05函數(shù)極限概念

1、第二章 極 限 本章學(xué)習(xí)要求： 了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運用“”和 “x ” 語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運用極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。第二章 極 限第二節(jié) 函數(shù)的極限與性質(zhì)的極限時一 )( , .xfx的極限時二 )( , .0 xfxx 三. 極限定義及定理小結(jié)四. 函數(shù)極限的基本性質(zhì)

2、的極限時一 )( , .xfx 由于數(shù)列實際上可以看成是定義域為正整數(shù)域的函數(shù), 所以, 可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中, 并用極限理論研究函數(shù)的變化情形. 1 : nxxnn從數(shù)列 ), 0( 1 xxy與函數(shù)的圖形可以看出: . 01lim , 01limxnxnoxy123 n nxn1xy1 1 : 極限的定義：回憶數(shù)列nxxnn有時使當(dāng)若 , , 0 , 0nnn | |axn記為為極限以時當(dāng)則稱數(shù)列成立 , , ,anxn . limaxnn . )( :znnfxn數(shù)列是一種特殊的函數(shù)故可以從形式進行相當(dāng)與而 , )(lim lim axfaxxnn : , ),( ,xnxn

3、xfxn替換為替換為替換為將推廣有時使當(dāng)若 , , 0 , 0xxx , , )( ,極限存在時當(dāng)則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的極限函數(shù)時 )( , . 1xfx . )( )( xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a想想：如何從幾何的角度來表示該定義？ )( |)(|axfaaxf的幾何意義 )(limaxfxoxyay ay ayx)(xfy , )( , 即函數(shù)的圖時當(dāng)axfaxx . 之間和形夾在兩條平行線ayayoxyay ay ayxx)(xfy . , 函數(shù)的極限時我們將得到x有時使當(dāng)若 , , 0 , 0xxx , , )( ,極限存在時當(dāng)則

4、稱函數(shù)成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的極限函數(shù)時 )( , . 2xfx . )( )( xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a . )(lim )(lim的情形類似的幾何意義與axfaxfxxoxyay ay ayxx)(xfy 現(xiàn)在從整體上來看這個圖形現(xiàn)在從整體上來看這個圖形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |xxxxxx或oxyay ay ayxx)(xfy 你能否由此得出 一個極限的定義 和一個重要的定理. 0 |xxxxxx或 現(xiàn)在從整體上來看這個圖形現(xiàn)在從整體上來看這個圖形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?有時使當(dāng)若 , | , 0 ,

5、0xxx , , )( ,極限存在時當(dāng)則稱函數(shù)成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的極限函數(shù)時 )( , . 3xfx . )( )( xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a由于 | x | x 0 x x 或 x x,所以, x 按絕對值無限增大時,又包含了 x 的情形.既包含了 x +, . )(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx及極限的三個定義即可證明該定理. 0)( | xxxxxxx或由絕對值關(guān)系式:. 2121lim 33xxx證明：證證 , 0 , 2121 33xx要 , |21 3x即要 , 21 | 3x即 , | , 21 3有時則當(dāng)故

6、取xxx 2121 33xx成立. 由極限的定義可知:. 2121lim 33xxx例例1 1 . 11)( 2時的極限當(dāng)討論函數(shù)xxxf解2211 , 1 , | xxx此時也無限增大無限增大時當(dāng)無限縮小, 可以小于任意小的正數(shù) . 因而應(yīng)該有 . 011lim2xx下面證明我們的猜想:要由極限的定義 , 0 , , 11 11 011 222xxx ,11 2x即要 . 11 , 0 , 1 2顯然成立則時當(dāng)xx . 11 , 11 | , 1 2成立時時當(dāng)xx證 明 過 程怎么寫？例例2 2則當(dāng)取不妨設(shè) , 11 , ) 10 ( 0x有時 , |xx ,11 11 011 222xxx

7、 . 011lim :2xx故由極限的定義可知 這里想得通嗎？ , )( 0 的接近程度的與是用來描述由于axf . , 某個正數(shù)它小于設(shè)故可以在一開始時就假小且它的值可以取得任意 . arctan lim 不存在證明xx22yxyarctanx由圖容易看出：分析 , 2arctanlimxx , 2arctanlimxx . arctan lim 不存在由定理可知：xx例例3 3 . lim 不存在證明xxxxxeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , limlim xxxxxxxxxxeeeeeeee由

8、于 . lim 不存在故xxxxxeeee例例4 4證證的極限時二 )( , .0 xfxx x x0 時函數(shù)的極限, 是描述當(dāng) x 無限接近 x0 時, 函數(shù) f (x)的變化趨勢. . 112)( , 0 xxfx時當(dāng) f ( x ) 在點 x0= 0 處有定義.11)( , 1 3xxxfx時當(dāng) 函數(shù) f ( x ) 在點 x0= 1 處沒有定義. . 312 xx例例5 5無限只考慮有無定義在必考慮 , )( 0 xxxxf的變化函數(shù)時即接近 )( , ) ,(u , 00 xfxxx是否成立。趨勢，即不等式 |)(| axf我們不這類極限過程時在討論 , 0 xx 的極限函數(shù)時 )(

9、 , . 10 xfxx , | 0 , 0 , 00時當(dāng)若xx |)(|axf , )( , 0時的極限當(dāng)為函數(shù)則稱成立xxxfa . )( )( )(lim 00 xxaxfaxfxx或記為 : , 需要考察的是就是說 , , 0去心鄰域時的落在點當(dāng)軸上在xxx ) )( ( , 是否落在點對應(yīng)點軸上在xfyyy . 鄰域內(nèi)的aoxyay ay ay0 x()(xfy xy(),(u0 xx) ,u(ay0 x0 x的幾何解釋 )(lim0axfxxp . lim 00 xxxx證明證證 , | 0 , , 00時則當(dāng)取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例6 6 .

