空間直線及其方程

1、2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-17.6 空間直線及其方程空間直線及其方程空間直線的各種方程空間直線的各種方程兩直線的夾角兩直線的夾角直線與平面的夾角直線與平面的夾角小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-2一、空間直線的各種方程形式1. 空間直線的一般形式空間直線的一般形式1 2 定義定義 空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線. 222221111100 dzcybxadzcybxa空間直線的空間直線的一般式方程一般式方程l注注;)1(222111不不成成比比例例、與與、cbacba(2) 直線直線l的一般方程形式不是唯一的的一般方程形式不是唯

2、一的.空間直線及其方程空間直線及其方程xyzol(1)2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-32.對(duì)稱式對(duì)稱式點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程定義定義 如果一非零向量平行于一條如果一非零向量平行于一條sl0m m 一條直線一條直線可以可以有許多有許多方向向量方向向量.已知直線已知直線, 稱此向量為該直線的稱此向量為該直線的方向向量方向向量. .s空間直線及其方程空間直線及其方程xyzo),(0000zyxm設(shè)一直線過(guò)設(shè)一直線過(guò) ， 其方向向量為的其方向向量為的),(pnms 求此直線方程。求此直線方程。2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-4pzznyymxx000 直線的直線的對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程而方向而方

3、向且且smm0/( (點(diǎn)向式、標(biāo)準(zhǔn)式點(diǎn)向式、標(biāo)準(zhǔn)式）空間直線及其方程空間直線及其方程的的直直線線l稱稱為為、的的三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)pnms方向數(shù)方向數(shù). .向量的余弦稱為該直線的方向余弦。向量的余弦稱為該直線的方向余弦。l)z , y,x(m 解解),(0000zzyyxxmm 因?yàn)橐驗(yàn)?2)2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-5 0000 xxpzznyy直線的方向數(shù)直線的方向數(shù)m,n,p 可以等于可以等于0,當(dāng)當(dāng)m=0時(shí)時(shí),空間直線及其方程空間直線及其方程注意注意 直線的方程可表示為直線的方程可表示為 0000 xxyy當(dāng)當(dāng)m=n=0 時(shí)時(shí),直線的方程可表示為直線的方程可表示為2009.2.

4、6北京工商大學(xué)7-6-63. 直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程求直線與平面的交點(diǎn)時(shí)常用此。求直線與平面的交點(diǎn)時(shí)常用此。tpzznyymxx 000設(shè)設(shè)為參數(shù)為參數(shù)ttpzztnyytmxx 000直線的直線的參數(shù)式方程參數(shù)式方程故故 ),(pnms 空間直線及其方程空間直線及其方程(3)2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-74. 空間直線的兩點(diǎn)式空間直線的兩點(diǎn)式),(),(22221111zyxmzyxm設(shè)一直線過(guò)兩點(diǎn)設(shè)一直線過(guò)兩點(diǎn) ，則此直線的方程為則此直線的方程為: 121121121zzzzyyyyxxxx 直線的直線的兩點(diǎn)式方程兩點(diǎn)式方程 由直線的對(duì)稱式得由直線的對(duì)稱式得pzznyymxx

5、000 ),(121212zzyyxx 21mm空間直線及其方程空間直線及其方程(4)直線方程的幾種形式可以互相轉(zhuǎn)換直線方程的幾種形式可以互相轉(zhuǎn)換.2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-8 例例解解取取所求直線方程為所求直線方程為 11xpzznyymxx000 m1 m2s求過(guò)兩點(diǎn)求過(guò)兩點(diǎn)m1(1,2,3),m2(2,6,5)的直線方程的直線方程.向量向量21mm與直線平行與直線平行)2 , 4 , 1( s 21mm 42y23 z 過(guò)兩點(diǎn)作直線過(guò)兩點(diǎn)作直線空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-9解解 交點(diǎn)為交點(diǎn)為),0, 3, 0( b取取bas ),4, 0

6、, 2( 所求直線方程所求直線方程 22x. a. bs,),4 , 3, 2(軸垂直相交軸垂直相交且和且和一直線過(guò)點(diǎn)一直線過(guò)點(diǎn)ya .求其方程求其方程例例 03y.44 z空間直線及其方程空間直線及其方程xyzo2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-10可將對(duì)稱式方程拆為一般方程可將對(duì)稱式方程拆為一般方程如對(duì)稱式方程為如對(duì)稱式方程為111101 zyx可寫(xiě)成一般方程可寫(xiě)成一般方程 可將直線的對(duì)稱式方程可將直線的對(duì)稱式方程又如又如110101 zyx注注 )0( zy即即可寫(xiě)成一般方程可寫(xiě)成一般方程pzznyymxx000 01 x11 zy 1 x1 y化為一般方程嗎化為一般方程嗎 各類(lèi)直線方

