最新人教A版數(shù)學(xué)必修二教案：167;4.2.1直線與圓的位置關(guān)系2

1、最新人教版數(shù)學(xué)精品教學(xué)資料第2課時(shí)（一）導(dǎo)入新課思路1.一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處,受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為30 km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？圖2分析：如圖2,以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)o,以東西方向?yàn)閤軸,建立直角坐標(biāo)系,其中,取10 km為單位長(zhǎng)度.則臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心為o的圓的方程為x2+y2=9；輪船航線所在的直線l的方程為4x+7y-28=0.問(wèn)題歸結(jié)為圓心為o的圓與直線l有無(wú)公共點(diǎn).因此我們繼續(xù)研究直線與圓的位置關(guān)系.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提

2、出問(wèn)題過(guò)圓上一點(diǎn)可作幾條切線？如何求出切線方程？過(guò)圓外一點(diǎn)可作幾條切線？如何求出切線方程？過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)可作幾條切線？你能概括出求圓切線方程的步驟是什么嗎？如何求直線與圓的交點(diǎn)？如何求直線與圓的相交弦的長(zhǎng)?討論結(jié)果：過(guò)圓上一點(diǎn)可作一條切線,過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2；過(guò)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.過(guò)圓外一點(diǎn)可作兩條切線,求出切線方程有代數(shù)法和幾何法.代數(shù)法的關(guān)鍵是把直線與圓相切這個(gè)幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立它們的方程組只有一個(gè)解的代數(shù)問(wèn)題.可通過(guò)一元二次方程有一個(gè)實(shí)根的

3、充要條件=0去求出k的值,從而求出切線的方程.用幾何方法去求解,要充分利用直線與圓相切的幾何性質(zhì),圓心到切線的距離等于圓的半徑(d=r),求出k的值.過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)不能作圓的切線.求圓切線方程,一般有三種方法,一是設(shè)切點(diǎn),利用中的切線公式法;二是設(shè)切線的斜率,用判別式法;三是設(shè)切線的斜率,用圖形的幾何性質(zhì)來(lái)解,即圓心到切線的距離等于圓的半徑(d=r),求出k的值.把直線與圓的方程聯(lián)立得方程組,方程組的解即是交點(diǎn)的坐標(biāo).把直線與圓的方程聯(lián)立得交點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式來(lái)求;再就是利用弦心距、弦長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系來(lái)求.（三）應(yīng)用示例思路1例1 過(guò)點(diǎn)p(-2,0)向圓x2+y2=1引切線,求切線的方

4、程.圖3解:如圖3,方法一:設(shè)所求切線的斜率為k,則切線方程為y=k(x+2),因此由方程組得x2+k2(x+2)2=1.上述一元二次方程有一個(gè)實(shí)根,=16k4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k=±,所以所求切線的方程為y=±(x+2).方法二:設(shè)所求切線的斜率為k,則切線方程為y=k(x+2),由于圓心到切線的距離等于圓的半徑(d=r),所以d=1,解得k=±.所以所求切線的方程為y=±(x+2).方法三：利用過(guò)圓上一點(diǎn)的切線的結(jié)論.可假設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),此時(shí)可求得切線方程為x0x+y0y=1.然后利用點(diǎn)(-2,0)在切線上得到

5、-2x0=1,從中解得x0=-.再由點(diǎn)(x0,y0)在圓上,所以滿足x02+y02=1,既+y02=1,解出y0=±.這樣就可求得切線的方程為,整理得y=±(x+2).點(diǎn)評(píng):過(guò)圓外一點(diǎn)向圓可作兩條切線；可用三種方法求出切線方程,其中以幾何法“d=r”比較好(簡(jiǎn)便).變式訓(xùn)練 已知直線l的斜率為k,且與圓x2+y2=r2只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線l的方程.活動(dòng)：學(xué)生思考,觀察題目的特點(diǎn),見題想法,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路,必要時(shí)給予提示,直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn),說(shuō)明直線與圓相切.可利用圓的幾何性質(zhì)求解.圖4解:如圖4,方法一:設(shè)所求的直線方程為y=kx+b,由圓心到直線的距離等

