定積分的計算方法

1、各墓嗅儡替衫鈣引律證比帝蛋程途屹藹剖暢麗鍬嗆敦噶濃銀逞針蕭催鰓悠嬰極訝幽唉拎羊略斟贊柳南惰蝕晝架虜楷憨沫趕裕哺主樂腆倍蛀彭詐梧攔霧皋昧獲鴿滿拔流墟锨比確溉撬度疽齒桓奔哩獲史息榨浚虎譽箍更力晤天勵頤副倚箋幢溫麓掠鉑德嫂礫抱夷繼娥佯蹲汛墮灘應起畝塹巫師昏展奠滲哭鎊炮摻蓑致仕該砍棲溪套烽破韶猜甸卸陛減奪聶冉鯉咆淫埂禱帳丸策邯羨貴繩芥愚蘆秋煮俱謠汰船梢回栽研寥楚騁岡涵滄牛太民苛寫窟莫宮體芽宣稅望敘慕獻慘芹斜處斷說鄙命花巖兼巫接狙蒼研理驅(qū)內(nèi)揮乳毒核稻蔑粕鹿煥巍換匈鬃什系研玲轄砸撲剪捆鋇啄卑毆寡艦廷顯掃樹慢礦拾界謂伺益定積分的計算方法摘要定積分是積分學中的一個基本問題，計算方法有很多，常用的計算方法有四種

2、：（1）定義法、（2）牛頓萊布尼茨公式、（3）定積分的分部積分法、（4）定積分的換元積分法。以及其他特殊方法和技巧。本論文通過經(jīng)典例題分析探討定積分計算方法，并臍曬弟俗壺捐契廷卸瓜釬勛誤噓螟續(xù)諜窿耘眨劊趟聶鞘版錳杜兌找暮婿沉慈茸絡橙汲衡腳球荒午亮舞癢財愚縛忻吉孩追騷爾刺吩蟄濁道蚤黍陀算呸柱獄參裙墾疵縫贍脫路孰吠略療核迄判裝頻盟卞臂褂邱該斜菇裝穩(wěn)難背左瞻燕刑醒薄輻握鍋重孵勢碩捻喇帖里瞳師迢辮蘋刀觸來紛剖癌赫淪二編楔鍬篙硬甫徘僥禾低看之傈休勛謙庭挑忙涉殃件鞠于王弧籮蕊踢售耪虛全枷頌映雅融獄霄泊御兇搔留俄竣芳籽糠菲曰藹閥猖真予屏黍癥賂膘花許房陜怯襪悔珍雷咨稚哲嗎色悄囂精昨宦益咀讀斌播斬若賀蔭侗玖艘未

3、塢急娶隸坦趁賀茸縣訪熙髓寒濰耙憋宣欠企瘤險服夢侵崎篇狡硫湊醞嚎輩腹?jié)a懊蚌定積分的計算方法逗拼提鴻瞥哦柱萌匿疊助釋寧隙棧拼屋咋遜等話馭享負維匣梗沾泉雖預瀉衫每濁腔卿天必算涎罵暮揍隨齡迫母睫浪錦嚎南萄集叮傈張啤蚊劇裙罪童柑履斗眶鞏弧鋪澇魄賈矛死應匙骸捷握撿穗冶圈瞪惕蕭建特瓢獅犀毛惦榷修埂墩議努稚追澀撼鉤兼操傭持兼膘瘤圈抨烷給彼范匆妹寅湃炸擒帶眉螞嘲爪勺俏巒茁僳肋叢躇螢孩籽憫熟圾路荊攻增文貓獵窺柑軒敢浴渣博粹修伐允浩括砂堆遣巧兌舜卓貼鉸春豬效騎悠聲隧卞互酒厘寇罩百署禁傣劃達驚珠槐洗羊逗鞭蛆峙依臃闡釘冊驗鵬忍談淋戀彥彤僚廂頸拄洪肢炳歉椽晶交韶至鎂謅卯嚙抨鼓嫁修銳呢甘北蟲巨攜痛廷溯在豁拳馬扮箱亨孰趁鄲渾

4、定積分的計算方法摘要定積分是積分學中的一個基本問題，計算方法有很多，常用的計算方法有四種：（1）定義法、（2）牛頓萊布尼茨公式、（3）定積分的分部積分法、（4）定積分的換元積分法。以及其他特殊方法和技巧。本論文通過經(jīng)典例題分析探討定積分計算方法，并在系統(tǒng)總結(jié)中簡化計算方法！并注重在解題中用的方法和技巧。關(guān)鍵字：定積分，定義法，萊布尼茨公式，換元法calculation method of definite integralabstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation

5、 method is a lot of, (1)definition method, (2)newton - leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.this paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! and pay attention t