7、程的互換各類(lèi)直線方程的互換空間直線及其方程空間直線及其方程xyzo112009.2.6北京工商大學(xué)7-6-11直線的一般方程如何化為對(duì)稱式方程直線的一般方程如何化為對(duì)稱式方程(1) 用代數(shù)的用代數(shù)的消元法消元法化為比例式化為比例式; (2) 在直線上找一定點(diǎn)在直線上找一定點(diǎn),再求出方向向量再求出方向向量, (重要重要)即寫(xiě)出對(duì)稱式方程即寫(xiě)出對(duì)稱式方程.空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-12寫(xiě)成比例式寫(xiě)成比例式,7351 zyx例例 0220123zyxzyx將將解解 法一法一 0220123zyxzyx(1)(2)015 yx037 zx)2(2)1( )2(

8、)1( . z可消去可消去. y可可消消去去兩個(gè)方程中兩個(gè)方程中, 每一個(gè)只有兩個(gè)變量每一個(gè)只有兩個(gè)變量,共同的變量共同的變量即得即得對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程.化為對(duì)稱式方程化為對(duì)稱式方程.解出解出x.空間直線及其方程空間直線及其方程此直線上一定點(diǎn)為此直線上一定點(diǎn)為(0,-1,-3),方向向量為方向向量為(1,5,7)2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-13先求直線上一定點(diǎn)先求直線上一定點(diǎn): 于是得直線上的一定點(diǎn)于是得直線上的一定點(diǎn)取取 21nns對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程7578173zyx 將將 化為對(duì)稱式方程化為對(duì)稱式方程. 0220123zyxzyx 0220123zyxzyx,73 x,0 ,

9、78,73 因因所求直線與兩平面的法向量都垂直所求直線與兩平面的法向量都垂直. )1, 1 , 2()1 , 2, 3(2n1ns法二法二,0代入代入以以 z00)7 , 5 , 1(78 y空間直線及其方程空間直線及其方程1 2 ls2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-14兩個(gè)對(duì)稱式方程兩個(gè)對(duì)稱式方程7351 zyx7578173zyx 實(shí)際上直線的對(duì)稱式方程不唯一實(shí)際上直線的對(duì)稱式方程不唯一.注意注意怎么不一樣怎么不一樣答答(當(dāng)定點(diǎn)取得不同時(shí)對(duì)稱式方程不同當(dāng)定點(diǎn)取得不同時(shí)對(duì)稱式方程不同).空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-15241312 zyx令令241

10、312 zyx得得62 zyx解解 tztytx243206)24()3()2(2 ttt1 t再代入再代入代入平面方程代入平面方程,求直線求直線例例與平面與平面的交點(diǎn)的交點(diǎn).t 得得, 1 x, 2 y. 2 z空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-16解解 先作一過(guò)點(diǎn)先作一過(guò)點(diǎn)m且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 3再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)n,令令12131 zyx tztytx1213. m垂直相交垂直相交的直線方程的直線方程.12131)3 , 1 , 2( zyxm且與直線且與直線求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)例例 n2 1 )2(

11、x)1( y)3( z0 t 空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-1773 t交點(diǎn)交點(diǎn))73,713,72( n取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為mnmn)373, 1713, 272( )724,76,712( 直線方程為直線方程為451122 zyx0)3()1(2)2(3 zyx tztytx1213代入代入得得將將)3 , 1 , 2(m直線過(guò)點(diǎn)直線過(guò)點(diǎn). m n空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-18定義定義直線直線:1l111111pzznyymxx 直線直線:2l222222pzznyymxx ),cos(

12、21ll兩直線的兩直線的方向向量的夾角方向向量的夾角稱為稱為兩直線的夾角兩直線的夾角.兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式二、兩直線的夾角二、兩直線的夾角（銳角銳角）222222212121212121pnmpnmppnnmm 空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-19兩直線的兩直線的位置關(guān)系位置關(guān)系 21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 直線直線:1l直線直線:2l),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例例.21ll 即即(兩直線兩直線垂直、平行的條件垂直、平行的條件