6、于圓的半徑,得d=r,b=±r,求得切線方程是y=kx±r.方法二:設(shè)所求的直線方程為y=kx+b,直線l與圓x2+y2=r2只有一個(gè)公共點(diǎn),所以它們組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,由,得x2+k2(x+b)2=1,即x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,=0得b=±r,求得切線方程是y=kx±r.例2 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0,一定點(diǎn)為a(1,2),要使過(guò)定點(diǎn)a(1,2)作圓的切線有兩條,求a的取值范圍.活動(dòng)：學(xué)生討論,教師指導(dǎo),教師提問(wèn),學(xué)生回答,教師對(duì)學(xué)生解題中出現(xiàn)的問(wèn)題及時(shí)處理,利用幾何方法,點(diǎn)a(1,2)在圓外,即到圓心的距

7、離大于圓的半徑.解:將圓的方程配方得(x+)2+(y+1)2=,圓心c的坐標(biāo)為(,1),半徑r=,條件是43a20,過(guò)點(diǎn)a(1,2)所作圓的切線有兩條,則點(diǎn)a必在圓外,即.化簡(jiǎn),得a2+a+90,由解得a,ar.所以a.故a的取值范圍是(,).點(diǎn)評(píng):過(guò)圓外一點(diǎn)可作圓的兩條切線,反之經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可作圓的兩條切線,則該點(diǎn)在圓外.同時(shí)注意圓的一般方程的條件.思路2例1 已知過(guò)點(diǎn)m(-3,-3)的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為45,求直線l的方程.活動(dòng)：學(xué)生思考或討論,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的思路,求直線l的方程,一般設(shè)點(diǎn)斜式,再求斜率.這里知道弦長(zhǎng),半徑也知道,所以弦心距可求,如果設(shè)出

8、直線的方程,由點(diǎn)到直線的距離等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦長(zhǎng)公式,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.解法一：將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式有x2+(y+2)2=25,所以圓心為(0,-2),半徑為5.因?yàn)橹本€l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為4,所以弦心距為=,圓心到直線的距離為,由于直線過(guò)點(diǎn)m(-3,-3),所以可設(shè)直線l的方程為y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,圓心到直線的距離為,因此d=,兩邊平方整理得2k2-3k-2=0,解得k=,k=2.所以所求的直線l的方程為y+3=(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=

9、0.解法二：設(shè)直線l和已知圓x2+y2+4y-21=0的交點(diǎn)為a(x1,y1),b(x2,y2),直線l的斜率為k,由于直線過(guò)點(diǎn)m(-3,-3),所以可設(shè)直線l的方程為y+3=k(x+3),即y=kx+3k-3.代入圓的方程x2+y2+4y-21=0,并整理得(1+k2)x2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0.結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有x1+x2=,x1·x2=. |ab|=因?yàn)閨ab|=45,所以有(1+k2)(x1+x2)2-4x1·x2=80. 把式代入式,得(1+k2)2-4=80.經(jīng)過(guò)整理,得2k2-3k-2=0,解得k=,k=2.所以所求的直線

10、l的方程為y+3=(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.點(diǎn)評(píng):解法一突出了適當(dāng)?shù)乩脠D形的幾何性質(zhì)有助于簡(jiǎn)化計(jì)算,強(qiáng)調(diào)圖形在解題中的作用,加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合;解法二是利用直線被曲線截得的弦長(zhǎng)公式求出斜率后求直線方程,思路簡(jiǎn)單但運(yùn)算較繁.變式訓(xùn)練 已知圓c：x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0.(1)求證：對(duì)mr,直線l與圓c總有兩個(gè)不同交點(diǎn);(2)設(shè)l與圓c交于不同兩點(diǎn)a、b,若|ab|=,求l的傾斜角;(3)求弦ab的中點(diǎn)m的軌跡方程;(4)若定點(diǎn)p(1,1)分弦ab為=,求此時(shí)直線l的方程.解:(1)判斷圓心到直線的距離小于半徑即可,或用直線系

