《橢圓及其標準方程》教案

1、選修 1-1 §橢圓及其標準方程教材分析圓錐曲線是高中數(shù)學中十分重要的內容，它的許多幾何性質在日常生活、生產(chǎn)和科學技術中都有著廣泛的應用。本節(jié)是圓錐曲線與方程的第一節(jié)課，主要學習橢圓的定義和標準方程。它是本章也是整個解析幾何部分的重要基礎知識。第一，在教材結構上，本節(jié)內容起到一個承上啟下的重要作用。前面學生用坐標法研究了直線和圓，而對橢圓概念與方程的研究是坐標法的深入，也適用于對雙曲線和拋物線的學習，更是解決圓錐曲線問題的一種有效方法。第二，對橢圓定義與方程的研究，將曲線與方程對應起來，體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)與形結合的重要思想。而這種思想，將貫穿于整個高中階段的數(shù)學學習。第三，對橢圓定

2、義與方程的探究過程，使學生經(jīng)歷了觀察、猜測、實驗、推理、交流、反思等理性思維過程，培養(yǎng)了學生的思維方式，加強了運算能力，提高了他們提出問題、分析問題、解決問題的能力，為后續(xù)知識的學習奠定了基礎。教學設計涼山民中數(shù)學組：陳肖林教學課題橢圓及其標準方程課程類型新知課1. 在學習本節(jié)內容以前，學生已經(jīng)學習了直線和圓的方程，初步了解了用坐標法求曲線的方程及其基本步驟，經(jīng)歷了動手實驗、觀察分析、歸納概括、學情分析建立模型的基本過程，這為進一步學習橢圓及其標準方程奠定了基礎。2. 在本節(jié)課的學習過程中，橢圓定義的歸納概括、方程的推導化簡對學生是一個考驗，加之高 2015級 14班是“二層次”的文科班，可能

3、會有一部分學生探究學習受阻，教師要適時加以點撥指導。教學重點感受建立曲線方程的基本過程，掌握橢圓的標準方程及其推導方法。教學難點橢圓標準方程的推導。教學目標知識與技能： 理解橢圓標準方程的推導； 掌握橢圓的標準方程；會根據(jù)條件求橢圓的標準方程，會根據(jù)橢圓的標準方程求焦點坐標.過程與方法： 讓學生經(jīng)歷橢圓標準方程的推導過程，進一步掌握求曲線方程的一般方法， 體會數(shù)形結合等數(shù)學思想； 培養(yǎng)學生運用類比、 聯(lián)想等方法提出問題 .情感、態(tài)度與價值觀： 通過具體的情境感知研究橢圓標準方程的必要性和實際意義；體會數(shù)學的對稱美、簡潔美，培養(yǎng)學生的審美情趣，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度 .教學方法啟發(fā)探索法，講

4、練結合法教學手段用 PPT及幾何畫板制作的多媒體課件教學教學過程設計教學過程 教學內容（一）創(chuàng)設情境，復習引入由嫦娥二號繞月飛行的運動軌跡及現(xiàn)實生活中的多幅橢圓的圖片引入。（行星運行、國家大劇院等）（二）動手實驗，歸納概念橢圓的定義 : 平面上到兩個定點 F1, F2的距離之和為固定值( 大于 |F1F2|) 的點的軌跡叫作橢圓 .注意 : 橢圓定義中容易遺漏的三處地方：（ 1）必須在平面內 ;（ 2）兩個定點 - 兩點間距離確定;（ 3）繩長 - 軌跡上任意點到兩定點距離和確定總結：當大于時橢圓當?shù)扔跁r線段當小于時不存在師生互動問：自然界處處存在著橢圓 , 我們如何用自己的雙手畫出橢圓呢 ?

5、（先請學生上黑板畫出橢圓，介紹課前數(shù)學實驗中的方法并利用幾何畫板演示作橢圓）提出問題：“在畫圖的過程中，哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變？”讓學生根據(jù)自己的實驗，觀察回答：“兩定點間的距離沒變，繩子的長度沒變，點在運動?！痹賳枺骸澳銈兡芨鶕?jù)剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸納概括出橢圓的定義嗎？”先讓學生獨立思考一分鐘，然后同桌交流，再進行全班交流，逐步完善，概括出橢圓的定義。引導學生對定義中的關鍵詞進行分析理解問：“為何固定值要大于兩定點間的距離呢？等于、小于又如何呢？”（學生動手驗證并發(fā)表自己意見，我再用課件演示）設計意圖借助多媒體生動、直觀的演示，使學生明確學習橢圓的重要性和必要性。同時，

6、激發(fā)他們探求實際問題的興趣，使他們主動、積極地參與到教學中來，為后面的學習做好準備。以活動為載體，讓學生在“做”中學數(shù)學，通過畫橢圓，經(jīng)歷知識的形成過程，積累感性經(jīng)驗。先回顧圓方程推導的步驟，給出求（三）啟發(fā)引導，推導方程動點軌跡方程的一般步驟：問：怎么推導橢圓的標準1、建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序實方程呢？?shù)對（ x,y ）表示曲線上任意一點M的坐?探討建立平面直角坐標;標系的方案2、寫出適合條件P （ M） ;啟發(fā)學生類比求圓的方程3、用坐標表示條件P（ M），列出的建系方法，建立適當?shù)闹苯欠匠?;坐標系。4、化方程為最簡形式。探討幾種建系方案。最后采用以下兩種方案方案一： 以兩定點的連線為X

