第三模塊函數(shù)的微分學(xué)PPT課件

1、第三模塊函數(shù)的微分學(xué)第三模塊函數(shù)的微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、瞬時速度一、瞬時速度 曲線的切線斜率曲線的切線斜率二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義五、導(dǎo)函數(shù)五、導(dǎo)函數(shù)六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系四、導(dǎo)數(shù)的物理意義四、導(dǎo)數(shù)的物理意義1. .變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度如果物體作直線運動，如果物體作直線運動， 在直線上選取坐標(biāo)系，在直線上選取坐標(biāo)系，該物體所處的位置該物體所處的位置坐標(biāo)坐標(biāo) s 是時間是時間 t 的的函數(shù)，記為函數(shù)，記為 s = s(t)， 則從時刻則從時刻 t0 到到 t0 + t 的時間間隔內(nèi)它的的時間間隔

2、內(nèi)它的平均速度為平均速度為一、瞬時速度一、瞬時速度 曲線的切線斜率曲線的切線斜率,)()(00ttsttsts 在勻速運動中，在勻速運動中，這個比值是常量，這個比值是常量， 但在變速運動但在變速運動中，它不僅與中，它不僅與 t0 有關(guān)，有關(guān)，而且與而且與 t 也有關(guān)，也有關(guān)，很小時，很小時，ts 顯顯然然與在與在 t0 時刻的速度相近似時刻的速度相近似.如果當(dāng)如果當(dāng) t 趨于趨于 0 時，時， 平均速度平均速度 的極限存在，的極限存在，ts 則將這個極限值記作則將這個極限值記作 v (t0)， 叫做物體在叫做物體在 t0 時刻時刻的瞬時速度，簡稱速度，的瞬時速度，簡稱速度，即即.)()(lim

3、)(0000ttsttstvt 當(dāng)當(dāng) t2. .曲線切線的斜率曲線切線的斜率定義定義設(shè)點設(shè)點 P0 是曲線是曲線 L 上的一個定點上的一個定點， 點點 P 是是曲線曲線 L 上的動點上的動點，T P P0 0P Px0 0 x0 0+ + xyOx N 當(dāng)點當(dāng)點 P 沿沿曲線曲線 L 趨向于點趨向于點 P0 時時，如果割線如果割線 PP0 的極限位置的極限位置 P0 T 存在存在， 則則稱直線稱直線 P0 T 為曲線為曲線 L 在點在點 P0 處的切線處的切線. . 設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為 y = f (x). . 在點在點 P0(x0, y0) 處的附近取處的附近取一點一點 P(x0 +

4、x , y0 + y ) .那么割線那么割線 P0 P 的斜率為的斜率為.)()(tan00 xxfxxfxy L x yy = f (x)如果當(dāng)點如果當(dāng)點 P 沿曲線趨向于點沿曲線趨向于點 P0 時，割線時，割線 P0P 的極限位置存在，的極限位置存在， 即點即點 P0 處的切線存在，處的切線存在，此刻此刻 x 0， ， 割線斜率割線斜率 tan 趨向切趨向切線線 P0 T 的斜率的斜率 tan ，即即.)()(limtan000 xxfxxfx T P P0 0P Px0 0 x0 0+ + xyOx N L x yy = f (x) 切線定義切線定義 定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (

5、x) 在點在點 x0 的一個鄰域內(nèi)的一個鄰域內(nèi)有定義有定義. . 在在 x0 處處給給 x 以增量以增量 x ( (x0 + x 仍在上仍在上述鄰域內(nèi)述鄰域內(nèi)) )，函數(shù)函數(shù) y 相應(yīng)地有增量相應(yīng)地有增量 y = f (x0 + + x ) - - f (x0) ，二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 存在，存在，如果如果xyx 0lim 則稱此極限值為則稱此極限值為函數(shù)函數(shù)y = f (x)在點在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).dd ,|,000 xxxxxyyxf 或或或或）（記作記作即即此時也稱此時也稱函數(shù)函數(shù) f (x) 在點在點 x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo)

6、. 如果上述極限不如果上述極限不存在存在，則稱則稱 f (x) 在在 x0 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo). .例例 1 求函數(shù)求函數(shù) f (x) = x2 在在 x0 = 1 處的導(dǎo)數(shù)，即處的導(dǎo)數(shù)，即 f (1).解解 第一步求第一步求 y ： y = f (1+ x) - - f (1) = (1+ x)2 - - 12= 2 x +( x)2 .).0(2)(22 xxxxxxy第三步求極限：第三步求極限：. 2)2(limlim00 xxyxx所以，所以， f (1) = 2.第二步求第二步求 ：xy 函數(shù)函數(shù) y = = f (x) 在點在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線就是