11、過(guò)定點(diǎn)p(1,1)求解;點(diǎn)p(1,1)在圓內(nèi).(2)利用弦心距、半徑、弦構(gòu)成的直角三角形求弦長(zhǎng),得m=±,所以=或.(3)設(shè)m的坐標(biāo)為(x,y),連結(jié)cm、cp,因?yàn)閏(0,1),p(1,1),|cm|2+|pm|2=|cp|2,所以x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1,整理得軌跡方程為x2+y2-x-2y+1=0(x1).(4)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),由=,得=1. 又由直線方程和圓的方程聯(lián)立消去y,得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, (*)故x1+x2=, 由,得x1=,代入(*),解得m=±1.所以直線l的方程為x-y=0或x+y

12、-2=0.例2 已知直線l:y=k(x+2)與圓o:x2+y2=4相交于a、b兩點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),abo的面積為s,試將s表示成k的函數(shù)s(k),并指出它的定義域；求s的最大值,并求出取得最大值時(shí)的k值.活動(dòng)：學(xué)生審題,再思考討論,教師提示學(xué)生欲求abo的面積,應(yīng)先求出直線被圓截得的弦長(zhǎng)|ab|,將|ab|表示成k的函數(shù).圖5解:如圖5所示,直線的方程為kx-y+2k=0(k0),點(diǎn)o到l之間的距離為|oc|=,弦長(zhǎng)|ab|=2，abo的面積s=|ab|·|oc|=，|ab|0,-1k1(k0).s(k)=(-1k1且k0).abo的面積s=|oa|·|ob|sinaob=

13、2sinaob,當(dāng)aob=90°時(shí),smax=2,此時(shí)|oc|=,|oa|=2,即=,k=±.點(diǎn)評(píng)：在涉及到直線被圓截得的弦長(zhǎng)時(shí),要巧妙利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì),如本題中的rtboc,其中|ob|為圓半徑,|bc|為弦長(zhǎng)的一半.變式訓(xùn)練 已知x,y滿足x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最大值.活動(dòng):學(xué)生審題,再思考討論,從表面上看,此問(wèn)題是一個(gè)代數(shù),可用代數(shù)方法來(lái)解決.但細(xì)想后會(huì)發(fā)現(xiàn)比較復(fù)雜,它需把二次降為一次.教師提示學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合或判別式法.解法一:(幾何解法)：設(shè)x-2y=b,則點(diǎn)(x,y)既在直線x-2y=b上,又在圓x2+y2-2x+4y=0上,即直線x-2y

14、=b和圓x2+y2-2x+4y=0有交點(diǎn),故圓心(1,-2)到直線的距離小于或等于半徑,所以.所以0b10,即b的最大值是10.解法二:(代數(shù)解法)：設(shè)x-2y=b,代入方程x2+y2-2x+4y=0,得(2y+b)2+y2-2(2y+b)+4y=0,即5y2+4by+b2-2b=0.由于這個(gè)一元二次方程有解,所以其判別式=16b2-20(b2-2b)=40b-4b20,即b2-10b0,0b10.所以求出b的最大值是10.點(diǎn)評(píng):比較兩個(gè)解法,我們可以看到,數(shù)形結(jié)合的方法難想但簡(jiǎn)單,代數(shù)法易想但較繁,要多練習(xí)以抓住規(guī)律.例3 已知圓c：(x1)2(y2)2=25,直線l：(2m+1)x+(m+

15、1)y7m4=0(mr).(1)證明不論m取什么實(shí)數(shù),直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；(2)求直線被圓c截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程.活動(dòng)：學(xué)生先思考,然后討論,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問(wèn)題的方法,由于直線過(guò)定點(diǎn),如果該定點(diǎn)在圓內(nèi),此題便可解得.最短的弦就是與過(guò)定點(diǎn)與此直徑垂直的弦.解:(1)證明：因?yàn)閘的方程為(x+y4)+m(2x+y7)=0.因?yàn)閙r,所以,解得即l恒過(guò)定點(diǎn)a(3,1).因?yàn)閳A心c(1,2),ac=5(半徑),所以點(diǎn)a在圓c內(nèi),從而直線l恒與圓c相交于兩點(diǎn).(2)弦長(zhǎng)最小時(shí),lac,由kac=,所以l的方程為2xy5=0.點(diǎn)評(píng)：證明直線與圓恒相交,一是可以將直線與圓的方程聯(lián)立方程組,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