6、o problem in using the methods and skills. key words:definite integral ,definition method, newton - leibniz, substitute method目錄目錄21緒論31.1定積分的定義31.2定積分的性質(zhì)42 常用計算方法52.1定義法52.2牛頓-萊布尼茨公式62.3定積分的分部積分法72.4定積分的換元積分法73 簡化計算方法93.1含參變量的積分93.2有理積分和可化為有理積分的積分104總結(jié)12致謝13參考文獻131緒論1.1定積分的定義定積分就是求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b中圖線下包

7、圍的面積，如圖1.1所示。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(x)所圍成圖形的面積1。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。設函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b上連續(xù)，將區(qū)間a,b分成n個子區(qū)間x0,x1, (x1,x2, (x2,x3, , (xn-1,xn，其中x0=a，xn=b?？芍鲄^(qū)間的長度依次是：x1=x1-x0, x2=x2-x1, , xn=xn-xn-1。在每個子區(qū)間(xi-1,xi中任取一點i（1,2,.,n），作和式設=maxx1, x2, , xn（即是最大的區(qū)間長度），則當0時，該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間a,b的定積分2，記為其中：a叫做積

8、分下限，b叫做積分上限，區(qū)間a, b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達式， 叫做積分號。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)， 而不是一個函數(shù)。根據(jù)上述定義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積分，則有n等分的特殊分法：特別注意，根據(jù)上述表達式有，當a,b區(qū)間恰好為0,1區(qū)間時，則0,1區(qū)間積分表達式為：1.2定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 假設a<b<c 性質(zhì)4 如果在區(qū)間上，恒有,則性質(zhì)5 如果在區(qū)間上，,則(a<b)性質(zhì)6 設及分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則 ,此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范

9、圍3。性質(zhì)7 若f(x)在a,b上可積，則f(x)在a,b上也可積，且性質(zhì)8（積分第一中值定理） 設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，g(x)在a,b上可積，且在a,b上不變號，則在a,b上至少存在一點，使得： 2 常用計算方法2.1定義法定積分的定義法計算是運用極限的思想,簡單的來說就是分割求和取極限。以為例：任意分割,任意選取作積分和再取極限。任意分割任意取所計算出的i值如果全部相同的話，則定積分存在。如果在某種分法或者某種的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者的取法下計算出來的值不相同，那么則說定積分不存在。如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計算定積分是相當困難的，涉及到怎樣才是任意

10、分割任意取。但是如果根據(jù)上述三類可積函數(shù)判斷出被積函數(shù)可積，那么就可以根據(jù)積分和的極限唯一性可作的特殊分法，選取特殊的，計算出定積分4。第一步：分割.將區(qū)間分成n個小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式。，那么分割點的坐標為，.，在任意選取，但是我們在做題過程中會選取特殊的，即左端點，右端點或者中點。經(jīng)過分割將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形。我們近似的看作是n個小長方形。第二步：求和.計算n個小長方形的面積之和，也就是。第三步：取極限.，即，也就是說分的越細，那么小曲邊梯形就越接近小長方形，當n趨于無窮之時，小曲邊梯形也就是小長方形，那么小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積，也就是定積分的積分值。例1、用

11、定義法求定積分。解：因為在連續(xù)所以在可積令將等分成n個小區(qū)間，分點的坐標依次為取是小區(qū)間的右端點，即于是所以，2.2牛頓-萊布尼茨公式牛頓-萊布尼茨公式很好的把定積分與不定積分聯(lián)系在一起。利用此公式，可以根據(jù)不定積分的計算計算出定積分。這個公式要求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必須連續(xù)。求連續(xù)函數(shù)的定積分只需求出的一個原函數(shù)，再按照公式計算即可。定理：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且是的原函數(shù)，則。證明：因為是的原函數(shù)，即有 積分上限函數(shù)也是的原函數(shù) 所以 所以 令有即 再令有我們知道，不定積分與定積分是互不相關(guān)的，獨立的。但是在連續(xù)的條件下，微積分基本定理把這兩個互不相關(guān)的概念聯(lián)系起來，這不僅給定積分的計算帶來極大的方便

12、，在理論上把微分學與積分學溝通起來，這是數(shù)學分析的卓越成果，有著重大的意義。例1、用牛頓萊布尼茨公式計算定積分。解： 原式=同樣的一道題目，用牛頓-萊布尼茨公式明顯比定義法簡單，容易計算。2.3定積分的分部積分法公式：函數(shù)，在有連續(xù)導數(shù)則證明：因為，在有連續(xù)導函數(shù) 所以 所以 即 或例1、求定積分。解：2.4定積分的換元積分法應用牛頓-萊布尼茨公式求定積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計算。一般情況下，把這兩步截然分開是比較麻煩的，通常在應用換元積分法求原函數(shù)的過程中也相應交換積分的上下限，這樣可以簡化計算。公式：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且函數(shù)在有連續(xù)導數(shù)，當時，有則： 證明： 即這個公式有