7、曲線 y = = f (x) 在點在點 (x0 ，f (x0) 處的處的切線的斜切線的斜率率, , 即即tan = f (x0 0).yOxy = f (x) x0 0P三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義法線方程為法線方程為).0)()()(10000 xfxxxfyy其中其中 y0 = f ( x0).y - - y0 = f ( x0)(x x0) .由此可知曲線由此可知曲線 y = = f (x)上點上點 P0 處的切線方程為處的切線方程為例例 2求曲線求曲線 y = x2 在點在點 ( (1, 1) ) 處的切線和處的切線和法線方程法線方程.解解從例從例 1 知知 (x2) |x=1

8、 = 2 , 即點即點 ( (1, 1) ) 處的處的切線斜率為切線斜率為 2 ， 所以所以, 切線方程為切線方程為y 1 = 2(x - - 1).即即y = 2 x - - 1.法線方程為法線方程為).1(211 xy即即.2321 xy四、導(dǎo)數(shù)的物理意義四、導(dǎo)數(shù)的物理意義對于不同的物理量有著不同的物理意義對于不同的物理量有著不同的物理意義. 例如變速直線運動路程例如變速直線運動路程 s = s(t) 的導(dǎo)數(shù)，就是的導(dǎo)數(shù)，就是速度，即速度，即 s (t0) = v(t0). 我們也常說路程函數(shù)我們也常說路程函數(shù) s(t) 對時間的導(dǎo)數(shù)就是速度對時間的導(dǎo)數(shù)就是速度.例例 3求函數(shù)求函數(shù) y

9、= x2 在任意點在任意點 x0 ( , )處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).解解 y = f (x0 + x) - - f (x0) = (x0 + x)2 - - x02= 2x0 0 x + ( x) 2.2)(2020 xxxxxxxy 五、導(dǎo)函數(shù)五、導(dǎo)函數(shù)第二步求第二步求 ：xy 求法與例求法與例 1 一樣一樣. .第一步求第一步求 y：第三步取極限：第三步取極限：.2)2(limlim0000 xxxxyxx 即即.2|)(020 xxxx 有了上式，求具體某一點，如有了上式，求具體某一點，如 x0 = 1 處導(dǎo)數(shù)，處導(dǎo)數(shù)，就很容易了，只要將就很容易了，只要將 x0 = 1 代入即得代入即得. 2

10、 |)(120 xx例例 3 表明，給定了表明，給定了 x0 就對應(yīng)有函數(shù)就對應(yīng)有函數(shù) f (x) = x2的導(dǎo)數(shù)值的導(dǎo)數(shù)值, 這樣就形成了一個新的函數(shù)，這樣就形成了一個新的函數(shù)，f (x) = x2 的導(dǎo)函數(shù)，它的表達式就是的導(dǎo)函數(shù)，它的表達式就是(x2) = 2x .一般地，一般地，函數(shù)函數(shù) f (x) 的導(dǎo)函數(shù)記作的導(dǎo)函數(shù)記作 f (x)，它的它的計算公式是：計算公式是：.)()(lim)(0 xxfxxfxfx 叫做函數(shù)叫做函數(shù)類似例類似例 3，我們可以得，我們可以得 xn ( (n為整數(shù)為整數(shù)) ) 的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)當(dāng) n 為任意實數(shù)為任意實數(shù) 時，上式仍成立，即時，上式仍成立

11、，即(xn) = nxn- -1 .(x ) = x - -1 .2121)( 21 xxx例如例如 .11221xxxx ，x21 例例 4求求 f (x) = sin x 的導(dǎo)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù) ( x ( ， ).xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00解解xxxxx sin)sin(lim0 xxxxx 2sin2cos2lim0 xxxxxxcos22sin2coslim0 即即(sin x) = cos x.(cos x) = sin x.類似可得類似可得例例 5求求 f (x) = ln x (x (0, ) ) 的導(dǎo)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù). .xxfxxfxyxfxx )()(l

12、imlim)(00解解xxxxx ln)ln(lim0 xxxx 1lnlim0 xxxx 0lim.1x 即即.1)(lnxx .ln1)(logaxxa 類似可得類似可得解解例例 6求求 f (x) = ex (x (- - , ) ) 的導(dǎo)的導(dǎo)函數(shù)函數(shù) . .xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00 xxxxx eelim0即即(ex) = ex.類似可得類似可得(ax) = ax lna .xxxx 1eelim0.ex xxxx 0lime例例 7問曲線問曲線 y = ln x 上上何處的切線平行直線何處的切線平行直線 y = x + + 1？解解 設(shè)點設(shè)點 ( x0