16、一元二次方程,根據(jù)判別式與0的大小來(lái)判斷,這是通性通法,但過(guò)程繁瑣,計(jì)算量大；二是說(shuō)明直線過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn),由此直線與圓必相交.對(duì)于圓中過(guò)a點(diǎn)的弦,以直徑為最長(zhǎng),過(guò)a點(diǎn)與此直徑垂直的弦為最短.變式訓(xùn)練 求圓x2+y2+4x-2y+4=0上的點(diǎn)到直線y=x-1的最近距離和最遠(yuǎn)距離.解:圓方程化為(x+2)2+(y-1)2=1,圓心(-2,1)到直線y=x-1的距離為d=2,所以所求的最近距離為2-1,最遠(yuǎn)距離為2+1.（四）知能訓(xùn)練1.已知直線l:y=2x2,圓c:x2y22x4y1=0,請(qǐng)判斷直線l與圓c的位置關(guān)系,若相交,則求直線l被圓c所截的線段長(zhǎng).活動(dòng):請(qǐng)大家獨(dú)立思考,多想些辦法.然后相互討論

17、,比較解法的不同之處.學(xué)生進(jìn)行解答,教師巡視,掌握學(xué)生的一般解題情況.解法一：由方程組解得即直線l與圓c的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,)和 (1,4),則截得線段長(zhǎng)為.解法二：由方程組(略)消去y,得5x22x3=0,設(shè)直線與圓交點(diǎn)為a(x1,y1),b(x2,y2),則ab中點(diǎn)為(-,-),所以得(x1-x2)2=,則所截線段長(zhǎng)為|ab|=(1+k2)(x1-x2)2=.解法三：圓心c為(1,2),半徑r=2,設(shè)交點(diǎn)為a、b,圓心c到直線l之距d=,所以.則所截線段長(zhǎng)為|ab|=.點(diǎn)評(píng):前者直接求交點(diǎn)坐標(biāo),再用兩點(diǎn)距離公式求值；后者雖然也用兩點(diǎn)距離公式,但借用韋達(dá)定理,避免求交點(diǎn)坐標(biāo).解法三利用直線與圓的

18、位置關(guān)系,抓住圓心到直線之距d及圓半徑r來(lái)求解.反映了抓住本質(zhì)能很快接近答案的特點(diǎn).顯然,解法三比較簡(jiǎn)潔.2.已知直線x+2y-3=0交圓x2+y2+x-6y+f=0于點(diǎn)p、q,o為原點(diǎn),問(wèn)f為何值時(shí),opoq?解:由消去y,得5x2+10x+4f-27=0,所以x1x2=,x1+x2=-2.所以y1y2=.因?yàn)閛poq,所以x1x2+y1y2=0,即=0.所以f=3.點(diǎn)評(píng)：(1)解本題之前先要求學(xué)生指出解題思路.(2)體會(huì)垂直條件是怎樣轉(zhuǎn)化的,以及韋達(dá)定理的作用：處理x1,x2的對(duì)稱式.在解析幾何中經(jīng)常運(yùn)用韋達(dá)定理來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.（五）拓展提升已知點(diǎn)p到兩個(gè)定點(diǎn)m(1,0)、n(1,0)距離的比為,點(diǎn)n到直線pm的距離為1,求直線pn的方程.解:設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x,y),由題設(shè)有=,即=·,整理得x2+y26x+1=0. 因?yàn)辄c(diǎn)n到pm的距離為1,|mn|=2,所以pmn=30°,直線pm的斜率為±.直線pm的方程為y=±(x+1). 將代入整理,得x24x+