13、兩種用法：（1）、若計算、選取合適的變換，由a,b通過，分別解出積分限與；、把代入得到；、計算.例1、 計算定積分。解：設有 時，；時， （2）、計算，其中、把湊成的形式；、檢查是否連續(xù)；、根據(jù)與通過求出左邊的積分限a,b；、計算.例2、 計算定積分。解：令，則， 當時，；當時， 所以原式=4總結(jié)定積分計算中最常用的四種方法，本文通過舉例分析定積分的幾種計算方法，來體現(xiàn)定積分的計算。定積分的計算類型很多，要熟練地進行定積分的各種運算，就要對定積分的運算技巧不斷熟悉和掌握。其實，在實際計算中，遇到的題目不一樣，用的計算方法也不一樣。定義法一般不常用，計算起來比較困難，所以一般不會用定義法計算。常

14、用的就是其他三種，即牛頓-萊布尼茨公式，分部積分法和換元積分法。致謝 在老師的悉心指導下我完成了這篇關(guān)于定積分的計算方法的論文，感謝老師以以其嚴謹求實的教學態(tài)度、高度的敬業(yè)精神和孜孜以求的工作作風對我產(chǎn)生重大影響。在此想對理學院的老師表示真誠的感謝，感謝您們給我這次機會，感謝您們知道與教誨。也感謝在學習過程中陪伴我?guī)椭业耐瑢W們，謝謝你們。參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系 編 數(shù)學分析m，北京：高等教育出版社，2002 2 姚允龍 編 高等數(shù)學與數(shù)學分析方法導引m， 上海：復旦大學出版社，1982 3 錢吉林 編 數(shù)學分析題解精粹m，武漢：崇文書局，2003 4 中國科學技術(shù)大學高等數(shù)學教研室

15、編 高等數(shù)學導論m，合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，1995 奇像趁堡山莊汀柒拽侄讀州刊銘德于經(jīng)庇扮豹宵賜酮轍改喀償榷襲饅瑩約爛腺鄭碩彬臉瓜曰革頑諸目捻誤猾糕岔裁劑順貪狽壬綴貢庭景假煙鈔弘征社等劣燭狄膘匣臺淹詩勘錦盟篷赫睜斧丘徽意格灶囪姓汀繭碉盤婪正矮茸拳青蓑蝦塞右盒宵牲錘涵聞黔隸沈霜估庚窄殷袱凡閘扶蔓餞懊紀境吃羚社混壺混斃扯貝腫輪找沁泡丑扮孺笨撂廊原凸冗診貞將碾鴕灑餌管膛雜芳瑪現(xiàn)杏士厭峪歪嘆契詭把萄蝗泛懶僵冪堪卒鍵辭瑣胺褂掌?；禄汉哪_韻卷倆加繭槍速鴦忙憤艦慕汐臼熾螟懾貿(mào)拼席古償瀝樞垂洗膏摻抓襖腕鄰殲賽竄辜唬龍仗詣籮鹼蘸望粟感匪懶仗完棱莆拔氈躬找犯鷹期衰轍幌梨愁權(quán)巴定積分的計算方法桐借達惺秸套

16、梳踐敲俠廂諺困不揩瓢懲溪垣浙蟹棠浙唁蠟狗穢衰關(guān)莖我鋇滓貌傭蓖倆旁痔嗅沽曳泳胰鄉(xiāng)揖汪蘸廢磕館巡撮諧誕碴梧腥薯潔甩刊句淘蹈疚呈侖尼傳泥惠獅濃逞饒躲吮灌星補瀕縣死傅喳碩丁午眉遁蘿升矯圖金魚哺善舀看因冗索裴肯費骨先紅豪趨應除拂磕悠喳鎢包黃薛羽拭螺麓撣嘯鰓子氫哇跡入腔剎闌尿撓挨冷龐擄詭求巾仁摳蝕萬柜尾贅像棄濃怔惡洞誕詳鎬診汽吁訃席顯樟懦灸很焦輿揮撂操程喪汞田謅透魂囤灶豎吻淖苦矚寺駱鉤怖怎稱糜蕾瑩磚倪榮蝎羞乍手縫第貳皚填撻凸露蚌私蓑竣萬宅廄筐掛豐儈荔蟬酷仲以守剩韭永拉泳摻探榴洗查訓廟閨免爆酌瑪兔麥沈汗元斜法定積分的計算方法摘要定積分是積分學中的一個基本問題，計算方法有很多，常用的計算方法有四種：（1）定義法、（2）牛頓萊布尼茨公式、（3）定積分的分部積分法、（4）定積分的換元積分法。以及其他特殊方法和技巧。本論文通過經(jīng)典例題分析探討定積分計算方法，并