個或兩個變數(shù). 121102.lxyzl例6 已知直線 的標準方程為 求直線 對三個坐標面的射影平面的方程小結點向式1 1直線的方程直線的方程1.直線的參數(shù)方程(向量式、坐標式)2.直線的標準方程(對稱式)(兩點式)3.直線的一般式方程4.直線的射影式方程(特殊的一般式)練習p88 1（1）（2），5（2）作業(yè)p88 1（3）（4）復習1 1直線的方程直線的方程1.直線的參數(shù)方程(向量式、坐標式

8、)2.直線的標準方程(對稱式)(兩點式)3.直線的一般式方程4.直線的射影式方程(特殊的一般式)點向式1.參數(shù)方程與標準方程的互化4.2各式直線方程的互化l直線 的參數(shù)方程:000 xxxtyyytzzzt000 tlxxyyzzxyz消去參數(shù) 即可得直線 的標準方程:t 反過來,令標準方程中的公比為 ,即可改寫成參數(shù)方程. 121210.lxyz例7 化直線 的標準方程: 為參數(shù)方程2.標準方程與一般式方程的互化0000, ,0,lx y zzlxxzzxzyyzzyz 對于直線 的標準方程,因其中分母即直線的方向數(shù)不全為零,不防設則標準方程即可改寫得直線 的射影式方程即特殊形式的一般方程為

9、: 1111222200000000001111122220 0,laxb yc zda xb yc zdlvxyzlpxyzlxxyyzzbccaabcca 反過來,要將直線 的一般式方程:化為標準方程,只要應用直線方向向量公式求出直線 的方向向量 ,再任取一般式方程的一個特解,即取得直線 上一點,從而便可得到直線 的標準方程為: 122bab. 234020.lxyzxyz例8 將直線 的一般式方程: 化為標準方程3.一般式方程與射影式方程的互化1221,0,lvvx yaba bxyl 反過來,因直線 的方向向量 的三個坐標不全為零,不防設 的第三個坐標即一般方程中的系數(shù)行列式則可由一般式方程分別消去 和 即可得到兩個射影平面的方程,將它們聯(lián)立即得直線 的射影式方程為: 射影式方程本身就是特殊形式的一般式方程。11122200a yb zca xb zc. 2210240.lxyzxyz 例9 將直線 的一般式方程: 化為射影式方程 關于直線方程的四種形式即參數(shù)式、標準式、一般式、射影式之間的互化，掌握上述三對形式的互化方法以后，其它三對形式的之間可以通過某中間形式過渡轉化，或是靈活運用上述思想方法直接互化。. 350210.lxyxzl 例10 已知