數學分析第六章微分中值定理及其應用5

1、第六章第六章 微分中值定理及其應用微分中值定理及其應用6 函數圖象的描繪函數圖象的描繪一、漸近線一、漸近線定義定義: :.)(,)(一條漸近線一條漸近線的的就稱為曲線就稱為曲線那么直線那么直線趨向于零趨向于零的距離的距離到某定直線到某定直線如果點如果點移向無窮點時移向無窮點時沿著曲線沿著曲線上的一動點上的一動點當曲線當曲線xfyllppxfy 1.1.鉛直漸近線鉛直漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線垂直于垂直于 x.)()(lim)(lim000的一條鉛直漸近線的一條鉛直漸近線就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條:

2、 :. 3, 2 xx2.2.水平漸近線水平漸近線)(軸的漸近線軸的漸近線平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一條水平漸近線的一條水平漸近線就是就是那么那么為常數為常數或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy3.3.斜漸近線斜漸近線.)(),(0)()(lim0)()(lim的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是就是那么那么為常數為常數或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜漸近線求法斜漸近線求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是曲

3、線就是曲線那么那么xfybaxy 注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜漸近線不存在斜漸近線可以斷定可以斷定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的漸近線的漸近線求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(:d )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲線的鉛直漸近線是曲線的鉛直漸近線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是曲線的一條斜漸近線

4、是曲線的一條斜漸近線 xy的兩條漸近線如圖的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)( xxxxf二、圖形描繪的步驟二、圖形描繪的步驟利用函數特性描繪函數圖形利用函數特性描繪函數圖形.第一步第一步第二步第二步 確定函數確定函數)(xfy 的定義域的定義域,對函數進行奇對函數進行奇偶性、周期性、曲線與坐標軸交點等性態(tài)的討論偶性、周期性、曲線與坐標軸交點等性態(tài)的討論,求出函數的一階導數求出函數的一階導數)(xf和二階導數和二階導數)(xf; 求求出出方方程程0)( xf和和0)( xf 在在函函數數定定義義域域內內的的全全部部實實根根，用用這這些些根根同同函函數數的的間間斷斷點點或或導導數數不不存存在在的

5、的點點把把函函數數的的定定義義域域劃劃分分成成幾幾個個部部分分區(qū)區(qū)間間.第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內確定在這些部分區(qū)間內)(xf和和)(xf的符的符號，并由此確定函數的增減性與極值及曲線的凹號，并由此確定函數的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點凸與拐點（可列表進行討論） ；可列表進行討論） ；第四步第四步 確定函數圖形的水平、鉛直漸近線、斜確定函數圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢漸近線以及其他變化趨勢;第五步第五步 描描出出與與方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對對應應的的曲曲線線上上的的點點，有有時時還還需需要要補補充充一一些些點點，再再綜綜合合前前四四步步討討論

6、論的的結結果果畫畫出出函函數數的的圖圖形形.三、作圖舉例三、作圖舉例例例2 2.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數作函數 xxxf解解, 0: xd非奇非偶函數非奇非偶函數,且無對稱性且無對稱性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得駐點得駐點, 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊點點2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平漸近線得水平漸近線2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得鉛鉛直直漸漸近近線線列表確定函數升降區(qū)間列表確定函數升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點凹凸區(qū)間及極值點和拐點:x)3,

7、( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點拐點極值點極值點間間斷斷點點3 )926, 3( :補補充充點點);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( a),6 , 1(b).1 , 2(c作圖作圖xyo2 3 2111 2 3 6abc2)1(4)(2 xxxf例例3 3.21)(22的圖形的圖形作函數作函數xex 解解),(:d偶函數偶函數, 圖形關于圖形關于y軸對稱軸對稱.,2)(22xexx , 0)( x令令, 0 x得駐點得駐點, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊點點. 4 . 021)(0: x

8、w.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平漸近線得水平漸近線x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐點拐點極大值極大值 21)21, 1(e 列表確定函數升降區(qū)間列表確定函數升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點凹凸區(qū)間及極值點與拐點:0拐點拐點)21, 1(e xyo11 212221)(xex 例例4 4.1)(23的圖形的圖形作函數作函數 xxxxf解解),(:d無奇偶性及周期性無奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 x

9、x得駐點得駐點, 0)( xf令令.31 x得特殊點得特殊點:補補充充點點),0 , 1( a),1 , 0(b).85,23(c列表確定函數升降區(qū)間列表確定函數升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點與拐點凹凸區(qū)間及極值點與拐點:x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐點拐點極大值極大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 極小值極小值0 xyo)0 , 1( a)1 , 0(b)85,23(c11 3131 123 xxxy四、小結四、小結函數圖形的描繪綜合運用函數性態(tài)的研究函數圖形的描繪綜合運用函數性態(tài)的研究,是導是導數應用的綜合考察數應用的綜合

10、考察.xyoab最大值最大值最小值最小值極大值極大值極小值極小值拐點拐點凹的凹的凸的凸的單增單增單減單減)(xfy 思考題思考題 兩坐標軸兩坐標軸0 x，0 y是否都是是否都是函數函數xxxfsin)( 的漸近線？的漸近線？思考題解答思考題解答0sinlim xxx0 y是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線.0 x不不是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線. 1sinlim0 xxxxxysin 一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲線曲線xey1 的水平漸近線為的水平漸近線為_._.2 2、 曲線曲線11 xy的水平漸近線為的水平漸近線為_，鉛直漸近線為鉛直漸近線為_._.二、二、 描出下列函數的圖形：描出下列函數的圖形：1 1、 xxy12 ；2 2、 22)1( xxy；3 3、 xysinln .