10、82)4(2lim 22xxx證明證 , 0 , )8(2)4(2 2xx要 | )2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要 , | )2(| 0 , 2 有時則當(dāng)故取x , )8(2)4(2 2xx . 82)4(2lim 22xxx即2x例例7 7證 . 311lim 31xxx證明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要？如何處理它例例8 8 這里 | x + 2 | 沒有直接的有界性可利用, 但又必須設(shè)法去掉它. 因為 x 1, 所以, 從某時候開始 x 應(yīng)充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 14|2|x1 1取分析分析結(jié)論

11、1 | 1| 0 x證 . 311lim 31xxx證明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要 , | 1|4| 1|2| 311 3xxxxx于是 , | 1| 0 , 4 , 1 min 有時則當(dāng)取x . 311 3xx證畢 , 110此時不妨設(shè) x , 4 |2| x例例8 81) 與 和 x0 有關(guān), 即 = ( , x0). 一般說來, 值越小, 相應(yīng)的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 時也要對 x x0 以任何方式進行都成立.3) 函數(shù) f (x) 以 a 為極限, 但函數(shù) f (x) 本身可以 不取其極

12、限值 a.y = a y = a y = axoyx0 x0 x0 + )(xfy 曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過極限的幾何意義函數(shù)時 )( , . 20 xfxx 3.函數(shù)的左、右極限, 0 , 0 , 00時當(dāng)若xx |)(| axf記為右極限 ,時的當(dāng)為則稱成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可記為, )( )( 0 xxaxf或, 0 , 0 , 00時當(dāng)若xx |)(| axf記為左極限 ,時的當(dāng)為則稱成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可記為, )( )( 0 xxaxf或(1) 左、右極限均存在, 且相等

13、；(2) 左、右極限均存在, 但不相等；(3) 左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！ 函數(shù)在點 x0 處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：111211)( 2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxy = f (x)xoy1121在 x = 1 處的左、右極限.1lim21xx0) 1(lim1xx解例例9 9axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00 利用 | x x0 | x x0 和極限的定義, 即可證得.。求設(shè) )(lim ,1, 11, 1)( 12xfxxxxxfx2) 1(lim)(lim 211xxfxx2) 1(lim)(lim11x

14、xfxx2)(lim 1xfx解例例1010 . |lim 0 xxx求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx . |lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1) 1(lim0 x解例例1111例例1212 . | | )(|lim ,)(lim :00axfaxfxxxx則若證明證證, 0 , 0 , ,)(lim 0所以因為axfxx , | 0 0有時當(dāng)xx |)(|axf | | | )(| |axf , 得故由極限的定義 . | | )(|lim 0axfxx ?立該命題的逆命題是否成. 情也成立的對x三、極限定義及定理

15、小結(jié)三、極限定義及定理小結(jié) 極限定義一覽表目標(biāo)不等式過 程 描 述度 量 極限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000時當(dāng) , 0nnn時當(dāng) | , 0xxx時當(dāng) , 0xxx時當(dāng) , 0xxx時當(dāng) |0 , 00 xx時當(dāng) 0 , 00 xx時當(dāng) 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf 極限定義一覽表目標(biāo)不等式過 程 描 述度 量 極限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxf

16、xx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000時當(dāng) , 0nnn時當(dāng) | , 0xxx時當(dāng) , 0xxx時當(dāng) , 0xxx時當(dāng) |0 , 00 xx時當(dāng) 0 , 00 xx時當(dāng) 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf0|)(|axfaxfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000axfxfaxfxxx)(lim)(lim)(lim在以后的敘述中, 如果函數(shù) f ( x ) 極限的某種性質(zhì)與運算對任何一種極限過程均成立 , 則將使表示對任意一種極限過程的函數(shù)用符號)(limxf極限.

17、 函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)類似, 我們只列舉出來, 其證明過程請同學(xué)們自己看書.1.有界性定理 若 lim f ( x ) 存在, 則函數(shù) f ( x ) 在該極限過程中必有界.2.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在, 則極限值必唯一.3.保號性定理 極限值的正負與函數(shù)值正負的關(guān)系 函數(shù)值的正負與極限值正負的關(guān)系 極限值的正負與函數(shù)值正負的關(guān)系 ),0( 0 ,)(lim 0aaaxfxx若。有)0)( 0)( xfxf ),0( 0 ,)(lim aaaxfx若,0 0x則 ,d | 0時且當(dāng)fxxx。有)0)( 0)( xfxf 該定理也稱為第一保號性定理 , )(u 0 x則 , )(u 0時當(dāng)fdxx極限值正負與函數(shù)值正負關(guān)系的推論 ),( ,)(lim 0cacaaxfxx若 , )(u 0 x則 , )(u 0時當(dāng)fdxx。有)( )( cxfcxf ),( ,)(lim cacaaxfx若,0 0x則 ,d | 0時且當(dāng)fxxx。有)( )( cxfcxf 作輔助函數(shù) f( x ) = f ( x ) c 再利用定理的結(jié)論即可得證. 函數(shù)值的正負與極限值正負的關(guān)系 ),(u ),0)( , 0)( 0 xxxfxf若 , )(lim 0axfxx且。則必有)0( 0 aa 該定理也稱為第二保號性定理 , 0