第16講+三角形全等與相似

1、中考專題復(fù)習(xí)-三角形三角形中位線概念一、知識(shí)系統(tǒng)圖三角形中位線三角形中位線性質(zhì)一般三角形（AAS、SAS、ASA、SSS）三角形全等的概念三角形全等三角形全等的判定三角形直角三角形（HL）全等變換三角形相似的判定方法直角三角形相似的判定方法三角形相似相似三角形的性質(zhì)二、主要內(nèi)容1、三角形中位線2、三角形全等：全等的判定，全等變換3、三角形相似：相似的判定方法，相似三角形的性質(zhì)。三、主要知識(shí)點(diǎn)、典型例題及解析及變式練習(xí)：知識(shí)點(diǎn)1 三角形中的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線

2、定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。例1：如圖，為測(cè)量位于一水塘旁的兩點(diǎn)A、B間的距離，在地面上確定點(diǎn)O，分別取OA、OB的中點(diǎn)C、D，量得CD=20m，則A、B之間的距離是 m考點(diǎn)：三角形中位線定理。常作輔助線：各邊中點(diǎn)的連線。分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答即可。變式練習(xí)：如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)若DE=3，則BC= 知識(shí)點(diǎn)2 三角形全等的判定全等用符號(hào)“”表示，讀作“全等于”。如ABCDEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。（1）邊角邊定理：有兩邊

3、和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。推論：角角邊定理：兩角和一角的領(lǐng)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）例2：如圖，在平行四邊形ABCD中，過AC中點(diǎn)0作直線，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F求證：AOECOF考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定分析：

4、據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：OA=OC，AEO=OFC，EAO=OCF，所以AOECOF變式練習(xí)：如圖，C是AB的中點(diǎn)，AD=BE，CD=CE求證：A=B例3：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分ADC交AB于點(diǎn)E，BF平分ABC，交CD于點(diǎn)F（1）求證：DE=BF；（2）連接EF，寫出圖中所有的全等三角形（不要求證明）考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到DE=BF；（2）連接EF，則圖中所有的全等三角形有：ADECBF，DFEBEF變式練習(xí)：如圖，在菱形ABCD中，BAD=80

5、76;，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，垂足為E，連接DF，則CDF等于（）A50°B60°C70°D80°知識(shí)點(diǎn)3 全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。（2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對(duì)稱變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。例4：如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接AE（1）求證：ABAE；（2）若BC2=ADAB，求證

6、：四邊形ADCE為正方形   考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得BCD=ACE，然后根據(jù)“SAS”可判斷BCDACE，則B=CAE=45°，所以DAE=90°，即可得到結(jié)論變式練習(xí)：已知：如圖，ABC中，AB=AC，ADBC垂足為D。將ADC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A落在BD上點(diǎn)A1處，點(diǎn)C落在DA延長線上點(diǎn)C1處，A1 C1與AB交于點(diǎn)E。求證：A1BEAC1E知識(shí)點(diǎn)4 三角形相似的

7、判定（1）三角形相似的判定方法定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡述為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡述為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡述為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。（2）直角三角形相似的判定方

8、法以上各種判定方法均適用定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。例5：如圖，在ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BGAE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長為 cm考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)分析：首先，由于AE平分BAD，那么BAE=DAE，由ADBC，可得內(nèi)錯(cuò)角DAE=BEA，等量代換后可證得AB=BE，即ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形

9、“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在RtABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長；然后，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)分別得出EF，F(xiàn)C的長，即可得出答案；變式練習(xí)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點(diǎn)A、C分別在x，y軸的正半軸上點(diǎn)Q在對(duì)角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點(diǎn)P則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 知識(shí)點(diǎn)5 相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方例6：寬與長之比為的矩形叫黃金矩形，黃金矩形令人賞心悅目

10、，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感，如圖,如果在一個(gè)黃金矩形里畫一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；黃金分割分析：要由黃金分割的定義推廣到黃金矩形變式練習(xí)：將三角形高分為四等分，過每個(gè)分點(diǎn)作底邊的平行線，將三角形分四個(gè)部分，則四個(gè)部分面積之比是（ ）A.1357 B.1234 C.1245 D.1235四、難點(diǎn)突破方法總結(jié)在求解三角形全等與相似試題中，要突出轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過轉(zhuǎn)化尋找量和量之間的關(guān)系，歸納下來，有這樣幾個(gè)方面值得考生們注意：1.掌握解題的關(guān)鍵點(diǎn)（1）有兩角，找任意一邊；（2）有兩邊，找夾角；（3）有相似，常需利用相似比求值線段的長

11、度2.重視基本定理與基本圖形相結(jié)合，計(jì)算與推理相結(jié)合，靈活運(yùn)用各種方法3.重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用運(yùn)用分析法、演繹法、截補(bǔ)法，結(jié)合方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想解有關(guān)圓的應(yīng)用題，探索開放性題和方案設(shè)計(jì)五、拓展演練一、選擇題：1尺規(guī)作圖作的平分線方法如下：以為圓心，任意長為半徑畫弧交、于、，再分別以點(diǎn)、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線由作法得的根據(jù)是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS2如圖，將RtABC(其中B34，C90）繞A點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到AB1 C1的位置，使得點(diǎn)C、A、B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角最小等于（） A.56 B.68 C.124 D.1803

12、. 如圖所示，E=F=90°, B=C，AE=AF，結(jié)論：EM=FN；CD=DN；FAN=EAM；CANABM.其中正確的有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AC、BD交于點(diǎn)O，則圖中全等三角形共有（ ）A2對(duì)B3對(duì)C4對(duì)D5對(duì)34B1CBAC1 （第5題圖）（第4題圖）（第3題圖）（第2題圖）5.如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：（1）DE=1，（2）CDECAB，（3）CDE的面積與CAB的面積之比為1：4.其中正確的有 （ ）A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)（第6題圖）（第5題圖） 6.如圖，

13、正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AFDE于點(diǎn)O， 則等于（） A B C D7.如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值 （ ）A只有1個(gè) B可以有2個(gè) C有2個(gè)以上但有限 D有無數(shù)個(gè)二、填空題：8.如圖，中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3），如果要使與 全等，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 9.如圖，已知，要使 ，可補(bǔ)充的條件是 （寫出一個(gè)即可）10.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ以下五個(gè)結(jié)論： AD

14、=BE PQAE AP=BQ DE=DP AOB=60°恒成立的結(jié)論有_ _（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）（第12題圖）ABCEDOPQACEBD（第10題圖）（第9題圖）11已知ABC與DEF相似且對(duì)應(yīng)中線的比為2:3，則ABC與DEF的周長比為_.12如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，ABCD，AB2m，CD6m，點(diǎn)P到CD的距離是2.7m，則AB與CD間的距離是_.三、解答題：13兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；圖1圖2（2）證明：14如圖，一個(gè)含45°的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點(diǎn)作EFAE交DCE的角平分線于F點(diǎn)，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。15.如圖，在ABC中，已知DEBC，A