13、):1l:2l),(1111pnms ),(2222pnms 空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-20 1.與與直線直線及及112211 zyx都平行且過(guò)原點(diǎn)的都平行且過(guò)原點(diǎn)的平面方程平面方程為為( ).例例 tztyx2110 zyx提示提示平面過(guò)原點(diǎn)平面過(guò)原點(diǎn)由點(diǎn)法式方程即可得由點(diǎn)法式方程即可得.法向量法向量)1 , 1, 1( )1 , 2 , 1()1 , 1 , 0( n空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-212.垂直的垂直的且與直線且與直線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 1432)1, 2 , 1(tztytx).(平平面面方方程程是是04

14、3 zyx3.130211:1 zyxl過(guò)直線過(guò)直線且且平平行行于于).(11122:2的平面方程為的平面方程為直線直線zyxl 023 zyx 提示提示)3 , 2 , 1(點(diǎn)點(diǎn))1 , 3, 1()1 , 1 , 2()1, 0 , 1( 21ssn)1 , 3 , 1( n 提示提示空間直線及其方程空間直線及其方程 2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-22與與兩兩直直線線182511:1 zyxl).(326:2的夾角為的夾角為與與 zyyxl6. a4. b3. cc2. d 提示提示22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 兩直線的夾角公式兩

15、直線的夾角公式:4.)2 , 1, 1( )1 , 2 , 0()0 , 1, 1( 2s)1 , 2, 1( 1s空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-23解解 設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為),(pnms ,1ns ,2ns 取取21nns ),1, 3, 4( .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程例例的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程.和和且且與與兩兩平平面面求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)34)5 , 2 , 3( zx152 zyx 過(guò)已知直線外一點(diǎn)作直線與已知直線平行過(guò)已知直線外一點(diǎn)作直線與已知直線平行空間直線及其方程空間直線及其方程 2

16、009.2.6北京工商大學(xué)7-6-24直線和它在平面上的投影直線的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角 定義定義20 ,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax ),(pnms ),(cban 2),(ns 2),(ns三、直線與平面的夾角三、直線與平面的夾角 sin 2cos空間直線及其方程空間直線及其方程稱為該直線與平面的夾角稱為該直線與平面的夾角.2cos 222222|pnmcbacpbnam 直線與平面夾角公式直線與平面夾角公式2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-25直線與平面的直線與平面的)1()2(/(直線與平面垂直、平行的充要條件直線與平面垂直、平行的充要條件);

17、pcnbma . 0 cpbnam ll 位置關(guān)系位置關(guān)系空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-26解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sinpnmcbacpbnam 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角.,21121: zyxl設(shè)直線設(shè)直線例例, 32: zyx 平面平面求直線與平面的夾角求直線與平面的夾角.空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-27,031020123 zyxzyxl為為設(shè)直線設(shè)直線1995,數(shù)學(xué)一考研選擇數(shù)學(xué)一考研選擇,(3分分).(, 0

18、224則則為為平平面面 zyx 平行于平行于la. .上上在在 lb 垂垂直直于于lc.斜斜交交與與 ld.c),(pnms / 提示提示)7,14,28( )1 , 2, 4( 空間直線及其方程空間直線及其方程)10, 1, 2()2 , 3 , 1( 2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-28平面束的方程平面束的方程設(shè)有兩塊設(shè)有兩塊不平行不平行的平面的平面其中系數(shù)不互相其中系數(shù)不互相成比例成比例交成一條直線交成一條直線l過(guò)直線過(guò)直線l的所求全體平面的所求全體平面 平面束平面束)1(0:11111 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa作作(3)表示過(guò)直線表示過(guò)直線l

19、的平面的平面)(2 除除0)(2222 dzcybxa1111dzcybxa )3()2(0:22222 dzcybxa 空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-29解解想一想想一想 還有別的方法嗎還有別的方法嗎?試比較哪種方法試比較哪種方法簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單?的的和點(diǎn)和點(diǎn)求過(guò)直線求過(guò)直線)1, 1 , 1(010 zyxzyx.平平面面方方程程)1(0)1( zyxzyx 將點(diǎn)將點(diǎn) 代入代入(1)中中,得得)1, 1 , 1( 0)1111(111 23 將將代入代入(1)中中,得得23 035 zyxn例例過(guò)過(guò)已知直線的平面束方程已知直線的平面束方程為為空間直線及其方程空

