橢圓中?？嫉氖鶙l焦點(diǎn)性質(zhì)及其證明

1、橢圓中常考的十六條焦點(diǎn)性質(zhì)及其證明(一) 橢圓中， PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的外角， 則焦點(diǎn)在 直線(xiàn) PT 上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓， 除去長(zhǎng)軸的 兩個(gè)端點(diǎn) .證明：延長(zhǎng) F2H 至 M，交 PF1 于 MPT平分 MPF2 ，又 F2HPT， |PM | |PF2 | 又|PF1| |PF2 | 2a， |PM | |PF1 | 2a |F1M | 2|OH | |OH | a. H 軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除長(zhǎng)軸端點(diǎn) .(二) 橢圓中，橢圓焦點(diǎn)三角形中 , 以焦半徑為直徑的圓必 與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切 .證明：如圖，設(shè)以焦半徑 MF 2 為直徑的圓的半徑為 r1

2、， 圓心為 O1，由橢圓定義知 |MF1| |MF2| |AB| |MF1| |AB| |MF2| 11|OO1| |MF1 | (| AB| |MF2 |) a r11 2 1 2 2 1 O、 O1相內(nèi)切（三）設(shè) A 1、A 2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則 PF1F2 在邊 PF2 （或 PF1）上的旁切圓， 必與 A1A2 所在的直線(xiàn)切于 A2（或 A1）. 證明：設(shè)旁切圓切 x軸于 A'，切 PF2于M， F1P于 N， 則|PN | |PM | ，|MF2 | |MA'|， |F1N| |F1A'|， |PF1 | |PM | |F1F2 | |MF2 | |PF1

3、 | |PF2 | | F2A'| |F1F2 | |F2A'|2a 2c 2|F2A'| |F2A'| a c | F2A2 | A' 與 A2 重合 .22(四) 橢圓 x2 y2 1(a>b> o)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 ab與 y 軸平行的直線(xiàn)交橢圓于 P1、P2 時(shí)，22A1P1與 A 2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 x2 y2 1. a2 b2 證明：設(shè)交點(diǎn) S( x0 , y0) ， P1 (m, n) ， P2(m, n)K P1A1KA1SK P2A2K P2S ，2七) AB 是橢圓 x2a22 y b21的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M

4、 為 AB的中點(diǎn)，則kOMkABb2 .2.a證明：設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB) 則K OMKAByAyB yA yB2又 xA2a2xA2 yA2 b2kABxB xA2xB2ab22axB2yB2b2xA xB M( A B ,222y AyB L2 2 L xAxB22xAxB2ayAyB )2)22yAyBb2八)若 P0 ( x0 , y0 ) 在橢圓的方程是 2a2x0 x y0y2 x02ab2證法 1：由上題的結(jié)論得：22xy22ab2y0 .b2 .1內(nèi)，則被 P0 所平分的中點(diǎn)弦kAB kOP0b22 ab22 ay0x0b2 x0 ，2，a y0程是證法2 x12

5、 a弦 AB 方程為y02 a2 y0 b22b x02 (x x0 ) y0ay2 1內(nèi)，則過(guò) byy0xx0b22 x2 a y0y b02 .若 P0(x0,y0) 在橢圓P0的弦中點(diǎn)的軌跡方2x2a2：2 y1 b2y2b2 設(shè)弦交橢圓于x0x2aP1 (x1 , y1) ， P2 ( x2 , y2 )中點(diǎn) S(m,n) .2 x22 a2 y2 b2kP1P22(x1 x2)b(y1m2b2mx0b222 na2ny0ay2)a22m2amb22 na2 n b2x0m2ay0nb22即 x2a2y2 x0x y0 y b2a2 b2n y0m x022(九)過(guò)橢圓 x2 y2 1

6、 (a>0, b>0)上任一點(diǎn) A( x0 , y0 ) 任意 a2 b2作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線(xiàn)交橢圓于 B,C 兩點(diǎn)，則直線(xiàn) BC 有定向 b2 x0 (常數(shù)) .a y0設(shè)兩直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn) (x1,y1)(x2,y2).且 kBC證明：2km弦中點(diǎn)坐標(biāo) xDx1 x21b 2 與 無(wú)關(guān)221 k2a2 b2而 yD kxD m D(xD,yD)與 無(wú)關(guān) .線(xiàn)段 AD ,BC中點(diǎn)重合 |AB| |CD |.22(十四)已知橢圓 x2 y2 1(a b 0) ，A、B 是橢圓上的 ab兩點(diǎn)，線(xiàn)段 AB 的垂直平分線(xiàn)與 x 軸相交于點(diǎn) P(x0 ,0) , 則2 2 2 2 a b

7、 a b x0.aa證明：設(shè) A 為(x1,y1)B為 (x2,y2)2 x12 a2x22 ax1b2y2b2(x1 x2 )(x1 x2)2a(y1 y2)(y1 y2 )b2xDyD22kab2yD1PDxo xDk1xo2 axD yD kb2xDQ a xD ab2xD十五)已知橢圓方程為22xy2 2 1(a b 0), 兩焦點(diǎn)分別為 abF1, F2 ,設(shè)焦點(diǎn) PF1F2， PF1F2PF2F1, 則橢圓的離心率 e sin( ) sin sin證明： 由正弦定理得：F1F2sin(180o)sin sin由等比定理得：F1F2 PF 1 PF2sin( ) sin sin而F1F22c ， PF1 PF2sin() sin( ) sin sin2a sin sinceasin( )。sin sin22(十六)已知橢圓方程為 x2 y2 1(a b 0), 兩焦點(diǎn)分別ab2為 F1,F2, 設(shè)焦點(diǎn) PF1F2中 F1PF2 ,則 cos 1 2e .證明 ：設(shè) PF1 r1,PF2 r2,則在