13、, y0 ) 處的切線平行直線處的切線平行直線 y = x + + 1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可知根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可知. 11|)(ln00 xxxx即即 x0 = 1，代入，代入 y = lnx 中，得中，得 y0 = 0， 所以曲線在所以曲線在點點 (1, 0 ) 處的切線平行直線處的切線平行直線 y = x + + 1.定義定義 存 在存 在 ， 則則稱此極限值為稱此極限值為 f (x) 在點在點 x0 處的處的左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)，記作記作 f (x0)；則稱此極限值為則稱此極限值為 f (x) 在點在點 x0 處的處的右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)，記作記作 f +

14、+(x0) . .顯然，顯然，f (x) 在在 x0 處可導(dǎo)的處可導(dǎo)的充要條件是充要條件是 f - -(x0) 及及 f + +(x0) 存在且相等存在且相等 . .定義定義如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上每一點可導(dǎo)，上每一點可導(dǎo)，則稱則稱 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上可導(dǎo)上可導(dǎo). .xxfxxfx )()(lim000如果如果， )()(lim000存存在在如如果果xxfxxfx 同樣同樣， 如果如果 I 是閉區(qū)間是閉區(qū)間 a, b ，則端點處可導(dǎo)是指則端點處可導(dǎo)是指 f + +(a)、 f - -(b) 存在存在 . .定理定理如果函數(shù)如果函數(shù) y = f (x) 在

15、點在點 x0 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 則則 f (x) 在點在點 x0 處連續(xù)處連續(xù)，其逆不真其逆不真.證證,lim0存在存在因為因為xyx 其中其中 y = f (x0 + + x) - - f (x0)，所以所以 xxyyxx00limlim. 0limlim00 xxyxx六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系即函數(shù)即函數(shù) f (x) 在點在點 x0 處連續(xù)處連續(xù).但其逆不真，即函數(shù)但其逆不真，即函數(shù) f ( x ) 在點在點 x0 處連續(xù)，處連續(xù)，而函數(shù)而函數(shù) f ( x ) 在點在點 x0 處不一定可導(dǎo)處不一定可導(dǎo).例例 8 討論函數(shù)討論函數(shù) y = | x | 在點在點 x0 = 0 處

16、的連續(xù)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性性與可導(dǎo)性.解解 y = f (0 + x ) - - f (0) .0 |limlim00 xyxx= | 0 + + x | - - | 0 |= | x |，即即 f ( x ) = | x | 在在 x0 = 0 處連續(xù)，處連續(xù)，卻卻不不然然而而xyx 0lim存在，存在，, 1limlim00 xxxyxx. 1limlim00 xxxyxx在在 x0 = 0 處左、右導(dǎo)數(shù)不相等，所以在處左、右導(dǎo)數(shù)不相等，所以在 x = 0 處函處函數(shù)數(shù) y = | x | 不可導(dǎo)不可導(dǎo).因為因為在在 x = 1 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解解先求在先求在 x =

17、 1 時的時的 y .當(dāng)當(dāng) x 0 時，時， y = f (1+ + x) - - f (1) = 2(1+ + x)3 - - 2= 6 x + + 6( x)2 + + 2( x)3 ，xxxxxy 32)(2)(66= 6 + + 6 x + + 2( x)2 ., 3)3(limlim00 xxyxx從而知從而知 . 0lim0 yx. 6)(266limlim200 xxxyxx因此因此.limlim00 xyxyxx 所以函數(shù)在所以函數(shù)在 x = 1 處連續(xù)，但不可導(dǎo)處連續(xù)，但不可導(dǎo). 0lim, 0lim00 yyxx容易算出容易算出又又 稱為稱為函數(shù)函數(shù) z 對對 x 的的偏增

18、量偏增量，七、偏導(dǎo)數(shù)的概念七、偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義定義定義，內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ),( ),( 000 xxxyyyxfz則增量則增量),(),(0 00 00 00 0- -yxfyxxf 記為記為 xz ，如果當(dāng)如果當(dāng) 時時，0 x比值比值 的極限存在的極限存在，xzx 即即. ),(),(0000yxfyxxfzx ,) )( (0 00 00 0 xxxx則稱此極限值則稱此極限值 為函數(shù)為函數(shù) z = f (x , y) 在點在點 (x0 , y0) 處處對對 x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)， 記作記作,00yyxxxz ,00yyxxfx ,00yyxxxz , ),( 00yxfx 或或即即),(00yxfx xzxx 0lim.),(),(lim00000 xyxfyxxfx 同樣，同樣， z = f (x , y) 在點在點 (x0 , y0) 處對處對 y 的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)定義為數(shù)定義為.),(),(limlim000000yyxfyyxfyzyyy - - 記作記作,00yyxxyz ,00yyxxfy 00yyxxyz 或或),(00yxfy 其中其中 稱為稱為函數(shù)函數(shù) z 對對 y 的偏增量的偏增量. .),(),(0000yxfyyxfzy 如果如果 f (x , y)