20、間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-30例例解解且與平面且與平面求過(guò)直線求過(guò)直線 , 0405:zxzyx過(guò)過(guò)已知直線的平面束方程已知直線的平面束方程為為0)4(5 zxzyx 04)1(5)1( zyx即即其法向量其法向量又已知平面的法向量又已知平面的法向量).8, 4, 1(2 n.401284角的平面方程角的平面方程組成組成 zyx 1n)1, 5,1( 空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-31 4cos 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此得由此得.43 代回平面束方程為代回平面束

21、方程為. 012720 zyx且與平面且與平面求過(guò)直線求過(guò)直線 , 0405:zxzyx.401284角的平面方程角的平面方程組成組成 zyx2121nnnn 0)4(5 zxzyx )1, 5,1( 1n空間直線及其方程空間直線及其方程)8, 4, 1(2 n2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-32上海交大考題上海交大考題(98級(jí)級(jí))的兩個(gè)互相的兩個(gè)互相求通過(guò)直線求通過(guò)直線 020:zyxyxl.,zyx 線線其其中中一一個(gè)個(gè)平平面面平平行行于于直直垂垂直直的的平平面面解解 設(shè)設(shè)平面束方程平面束方程02)1()1( zyx,1 的的平平面面為為設(shè)設(shè)平平行行于于直直線線zyx 0)1()1(

22、2 方方程程平平面面1 ,21 的的平平面面方方程程為為又又設(shè)設(shè)垂垂直直于于由由即即; 0423 zyx由由02)1(3)1( 31 ),1,1(1 n. 02242 zyx方方程程平平面面 空間直線及其方程空間直線及其方程1 2 0)2( zyxyx2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-33思考題思考題1 1想一想下述問(wèn)題能否轉(zhuǎn)化為用點(diǎn)法式確定想一想下述問(wèn)題能否轉(zhuǎn)化為用點(diǎn)法式確定平面方程？平面方程？(1) 過(guò)兩條相交直線過(guò)兩條相交直線,確定一平面確定一平面;(2) 過(guò)兩條平行直線過(guò)兩條平行直線,確定一平面確定一平面;(3) 過(guò)一直線與該直線外一點(diǎn)過(guò)一直線與該直線外一點(diǎn),確定一平面確定一平面;(

23、4) 過(guò)一直線垂直與一已知平面過(guò)一直線垂直與一已知平面,確定一平面確定一平面.(設(shè)此直線不垂直于設(shè)此直線不垂直于一已知平面一已知平面)如何轉(zhuǎn)化？如何轉(zhuǎn)化？空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-34思考題思考題2 2想一想下述問(wèn)題能否轉(zhuǎn)化為用對(duì)稱式想一想下述問(wèn)題能否轉(zhuǎn)化為用對(duì)稱式方程來(lái)確定直線方程方程來(lái)確定直線方程?(1) 過(guò)一點(diǎn)且與一已知平面垂直過(guò)一點(diǎn)且與一已知平面垂直,確定一直線方程確定一直線方程;(2) 過(guò)一點(diǎn)且與兩條相交直線都垂直的直線方程過(guò)一點(diǎn)且與兩條相交直線都垂直的直線方程;(3) 過(guò)一點(diǎn)且與一已知平面平行過(guò)一點(diǎn)且與一已知平面平行,與一已知直線相與一已知

24、直線相 交的直線方程交的直線方程.如何轉(zhuǎn)化？如何轉(zhuǎn)化？ 空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學(xué)7-6-35(3)過(guò)一點(diǎn)且與一已知平面平行過(guò)一點(diǎn)且與一已知平面平行,與一已知直線與一已知直線相交的直線方程相交的直線方程.應(yīng)注意應(yīng)注意, s即有即有因此在因此在l上上即有即有s共面共面,有有(a),(b)聯(lián)立解得聯(lián)立解得s,n0 ns)(a)(b0)( abls空間直線及其方程空間直線及其方程為了確定所求直線的方向向量為了確定所求直線的方向向量垂直于已給平面的法線向量垂直于已給平面的法線向量由于已知直線由于已知直線l與欲求直線相交與欲求直線相交,取一已知點(diǎn)取一已知點(diǎn)b,它與欲求直線上任一點(diǎn)它與欲求直線上任一點(diǎn)a的連線的連線ab必與必與l,l snl b a則由則由對(duì)稱式對(duì)稱式求