7、 軸，其垂直平分線為Y 軸；方案二： 以兩定點的連線為Y 軸，其垂直平分線為X 軸。( 原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單 )( 一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸.)體現(xiàn)“對稱美”“簡潔美”的特點? 寫出動點 P滿足的條件設 P (x, y) 是橢圓上任意一點，橢圓的焦距 |F 1F2|=2c(c>0) ，則 F1 、 F2 的坐標分 別是 ( c,0) 、(c,0) .P 與 F1 和 F2 的距離的和為固定值2a(2a>2c)啟發(fā)學生根據(jù)橢圓的定義，寫出動點 P 滿足的條件，即：問：下面怎樣化簡？一般來說：方程中只有一個二次根式時，需將它單獨留在方程

8、的一邊，把其它各項移到另一邊，平方一次；方程中有兩個二次根式時，需將它們分散，放在方程的兩邊，使其中一邊只有一個根式，平方兩次。待大多數(shù)學生都有了結果：帶根式的方程的化簡，學生會感到困難 , 這也是教學的一個難點。教學時，要注意說明這類方程的化簡方法。|PF1|PF2 |2ax2y21(a c 0)a2a2 c2由于之后，指出：這個方程還不夠| PF1 | ( x c) 2y2 ,| PF2 |簡潔對稱，讓學生觀察圖形：( x c)2y2問：“你們能從圖中找出得到表示 a、 c、a 2 c2 的線段( x c) 2y2(x c)2y2嗎？”2a問：剛才我們得到了焦點通過觀察，學生容易得出結論，

9、并理解了換元的合理性。 這樣不僅使方程具有了對稱性， 而且使字母 b 也有了明確的幾何意義。從而將方程簡化為：x2y2a2b2 1（ a>b>0)我們稱它為橢圓的標準方程。? 總結橢圓的標準方程的特點（ 1 ）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是 1（ 2 ）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、 b、 c滿足 a2=b2+c2。（ 3 ）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù) a、 b、 c的值。（ 4 ）橢圓的標準方程中， x2 與 y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。通過表格的形式， 讓學生對兩種方程進行對比分析， 強化對橢圓方程的理解。（附表如下）在 x軸上的橢圓方程，如

10、何推導焦點在 y軸上的橢圓的標準方程呢？啟發(fā)：“除了用剛才的方x2y2法 a2b2 1 推導一遍外，還有別的方法嗎？”學生經(jīng)過觀察思考會發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標軸就可以了，從而得到了焦點在Y 軸上的橢圓的標準方程：y 2x2a2b2 1（ a>b>0)在師生互動的過程中，讓學生體會數(shù)學的嚴謹，使他們的觀察能力、運算能力、推理能力得到訓練，滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想。并感受橢圓方程、圖形的對稱美，獲得成功的喜悅！通過填表，進行對比總結，不僅使學生加深了對橢圓定義和標準方程的理解，有助于教學目標的實現(xiàn)222+ y2標準方程x2+ y2 = 1 a > b > 0x22= 1 a &g

11、t; b > 0abbayyP不圖形F2P同OF12點FxOxF1焦點坐標F1 -c , 0 ， F2 c , 0F1 0 , - c ， F2 0, c平面內到兩個定點F ， F 的距離的和等相12定義同于常數(shù)（大于 F F ）的點的軌跡點122a、 b、ca22的關系= b + c焦點位置的判斷分母哪個大，焦點就在哪個軸上（四）、典型例題2 2例 1. 已知橢圓方程為 x + y =1 25 16則(1)a= 5 , b= 4 ,c=3;(2) 焦點在x軸上 , 其焦點坐標 為(-3,0)、 (3,0) ,焦 距 為6 。22(3) 若橢圓方程為 x + y =1 , 其16 25焦

12、點坐標為(0,3)、(0,-3)(4) 已知橢圓上一點 P 到左焦點 F1的距離等于6，則點 P 到右焦點的距離是4；(5) 若 CD為過左焦點 F1 的弦，則?CF1F2的周長為 16，?F2CD的周為 20。例 2 求兩個焦點的坐標分別是(-4 ， 0) 、 (4 ， 0) ，橢圓上一點 P到兩焦點距離的和等于10 橢圓的標準方程 ；解：由已知可設橢圓的標準方程為：x2y 21a b 0a2b2例 1 反饋練習有層次的1、口答：練習題有助于1 . x2y2學生更好的熟1，5232練利用橢圓的則 a， b標準方程解；題。2 .x2y 21926則 a， b；2、求以下橢圓的a、 b、c和焦點

13、坐標(1) x2y22(2) x212 y26916的頂點 B、 C在橢圓已知3.ABCx2y2上 , 頂點 A是橢圓的一個31焦點 , 且橢圓的另外一個焦點在邊BC上 , 則 ABC的周長為 ( )A.23B.43C.6D.16例 2 反饋練習已知 B、C 是兩個定點，| BC| = 6，且 ABC的周長等于 16，求頂點 A的軌跡方程 .2c4( 4)8，2a10c4，a5.b2a2c252429.故所求橢圓的標準方程為：x2y 21 .259老師和同學們一起小結本鞏固所學（五）、課堂小結：節(jié)課的內容知識，培小結 1：繩長記為2a，兩定點間的距離記養(yǎng)學生自為2c(c 0).學能力和（1）當 2a>2c 時，軌跡歸納總結能力是；（2）當 2a=2c 時，軌跡是；（ 3）當 2a<2c 時，小結 2：確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面“定位”是指確定x543(6-0,33,0) 、與坐標系的相